§2.5一维基本形的对合 定义 定义211.两个成射影对应的重叠的一维基本形中,若对任意 个元素,无论把它看着属于第一基本形的元素或是第二基本形的 元素,其对应元素相同,则称这种非恒同的射影变换为一个对合. 定义2.11设/为一维基本形[z上的一个非恒同的射影变换若 对任意的x∈[z],都有x)=f1(x),则f称为[z上的一个对合 注(1).对合非恒同 (2)对合是特殊的射影变换
§ 2.5 一维基本形的对合 一、定义 定义2.11. 两个成射影对应的重叠的一维基本形中, 若对任意一 个元素, 无论把它看着属于第一基本形的元素或是第二基本形的 元素, 其对应元素相同, 则称这种非恒同的射影变换为一个对合. 定义2.11'. 设f 为一维基本形[π]上的一个非恒同的射影变换. 若 对任意的x∈[π], 都有f(x)=f –1 (x), 则f 称为[π]上的一个对合. 注 (1). 对合非恒同. (2). 对合是特殊的射影变换
§2.5一维基本形的对合 、定义二、代数表示 1、参数形式 定理220一维基本形[x]上的一个变换f为对合兮f的任一对对 应元素的参数λ满足双线性方程 a+b(+x)+d=0 (ad-b2≠0) (215) 注(1).这里指取定基元素A,对应元素为A+B4→+2B (2)从对应式可见2的地位完全平等故无论将一个已知元 素的参数代入到的位置求(求f下的像),还是代入到x的求λ (求1下的像),其结果相同.这恰为对合的本质特征,故可作为对 合的参数定义
§ 2.5 一维基本形的对合 一、定义 二、代数表示 1、参数形式 定理2.20 一维基本形[π]上的一个变换f 为对合f 的任一对对 应元素的参数λ,λ' 满足双线性方程 ' ( ') 0. ( 0) (2.15) 2 a +b + + d = ad −b 注 (1). 这里指取定基元素A≠B, 对应元素为A+λB↔A+λ'B. (2). 从对应式可见λ,λ'的地位完全平等. 故无论将一个已知元 素的参数λ0代入到λ的位置求 λ'(求f 下的像), 还是代入到λ'的求λ (求f –1下的像), 其结果相同. 这恰为对合的本质特征, 故可作为对 合的参数定义
§2.5一维基本形的对合 、定义二、代数表示 参数形式2、坐标形式 定理一维基本形[x]上的一个变换/为对合∫使任一对对应 元素的齐次坐标(x1,x2),(x1,x2)满足 111+ 122 lex2 =a2i, -, x (a1+a12a21≠0 注 (1)=>”f为对合>f为射影变换,将对合条件(4=pE(P0)代 入=>a1 <=”直接验证符合对合定义即可 (2)一维射影变换Dx 为对合→ 22 11
§ 2.5 一维基本形的对合 一、定义 二、代数表示 1、参数形式 定理 一维基本形[π]上的一个变换f 为对合f 使任一对对应 元素的齐次坐标(x1 , x2 ), (x1 ', x2 ')满足 注 (1). “=>” f 为对合=>f 为射影变换, 将对合条件(AA= ρE(ρ≠0))代 入=>a11 =–a22; “<=” 直接验证符合对合定义即可. (2). 2、坐标形式 ( 0). ' ' 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 + = − = + a a a x a x a x x a x a x . 2 2 1 1 2 1 ' 2 ' 1 a a x x A x x = − = 一维射影变换 为对合
§2.5一维基本形的对合 、定义二、代数表示三、确定对合的条件 1、代数条件 定理2.21不重合的两对对应元素确定唯一一个对合 推论2.11三对对应元素P,P{属于同一对合分其参数p2p满足 p,P, p,+p1 p2p2 p2+p (2.16) P2P3P2+P31 证明PP属于同一对合兮qp+b(p+p1)+d=0分此方程组对 b,d有非零解兮Pp+p10,即(2.16)成立 推论2.12已知不重合的两对对应元素的参数p1p'(=1,2),则 由此决定的对合方程为 nA2+h PiP P,+p, 1=0 (2.17) p2P2 p2+p2
§ 2.5 一维基本形的对合 一、定义 二、代数表示 三、确定对合的条件 定理2.21 不重合的两对对应元素确定唯一一个对合. 推论2.11 三对对应元素Pi , Pi '属于同一对合其参数pi , pi '满足 0. (2.16) 1 1 1 ' 3 3 ' 3 3 ' 2 2 ' 2 2 ' 1 1 ' 1 1 = + + + p p p p p p p p p p p p 证明 Pi , Pi '属于同一对合apipi '+b(pi+pi ')+d=0此方程组对 a, b, d有非零解|pipi ' pi+pi ' 1|=0, 即(2.16)成立. 推论2.12 已知不重合的两对对应元素的参数pi , pi ' (i=1,2), 则 由此决定的对合方程为 0. (2.17) 1 1 ' ' 1 ' 2 2 ' 2 2 ' 1 1 ' 1 1 = + + + p p p p p p p p 1、代数条件
