目 录 第一章初等数学 1.1.初等代数…………1 数 11.1.数的基本运算 1)指数、根式………8 2)对数 1.1.9.多项式展开与 1)交换律…1 2)结合律… 多项式除法……9 (3)分配律………… (1)多项式展开 (2)多项式除法………9 1.1.2.实数的绝对值 1.1.10.数列 ……10 (1)等差数列……10 1.1.3.复数…………1 (2)等比数列……10 (1)虚单位乘方………1 (3)某些数列的前项和 (2)虚单位开方…2 11 3)复数的运算 1.1.11.阶乘、排列、 1.1.4.乘法及因式分 组合、二项式定 解 理 12 1.1.5.比例… (1)阶乘…………12 1.1.6.分式………5 2)排列… 1)基本性质…5 (3)组合…………13 2)分式运算 5 (4)二项式定理 14 3)分项分式………5 (5)多项式公式 14 1.7,不等式…… 1.12.一次方程组 1.8.指数、根式、对 自音看自喜着鲁
1.1.13.线性方程…161.2.5.旋转体 (1)一次方程……………16 1)圆柱…23 (2)一元二次方程…16(2)圆锥……………23 (3)一元三次方程…16 (3)圆台……………24 4)一元四次方程………18 (4)球…………24 1.2.初等几何…8 (5)球缺(球冠)………24 1.2.1.任意三角形 6)球台………24 …………118 (7)球扇形………24 1)面积……18 1.26.棱柱、棱锥 25 2)外接圆半径………18 (1)正方体……25 (3)内切圆半径… 19 (2)长方体 ……25 1.2.2.四边形……19 3)直棱柱…………25 (1)矩形 19 (4)斜棱柱………25 (2)平行四边形…19 5)正棱锥…25 3)菱形……19 6)棱锥……………25 (4)梯形……19 (7)棱台………26 (5)任意四边形 201,3.平面三角 26 1.2.3.正多边形…20 1.3.1.基本关系………26 (1)正三角形……20(1)基本关系… 26 (2)正方形……21 2)各三角函数用某一个三 (3)正五边形… 21 角函数表示…27 (4)正六边形………211.3.2.和角、倍角、半 (5)正n边形……21 角的三角公式 1,2,4,圆 22 …………26 (1)圆周长………22 (2)圆弧长…………22 1)和角公式……26 (3)圆面积………22 (2)倍角公式…………28 29 (4)扇形面积 ………22 (3)半角公式 (5)弓形………………22 1.3.3.和差与积关系 G)环形面积 公式…………30 2
1.3.4.反三角函数的 弦的乘积定理………37 公式…………33 5)角的正弦与相邻边余 1.3.5.斜三角形的边角 弦的乘积定理… 37 (6)余切定理……………37 关系… (1)正弦定理…34 1.4.3.解球面直角三角形 (2)余弦定理……34 的公式……38 (3)射影定理……34 1.4.4.解球面斜三角 4)正切定理· 形的公式…38 (5)半角定理………………34 (1)半角函数公式………38 1.3.6.三角方程的解 (2)半边函数公式…39 3 (3)二角和、差之半的正 1.4球面三角 36 弦公式…………4 4)二角(边)和、差之半 1.4.1.球面三角形基 的正切公式…………40 本性质 (5)正切定理…41 1.4.2.球面三角形的 1.4.5.球面三角形的 边角关系…36 角超与面积……41 (1)正弦定理……36 1)角超……………41 (2)边的余弦定理…37 (2)球面三角形的面积 (3)角的余弦定理 s…42 4)边的正弦与其邻角余 第二章解析几何 2.1.平面解析几何 43 关系………………4 2.1.1.坐标变换 (5)直角坐标(x1y1)与斜 1)平移………………43 角坐标(x2,y2)的关系 (2)旋转…………………43 43 (3j平移同时旋转 43 (6)斜角坐标(x,)与极 (4)直角坐标与极坐标的 坐标(p,6)的关系
