§2.3一维基本形的射影对应 一、透视对应(中心射影) 二、一维射影对应的综合法定义 三、射影对应成为透视对应的条件
§ 2.3 一维基本形的射影对应 一、透视对应(中心射影) 二、一维射影对应的综合法定义 三、射影对应成为透视对应的条件
§2.3一维基本形的射影对应 四、射影对应的代数定义 定义27设在两个点列上各取定齐次坐标系.称由非奇异线性 对应 m1=a1x1+a12X2 12 ≠0,p≠0 (2.10) x2=a21x1+a2x2a21a2 决定的两点列间的对应为射影对应其中(x1,x2)与(x1,x2)为任 对对应点的齐次坐标,p为非零比例常数 (2.10)也常写成 x(a1a12)x1 或p=AX,|A≠0 定理2.15代数定义 AY Steiner定义 证明.(略,见教材) 注.相差一个非零比例常数的二阶非异矩阵为同一个一维射 影对应的矩阵
§ 2.3 一维基本形的射影对应 四、射影对应的代数定义 定义2.7 设在两个点列上各取定齐次坐标系. 称由非奇异线性 对应 0, 0 (2.10) ' ' 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 = + = + a a a a x a x a x x a x a x 决定的两点列间的对应为射影对应. 其中(x1 , x2 )与(x1 ' , x2 ')为任一 对对应点的齐次坐标, ρ为非零比例常数. (2.10)也常写成 , ' , | | 0. ' ' 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 = = X AX A x x a a a a x x 或 定理2.15 代数定义Steiner定义. 证明. (略, 见教材). 注. 相差一个非零比例常数的二阶非异矩阵为同一个一维射 影对应的矩阵
§2.3一维基本形的射影对应 四、射影对应的代数定义 0x1=C11xX1+a12x 2 lax2'=a2-1+a2x-x2a2i a,2l ≠0,p≠0 (2.10) 注1.当不涉及无穷远元素时,(2.10)可以写成非齐次形式,即 aux+a 12 an≠0 a21X+02 或 axx+bx+crtd=0 (ad-bc≠0 注2.对(2.10)中比例常数p的理解 注3.由(2.10)理解定理2.12.相异的三对对应元素唯一确定 个射影对应 例2.(P66,例2.11)求射影对应式,使l上的点(1,0,(2,1),(4,1) 依次对应于上的点(1,0),(-1,1),(1,1)
§ 2.3 一维基本形的射影对应 四、射影对应的代数定义 注1. 当不涉及无穷远元素时, (2.10)可以写成非齐次形式, 即 ' , | | 0. 21 22 11 12 + + = ai j a x a a x a x 或 axx'+bx +cx'+d = 0, (ad −bc 0). 注2. 对(2.10)中比例常数ρ的理解. 注3. 由(2.10)理解定理2.12. 相异的三对对应元素唯一确定一 个射影对应. 0, 0 (2.10) ' ' 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 = + = + a a a a x a x a x x a x a x 例2. (P.66, 例2.11)求射影对应式, 使l上的点(1, 0), (2, 1), (4, 1) 依次对应于l'上的点(1, 0), (–1, 1), (1, 1)
§2.3一维基本形的射影对应 四、射影对应的代数定义 例2求射影对应式,使上的点(1,0,(2,1),(4,1)依次对应于 上的点(1,0),(-1,1),(1,1) 解.设所求对应式为 ∫mx=41x+a1x2 (2.10) 2=a21x1+a2,x 2 将已知三对对应点的坐标分别代入,得 6个方程 x 7个未知数 (1,0) (1,0) 11 0 的齐次线 2a1+a1 性方程组 11 12 (2,1) 2a21+ P3=4a1+a12 4an,+
§ 2.3 一维基本形的射影对应 四、射影对应的代数定义 (2.10) ' ' 2 21 1 22 2 1 11 1 12 2 = + = + x a x a x x a x a x 例2. 求射影对应式, 使l上的点(1, 0), (2, 1), (4, 1)依次对应于l' 上的点(1, 0), (–1, 1), (1, 1). 解. 设所求对应式为 将已知三对对应点的坐标分别代入, 得 xi xi ' (1, 0) (1, 0) = = 21 1 11 0 a a (2, 1) (–1, 1) = + − = + 2 21 22 2 11 12 2 2 a a a a (4, 1) (1, 1) = + = + 3 21 22 3 11 12 4 4 a a a a 6个方程, 7个未知数 的齐次线 性方程组
§2.3一维基本形的射影对应 四、射影对应的代数定义 求解过程:消去p2求出a的一组比值即可 0 0=a21 =2a1+a1 a1+ n2=2a21+a2一代入O2=a2 一2a1+a2+a2=0 4 a1+ 11 12 4a1+ 2 4a1,+ 11 12 2-a2=0 a2=4a1+a2 22 解得a1:a12:a21:a2=1:-3:0:1 于是,所求对应式为 =x;-3x
§ 2.3 一维基本形的射影对应 四、射影对应的代数定义 求解过程：消去ρi , 求出aij的一组比值即可. = = 21 1 11 0 a a = + − = + 2 21 22 2 11 12 2 2 a a a a = + = + 3 21 22 3 11 12 4 4 a a a a a21 = 0 代入 = − = + 2 22 2 2 11 12 a a a = = + 3 22 3 4 11 12 a a a + − = + + = 4 0 2 0 11 12 22 11 12 22 a a a a a a 解得 a11 : a12 : a21 : a22 =1:−3:0:1 于是, 所求对应式为 = = − 2 2 1 1 2 ' ' 3 x x x x x