§2.5一维基本形的对合 、定义二、代数表示三、确定对合的条件 、代数条件 2、几何条件 定理222若一个一维射影变换∫使得其一对对应元素相互对 应(成为互易偶),则f必为对合 理解相互对应互易偶 f:(a,b,c,)x(a',b’,c,) 如果 f: (a b 2022 )A(a,a, b,cl 则称a,a为相互对应,也称a,a'为一个互易偶.此时,f对于a,a这 对对应元素满足对合条件只要证明f的任意一对对应元素都 是互易偶,则∫必为对合
§ 2.5 一维基本形的对合 一、定义 二、代数表示 三、确定对合的条件 1、代数条件 2、几何条件 定理2.22 若一个一维射影变换 f 使得其一对对应元素相互对 应(成为互易偶), 则 f 必为对合. 理解 相互对应(互易偶) f :(a,b, c,...) (a' ,b' ,c',...) 如果 f :(a,a' ,b,c,...) (a' ,a,b' ,c',...) 则称a, a'为相互对应, 也称a, a'为一个互易偶. 此时, f 对于a, a'这 一对对应元素满足对合条件. 只要证明 f 的任意一对对应元素都 是互易偶, 则 f 必为对合
§2.5一维基本形的对合 定理222若一个一维射影变换f使得其一对对应元素相互对应 (成为互易偶,则f必为对合 证明设一维射影变换∫:(P)-(P)由其相异的三对对应元素 4P(i=1,2,3)确定则有 f:(,P2,B32)x(R,P2,B32) 现设P1,P1为f的一个互易偶,即 f:(,B12P2,B3,)x( P P 111:12:133 (B12P2B3)=(B1,P2P3) (2.18) 设P2作为(P)的元素时,其对应元素为(P)中的Q.来证Q=P2因为 f:(,B1,P2P2,B3)x(,B2P2,Q,B32…) (PP, PP)=(PP, P2=(PP, OP)=2=P f:(,B1,P2P2,B3)x(P,B,P2,P,B3 即P2,P2也是互易偶.同理,任意一对对应元素为互易偶,f为对合
§ 2.5 一维基本形的对合 定理2.22 若一个一维射影变换f 使得其一对对应元素相互对应 (成为互易偶), 则f 必为对合. 证明 设一维射影变换 f : (P)→(P')由其相异的三对对应元素 Pi↔Pi '(i=1,2,3)确定. 则有 :( , , ,...) P1 P2 P3 f ( , , ,...) ' 3 ' 2 ' P1 P P 现设P1 , P1 '为f的一个互易偶, 即 :( , , , ,...) 2 3 ' f P1 P1 P P ( , , , ,...) ' 3 ' 1 2 ' P1 P P P ( , ) ( , ) (2.18) ' 3 ' 1 2 ' 2 3 1 ' P1 P1 P P = P P P P 设P2 '作为(P)的元素时, 其对应元素为(P')中的Q. 来证Q=P2 . 因为 :( , , , , ,...) 3 ' 2 2 ' f P1 P1 P P P ( , , , , ,...) ' 3 ' 1 2 ' P1 P P Q P ( , ) ( , ) ( , ) . 2 ' 2 ' 1 1 ' 1 2 ' 1 ' 2 2 ' P1 P1 P P = P P PQ = PP QP Q = P :( , , , , ,...) 3 ' 2 2 ' f P1 P1 P P P ( , , , , ,...) ' 2 3 ' 1 2 ' P1 P P P P 即P2 , P2 '也是互易偶. 同理, 任意一对对应元素为互易偶, f 为对合
§2.5一维基本形的对合 定理222若一个一维射影变换f使得其一对对应元素相互对应 成为互易偶,则f必为对合 (B2P2B3)=(B1,P2B3) (2.19) (219)式实际上包含了定理222的全部内容,因此称(2.19)式为 对合的几何条件 推论2.13三对相异的对应元素P,P属于同一对合分 (P1,P2B3)=(PP2P23) 利用交比及对合的性质,可以写出(2.19)的许多等价形式,如 (B12B3B3)=(P2B,B3B3),(B1,B3B3)=(B2B3B3) 最重要的是理解并灵活运用(219)式 不必背诵!
