§1.1拓广平面 9b:z→>R2 n1:丌→R2 有周界,闭圆盘 无周界,开圆盘兮兀
§ 1.1 拓广平面 2 D : → R 2 : A → R 有周界, 闭圆盘 无周界, 开圆盘π
§1.1拓广平面 Mobius带
§ 1.1 拓广平面 Möbius带
§12拓广平面上的齐次坐标 引入目的 实现数、形结合,用解析法研究射影几何 基本要求 既能刻画有穷远点,也能刻画无穷远点 基本途径 从笛氏坐标出发,对通常点与笛氏坐标不矛盾 主要困难 来自传统笛氏坐标的干扰 齐次坐标与笛氏坐标的根本区别在于齐次性, 必须注意 因此,学习诀窍是在齐次性的前提下灵活运用 线性代数知识。 尽管针对拓广平面,但是今后通用 齐次性问题 几乎无处不在的非零比例常数和比例关系
引入目的 § 1.2 拓广平面上的齐次坐标 实现数、形结合，用解析法研究射影几何 基本要求 既能刻画有穷远点，也能刻画无穷远点 基本途径 从笛氏坐标出发，对通常点与笛氏坐标不矛盾 主要困难 来自传统笛氏坐标的干扰 必须注意 齐次坐标与笛氏坐标的根本区别在于齐次性， 因此，学习诀窍是在齐次性的前提下灵活运用 线性代数知识。 尽管针对拓广平面, 但是今后通用 齐次性问题 几乎无处不在的非零比例常数和比例关系
§12拓广平面上的齐次坐标 、n维实向量类 R n维实向量的集合 n)|x∈R} (R”)={x=[x12x2,…,xn]x∈R} 定义等价关系~x~y30≠D∈R使得x=P n维实向量类的集合 用圆括号记向量)BPn=(R"10) (n≥2) n维实向量空间的商空间 n维实向量类的集合 用方括号记向量](RPn)=(R"190}) (n≥2) 事实上,关于齐次坐标的运算就是上述两个集合中向量类的运算 本课程仅涉及n=2,n=3
一、n 维实向量类 § 1.2 拓广平面上的齐次坐标 1 2 { ( , , , ) | } n R x x x x x R = = n i n 维实向量的集合 定义等价关系 ~ x ~ y 0 R,使得x = y. n 维实向量类的集合 (用圆括号记向量) ( \{0})/ ~ ( 2) 1 = − RP R n n n n 维实向量类的集合 [用方括号记向量] ( ) ( \{0})/ ~ ( 2) 1 * = − RP R n n n 事实上, 关于齐次坐标的运算就是上述两个集合中向量类的运算 本课程仅涉及n=2, n=3. n维实向量空间的商空间 * 1 2 ( ) { [ , , , ]| } n R x x x x x R = = n i
§12拓广平面上的齐次坐标 二、齐次点坐标 维齐次点坐标 定义1.4 非齐次关系 齐次坐标 有穷远点 x=x1/x2 (x12x2)(x2≠0) 无穷远点 (x120)(x1f0) 注对一维齐次点坐标定义的进一步理解
二、齐次点坐标 定义1.4 有穷远点 无穷远点 非齐次 关系 齐次坐标 注 对一维齐次点坐标定义的进一步理解 § 1.2 拓广平面上的齐次坐标 1. 一维齐次点坐标 (x1 , x2 x x= x ) (x2≠0) 1 / x2 (x1 , 0) (x1≠0)
§12拓广平面上的齐次坐标 二、齐次点坐标 维齐次点坐杉 1).VP∈l,都有齐次坐标(x,x2)反之,v(x2x2)x2+x2≠0) 都对应唯一一点P∈l.(0,0)不是任何点的齐次坐标 (2).V0≠P∈R,(x12x2)与(mx12x2)是同一点的齐次坐标因此, 直线上每个点都有无穷多个齐次坐标,同一点的任意两个齐次坐 标之间相差一个非零比例常数 (3)原点:(0,x2)特别地,(0,1) 无穷远点:(x1,O),特别地,(1,0) (4)一维齐次点坐标的集合为(2维实向量类的集合): ({(x12x2)|x1∈R}{(0,0)})/~=(R2\{0})/~=RP 此即拓广直线的线束模型