2.1.2.三个基本公式 3)抛构线xb+b ………44 …57 (1)两点距离………………44 4)箕舌线 58 2)定比分点……………44 5)吋形线………58 (3)三角形及多边形面积 (6)双纽线 …58 (7)蔓叶线…58 2.1.3.直线………45 (8)环索线…58 1)直线的斜率…………45 (9)摆线………58 (2)直线方程…………46 (10)内摆线…………59 (3)点线距离……………47 (11)外摆线…60 (4)两平行直线间的距离 (12)心脏线……60 (13)星形线 60 (5)两直线间的关系……48(14)悬链线 ………60 (6)三点共线与三线共点 15)概率曲线…61 (16)圆的渐开线… 61 2.1.4.圆锥曲线……49 (17)曳物线……61 (1)圆 49 (18)阿基米得螺线……62 (2)椭圆 (19)等角螺线(对数螺线) ………………62 3)双曲线… (4)抛物线(P>0)………53 (20)三叶玫瑰线………62 (21)四吁玫瑰线…………63 2,1,5.一般二次方程的 (22)p=asin……62 图形 2.2.空间解析几何 63 1)二次曲线的分类…56 2.2.1.空问直角坐标 2)二次曲线的切线与法 变换 线 1)平移…63 2.1,6.重要平面曲线 (2)旋转……63 方程……57 (3)平移同时旋转………64 (1)立方抛物线………57 (4)空间直角坐标(x, 2)半立方抛物线………57 g,z,)与柱坐标(p,φ
z,)的关系…………6 2.2.5.点、直线、平面 (5)空间直角坐标(x,y,z) 间的距离、位置 与球坐标(,6,)的关 关系 68 系 64 (6)球坐标(,中,6)与柱坐 (1)距离………………68 标(P,,z)的关系 (2)交角a……………69 (3)平行、垂直、重合的 64 2.2.2.射影定理… 条件…………70 (4)其他……………71 2.2.3.平面方程……65 ()一般式………………65 2.2.6.空间三角形面 (2)点法式………………65 积和四面体体 3)截距式… 积公式…………71 ……65 (4)法线式……………65 1)三角形面积……71 (5)三点式…… 66 (2)四面体体积…………72 (6)过两点1=(x1,1,21,) (3)平行六面体体积…72 F2=(x2,2,z2),且平行 2.2.7.重要的曲面方程 于向量=(a,b ……66 (1)球面方程……………73 (7)过点子o=(x0,0,z0), (2)椭球面方程……73 (3)单叶双曲面方程…73 且平行两个向量1= (4)双叶双曲面方程…73 (a1,b1,c1),2=(a2, (5)椭圆抛物面方程……73 b2,C2)…………66 6)双曲抛物面方程……73 (8)参数式…………66 (7)椭圆柱面方程………73 2.2.4.空问直线方程 (8)双曲柱面方程……74 …67 (9)抛物柱面方程……74 (1)交面式……………67 (10)圆环面方程…………74 (2)参数式………………67(11)一般旋转面方程……74 (3)对称式 67 (12)锥面方程…………74 (4)射影式 67 (13)螺面方程……… 75 (5)两点式 67 2.2.8.空间曲线方程
(3)圆柱螺线………75 (1)一般方程…………75(4)圆锥螺线……………76 (2)参数方程……………75 第三章线性代数 3.1.行列式与矩阵、m维向 ……85 量 )逆矩阵 85 3.1.1.行列式的计算与 (10)转置矩阵 86 性质 (11)共轭矩阵 86 (1)二阶行列式…………77 (12)矩阵函数与向量函数 2)三阶行列式 的微积分……………86 (3)高阶行列式 (13)向量的线性关系……87 (4)两个行列式相乘……80 (14)矩阵的秩……………88 (5)行列式的变阶………80 (15)m维向量空间…88 (6)三角形行列式………81 3.1.3.某些特殊矩阵 (7)范德蒙行列式 81 88 (8)倒数对称行列式……81 (1)对角矩阵… 88 9)带形行列式…………81 (2)三角形矩阵 89 3.1.2.