§ 2.5 一维基本形的对合 定理2.22 若一个一维射影变换f 使得其一对对应元素相互对应 (成为互易偶), 则f 必为对合. ( , ) ( , ) (2.19) ' 3 ' 1 2 ' 2 3 1 ' P1 P1 P P = P P P P (2.19)式实际上包含了定理2.22的全部内容, 因此称(2.19)式为 对合的几何条件. 推论2.13 三对相异的对应元素Pi , Pi '属于同一对合 ( , ) ( , ) ' 3 ' 1 2 ' 2 3 1 ' P1 P1 P P = P P P P 利用交比及对合的性质, 可以写出(2.19)的许多等价形式, 如 ( , ) ( , ), ( , ) ( , ), ... 3 ' 1 2 3 ' 3 3 ' 1 2 ' 3 3 ' 1 ' 2 ' P1 P2 P3 P3 = P P P P PP P P = PP P P 最重要的是理解并灵活运用(2.19)式. 不必背诵！
§2.5一维基本形的对合 定义二、代数表示三、确定对合的条件 四、对合不变元素 由对合方程 a孔+b(+x)+d=0 (ad-b2≠0) 可得其不变元素方程为 a2+2b+d=0 (ad-b2≠0 (220) 对于上述方程总有△0,从而任一对合总有两个相异的不变元素 定理223任一对合必有两个相异的不变元素,即任一对合不 是双曲型即是椭圆型,不存在抛物型对合 定理224一维射影变换f成为对合兮f有两个相异的不变元素, 且任一对相异的对应元素被两个不变元素调和分离 即假设f:(P)→(P)为对合,且E,F为其两个不变元素则对的 任意一对对应元PP(P#P),均有(PP,EF=1
§ 2.5 一维基本形的对合 一、定义 二、代数表示 三、确定对合的条件 四、对合不变元素 由对合方程 ' ( ') 0 ( 0). 2 a +b + + d = ad −b 可得其不变元素方程为 2 0. ( 0) (2.20) 2 2 a + b + d = ad −b 对于上述方程总有Δ≠0, 从而任一对合总有两个相异的不变元素. 定理2.23 任一对合必有两个相异的不变元素, 即任一对合不 是双曲型即是椭圆型, 不存在抛物型对合. 定理2.24 一维射影变换f 成为对合f 有两个相异的不变元素, 且任一对相异的对应元素被两个不变元素调和分离. 即假设f : (P)→(P')为对合, 且E, F为其两个不变元素. 则对f 的 任意一对对应元P, P'(P≠P'), 均有(PP', EF)=–1
§2.5一维基本形的对合 例1设A,A,B,B为对合的两对对应元素,E,F为其两个不变元 素.求证:A,B;A,B,E,F属于另一对合 证明.只要证这三对对应元素满足对合的几何条件.因为 A BE F ABE F 所以, (AB, EF=(AB,EF 从而, (AB,EF)=(BA, FE) (EF, AB)=(FE, BA) 1B1,P23B,P2B3 根据对合的几何条件,结论成立 由本例可见,不必背诵几何条件的各种形式,关键在于会判别!
§ 2.5 一维基本形的对合 例1 设A, A'; B, B'为对合的两对对应元素, E, F为其两个不变元 素. 求证：A, B; A', B'; E, F属于另一对合. 证明. 只要证这三对对应元素满足对合的几何条件. 因为 A B' E F A' B E F 所以, (AB' ,EF) = (A'B,EF). 从而, (AB' ,EF) = (BA' ,FE) (EF, AB') = (FE,BA').' 3 ' 1 2 ' 2 3 1 ' 1 1 PP , P P P P, P P 根据对合的几何条件, 结论成立. 由本例可见, 不必背诵几何条件的各种形式, 关键在于会判别！
§2.5一维基本形的对合 例2设 (A, B, C, D,E,F)A(B,C,D,A,E, F) 求证:E,F为由AC,B←→D所决定的对合的不变元素 证明.由题设,有 B C DE F B C AE F (A, C, B,E)T(B, D, C,E)A(C,A, D,E) 所以,(AC,BE)=(CA,DE) P,BBFP→P=P3 同理,(AC,BF)=(CA,DF) 由对合的几何条件,E,F为由AC,B<D所决定的对合的不变元素 由本例可见,几何条件中,也可以包含不变元素!
§ 2.5 一维基本形的对合 例2 设 证明. 由题设, 有 所以, (AC,BE) = (CA, DE).' 3 ' 1 2 ' 2 3 1 ' 1 1 PP , P P P P, P P 由对合的几何条件, E, F为由A↔C; B↔D所决定的对合的不变元素. (A,B,C, D,E,F) (B,C, D, A,E,F). 求证：E, F为由A↔C; B↔D所决定的对合的不变元素. (A,C,B,E) (B, D,C, E) (C, A, D,E). 同理, (AC,BF) = (CA, DF). ' P3 = P3 由本例可见, 几何条件中, 也可以包含不变元素！ A B C D E F B C D A E F