(1). Pl, 都有齐次坐标 ( , ); 1 2 x x 反之， 2 2 1 2 1 2 + ( , )( 0) x x x x 都对应唯一一点 Pl. (0, 0)不是任何点的齐次坐标. (2). 0 R, ( , ) 1 2 x x 与 ( , ) 1 2 x x 是同一点的齐次坐标. 因此， 直线上每个点都有无穷多个齐次坐标，同一点的任意两个齐次坐 标之间相差一个非零比例常数. (3). 原点：(0, x2 ), 特别地，(0, 1). 无穷远点：(x1 , 0), 特别地，(1, 0). (4). 一维齐次点坐标的集合为(2维实向量类的集合)： 2 1 1 2 ({( , ) | }\{(0,0)}) / ~ ( \{0}) / ~ i x x x R R RP = = 此即拓广直线的线束模型. 二、齐次点坐标 § 1.2 拓广平面上的齐次坐标 1. 一维齐次点坐标
§12拓广平面上的齐次坐标 2.二维齐次点坐标 通常点X 引入VP∈z,可视为P=41×12(4≠2)P为 无穷远点4l2 A B 设l:A,x+By+C=0(G=1,2)记MB表示4B2样有BCCA (1)P为通常点,l1N2设P(xy)则 BC CA AB|≠0 AB yAB 令BCFx1,CAx2,B|x3,则x 2,x,≠0 从而x:y:1=x1:x2:x3于是,可以把与(x,y,1)成比例的任何 有序实数组(x1,x2x3)作为点P的齐次坐标
引入 P , 可视为 ( ). 1 2 1 2 P = l l l l P为 通常点 无穷远点 // . 1 2 l l // . 1 2 l l 设 l i : Ai x+Bi y+Ci=0 (i=1, 2). 记 |AB| 表示 1 1 2 2 , A B A B (1). P为通常点， // . 1 2 l l 设 P(x, y). 则 , | | | | AB BC x = , | | | | AB CA y = | AB | 0. 令|BC|=x1 , |CA|=x2 , |AB|=x3 . 则 , , 0. 3 3 2 3 1 = = x x x y x x x 从而 x : y : 1=x1 : x2 : x3 . 于是, 可以把与(x, y, 1)成比例的任何 有序实数组(x1 , x2 , x3 )作为点P的齐次坐标. 2. 二维齐次点坐标 § 1.2 拓广平面上的齐次坐标 同样有|BC|, |CA|
§12拓广平面上的齐次坐标 2.二维齐次点坐标 引入(2)P=P2h1∥2即P为1,2方向上的无穷远点 目标:构造P的齐次坐标,使之仅与1212的方向(斜率)有关 因1/l2,故前述x2=0.考虑取(x12x2,0)为P的齐次坐标只要证 明x12x2仅与的方向(斜率)有关 2 2 ∵l1≠ 2 ∴x十x≠ 0 当4不平行于y轴时,即x10.不难证明 几. , B B, 其中x为l的斜率,即(x1,x2,0)表示方向为的无穷远点特别地,若 x2=0,则表示x轴上的无穷远点 当4平行于y轴时,A=∞.可合理地取(0,x2,0)(x20)为y7轴上无 穷远点的齐次坐标 引出定义