§2.3一维基本形的射影对应 例3.(P67EX.6)如果三角形ABC的边CB,CA,AB分别通过在同 直线上的三点P,Q,R,又顶点B,C各在一条定直线上求证:顶 点A也在一条定直线上
§ 2.3 一维基本形的射影对应 例3. (P.67 Ex. 6)如果三角形ABC的边CB, CA, AB分别通过在同 一直线上的三点P, Q, R, 又顶点B, C各在一条定直线上. 求证：顶 点A也在一条定直线上
例4(P67Ex.8)设两直线1l2交于点O,两定点S12S2与O共线, 动直线图经过另一定点M,分别交l,l2于点A1,A2证明:直线S1A1, 242的交点轨迹为一条直线讨论:此直线在什么条件下经过点O? 2003级期中考试题
例4. (P.67 Ex. 8)设两直线l1 , l2交于点O, 两定点S1 , S2与O共线, 动直线l经过另一定点M, 分别交l1 , l2于点A1 , A2 . 证明：直线S1A1 , S2A2的交点轨迹为一条直线. 讨论：此直线在什么条件下经过点O? A1 B1 C1 A2 B2 B3 A3 C2 C3 l 1 l 2 l 3 l S1 S2 S3 O x y z 2003级期中考试题
例5.设一变动的三点形ABC在其运 动过程中,其三个顶点A,B,C分别在共 点于O的三条定直线x,yz上,其三条边 CA,BC,AB分别经过过O的另一条定直 线l上的三个定点S1S2,S3请根据此图至 少构造出一个几何证明题,并给出证明 构造1.设,x,y,z为过O的相异直线, 2,S,O为直线上相异的点B为直线y上o 的动点,S2B,S3B分别交,x于C,A求证: CA经过的一个定点 构造2设,x,z为过O的相异直线,S1 2,S3,O为直线/上相异的点,l为过点S3 的动直线,l分别交2,x于C,A,S34与S2CS 相交于B.求证:B的轨迹为过O的一条 定直线 构造3设l,x,z为过O的相异直线,S,S2,S3,O为直线上相异的点, l为过点S3的动直线,l分别交z,x于C,A,S34与S2C相交于B求证:S3 为l上的定点兮B轨迹为过O的一条定直线
例5. 设一变动的三点形ABC在其运 动过程中, 其三个顶点A, B, C分别在共 点于O的三条定直线x, y, z上, 其三条边 CA, BC, AB分别经过过O的另一条定直 线l上的三个定点S1 , S2 , S3 .请根据此图至 少构造出一个几何证明题, 并给出证明. A1 B1 C1 A2 B2 B3 A3 C2 C3 l 1 l 2 l 3 l S1 S2 S3 O x y z 构造1.设l, x, y, z为过O的相异直线, S2 , S3 , O为直线l上相异的点, B为直线y上 的动点, S2B, S3B分别交z, x于C, A. 求证： CA经过l上的一个定点. 构造2.设l, x, z为过O的相异直线, S1 , S2 , S3 , O为直线l上相异的点, l i为过点S3 的动直线, l i分别交z, x于C, A, S3A与S2C 相交于B. 求证：B的轨迹为过O的一条 定直线. 构造3.设l, x, z为过O的相异直线, S1 , S2 , S3 , O为直线l上相异的点, l i为过点S3的动直线, l i分别交z, x于C, A, S3A与S2C相交于B. 求证：S3 为l上的定点B轨迹为过O的一条定直线
例6.(P59,EX.5)设XYZ是完全四点形ABCD的对边三点形,P是 平面上的动点.直线经过点X,直线偶l,XP与完全四点形过点X的 两边调和共轭;类似地定义分别经过点Y,Z的直线m,n.证明三直 线l,m,n共点 证明可以考虑用解析法,主要是烦琐的计算,不作要求
例6. (P.59, Ex. 5)设XYZ是完全四点形ABCD的对边三点形, P是 平面上的动点. 直线l经过点X, 直线偶l, XP与完全四点形过点X的 两边调和共轭；类似地定义分别经过点Y, Z的直线m, n. 证明三直 线l, m, n共点. 证明. 可以考虑用解析法, 主要是烦琐的计算, 不作要求
例7.(P59,Ex6)设有三点形P1P2P3,Q1Q2,Q3为共线三点分别 位于三边上又(R1Q1P2P3)=-1,(R2Q2P3P1)-1,(R3O3P1P2)=-1求 证:P1R13P2R2,P3R3共点 证明因Q12Q2,Q3三点共线且分别位于三点形P1P2P3的三边上, 而R1,R2,R3依次是该三点形三边上的另外三点,且 (23,RQ)=k1=-1(P3B,RQ)=k2=-1,(PP2,R3Q3)=k3=-1 注意到kk2k3=1,利用教材例2.3得结论
例7. (P.59, Ex. 6)设有三点形P1P2P3 , Q1 , Q2 , Q3为共线三点分别 位于三边上.又(R1Q1 ,P2P3 )=-1, (R2Q2 ,P3P1 )=-1, (R3Q3 ,P1P2 )=-1. 求 证：P1R1 , P2R2 , P3R3共点. 证明. 因Q1 , Q2 , Q3三点共线且分别位于三点形P1P2P3的三边上, 而R1 , R2 , R3依次是该三点形三边上的另外三点, 且 2 3 1 1 1 3 1 2 2 2 1 2 3 3 3 ( , ) 1,( , ) 1,( , ) 1 P P R Q k P P R Q k PP R Q k = = − = = − = = − 注意到k1 k2 k3 =–1, 利用教材例2.3得结论