引入 (2). P=P∞, l1 // l2 . 即P∞为l1 , l2方向上的无穷远点. 目标： 构造P∞的齐次坐标，使之仅与l1 , l2的方向(斜率)有关. 因l1 // l2 . 故前述x3=0.考虑取(x1 , x2 , 0)为P∞的齐次坐标. 只要证 明x1 , x2仅与l i的方向(斜率)有关. 2 2 1 2 1 2 l l x x + , 0. 当l i不平行于y轴时，即x1≠0. 不难证明 . 2 2 1 1 1 2 = − = − = B A B A x x 其中λ为l i的斜率, 即(x1 , x2 , 0)表示方向为λ的无穷远点. 特别地, 若 x2 =0, 则表示x轴上的无穷远点. 当l i平行于y轴时， λ=∞. 可合理地取(0, x2 , 0) (x2≠0)为y轴上无 穷远点的齐次坐标. 引出定义 2. 二维齐次点坐标 § 1.2 拓广平面上的齐次坐标
§12拓广平面上的齐次坐标 2.二维齐次点坐标 定义15 非齐次 关系 齐次坐标 有穷远点 (x,y)x=x1/x3,y=x2/x3(x,x2x3)(x30) 方向为 (x12x2,O)(x1≠0) 无=x2/x1的无 穷穷远点 (=x2/x1) 点y轴上的 (0,x2,0)(x20) 无穷远点 注对二维齐次点坐标定义的进一步理解
定义1.5 有穷远点 方向为λ =x2 /x1的无 穷远点 非齐次 关系 齐次坐标 注 对二维齐次点坐标定义的进一步理解 y轴上的 无穷远点 2. 二维齐次点坐标 § 1.2 拓广平面上的齐次坐标 (x, y) x = x1 / x3 , y = x2 / x3 (x1 , x2 , x3 ) (x3≠0) (x1 , x2 , 0) (x1≠0) (λ=x2 /x1 ) (0, x2 , 0) (x2≠0) 无 穷 远 点
§12拓广平面上的齐次坐标 2.二维齐次点坐标 1)对任意的P∈x,都有齐次坐标(x12x2,x3)对于通常点x3≠0;对于 无穷远点x3=0,但x12+x20.反之,任给(x1,x2,x3)(x12+x2+x32均0),都对 应惟一一点P∈z(0,0,0)不是任何点的齐次坐标 2)对任意的0∈R,(x12x2,x3)与(px1x2x3)是同一点的齐次坐 标因此,平面上每个点都有无穷多个齐次坐标,同一点的任意两 个齐次坐标之间相差一个非零比例常数 (3)原点:(0,0,x3)特别地(0,0,1)无穷远点(x1,x2,O),若x1≠0,则 可表为(1,4,0),其中为该无穷远点的方向 特别地,x轴上的无穷远点为(1,0,0),y轴上的无穷远点为(0,1,0) (4)平面上点的齐次坐标的集合为(3维实向量类的集合): ({(x12x2x3)x1∈R}(0,0,0))~=(R3\{0))/~=RP2 此即拓广平面的线丛模型
(1). 对任意的P∈π, 都有齐次坐标(x1 , x2 , x3 ). 对于通常点x3≠0；对于 无穷远点x3 =0, 但x1 2+x2 2≠0. 反之, 任给(x1 , x2 , x3 ) (x1 2+x2 2+x3 2≠0), 都对 应惟一一点P∈π. (0, 0, 0)不是任何点的齐次坐标. (2). 对任意的0≠ρ∈R, (x1 , x2 , x3 )与(ρx1 ,ρx2 ,ρx3 )是同一点的齐次坐 标. 因此, 平面上每个点都有无穷多个齐次坐标, 同一点的任意两 个齐次坐标之间相差一个非零比例常数. (3). 原点：(0, 0, x3 ), 特别地(0, 0, 1); 无穷远点(x1 , x2 , 0), 若x1≠0, 则 可表为(1, λ, 0), 其中λ为该无穷远点的方向. 特别地, x轴上的无穷远点为(1, 0, 0), y轴上的无穷远点为(0, 1, 0). (4). 平面上点的齐次坐标的集合为(3维实向量类的集合) ： 3 2 ({( x1 , x2 , x3 )| xi R}\{(0,0,0)})/ ~= (R \{0} )/ ~= RP 此即拓广平面的线丛模型. 2. 二维齐次点坐标 § 1.2 拓广平面上的齐次坐标