矩阵与m维向量 (3)带形矩阵………90 的运算 82 4)对称矩阵……………90 (I)矩阵与n维向量……82(5)实对称矩阵 91 2)矩阵、向量的相等…83 6)正定矩阵的逆矩阵 3)加减运算…………83 (4)数乘运算 …83 (7)反对称矩阵…………92 (5)乘法运算…………83 8)埃尔米特矩阵 93 (6)零矩阵与零向量、零 9)反埃尔米特矩阵……93 因子…………84 (10)正交矩阵 93 7)负矩阵与负向量……85 (11)酉矩阵…………94 8)单位矩阵与单位向量 (12)分块矩阵…………94
(13)分块对角矩阵………95 3.3.1.二次型与埃尔 3.1.4.矩阵的变换……96 米特型(H型) (1)初等变换………!96 ………………104 2)相似变换…………96 (1)二次型与埃尔米特型 (3)正交变换………97 (4)旋转变换 (H型)………………104 (5)用初等变换求逆矩阵 2)二次型与H型为正定 的判定…………105 98 (3)线性变换… 106 3.2.特征理论与若当标 (4)二次型化为标准型…106 准形…………99 (5)H型化为标准型……10 3.2.1.特征值与特征 (6)两个二次型或H型的 向量……………99 联立简化 I08 (1)特征概念 …99 3.3.2.线性方程组 (2)特征值与特征向量的 109 性质 99 1)线性方程组的一般形 (3)矩阵多项式与最小多 式 …………l09 项式……………100 2)线性方程组解的判定 (4)哈密顿-凯莱定理……10 109 (5)最小多项式与特征多 3)线性方程组解的结构 项式的关系…………101 ……110 3.2.2.方阵的若当标 (4)n个未知数n个方程的 准形……101 线性方程组的解法 〔Y)A矩阵……… …101 ………………·l10 2)λ矩阵的等价………1023.4.矩阵分析………112 (3)λ矩阵的标准形……102 3.4.1.矩阵的极限……12 (4)若当标准形…………102 (1)矩阵序列的极限 112 (5)特征矩阵…………103 (2)纯变量的矩阵值函数 (8)方阵的标准化………103 的极限……………114 3.3.二次型与线性方程 3.4.2.纯变量的矩阵 组………104 值函数的连续
性 115 3.4.6.矩阵函数…………12! (1)定义 11J5 (1)常用的由方阵幂级效 (2)判别连续的充要条件 定义的矩阵函数……124 (2)矩阵函数的求法……125 3.4.3.矩阵的导数……163.5.广义逆矩阵………127 (1)定义…………………116 3.5.1.广义逆矩阵及共 (2)导数存在的充要条件 分类… 116 (3)矩阵导数的运算法则 (1)定义 127 116 (2)常见的五种广义逆矩 3.4.4.矩阵的积分…17 阵 …127 (1)定义 ………I7 3.5.2.常见几种广义 (2)矩阵积分的简单性质 逆矩阵的通式 34.5.矩阵级数………1183.53.减号逆A与 (1)矩阵级数的概念…18 加号逆A+的 (2)矩阵级数收敛的充要 性质 128 条件………………19 (1)A的性质…………128 (3)收敛的矩阵级数的运 (2)A+的性质……………128 算法则……………120 3.5.4.A+的求法 4)矩阵级数的绝对收敛 1)求法一………………129 120 (2)求法二 29 (5)方阵的幂级数………121 第四章微分学 4.1.函数与极限…130 2)指数函数………………13t 4.1.1.基本初等函数 (3)对数函数…………131 ………130 4)三角函数………131 (5)反三角函数………132 1)幂函数………………130 6)代数函数 …135
(Y)双曲函数……………136(12)无穷小量………4 (8)双曲函数的相互关系 (13)无穷小量阶的公式 式 〔9)双曲函数的基木公式 (14)等价无穷小代换定理 …………l46 (10)反双曲函数 (15)无穷小量与无穷大量 (11)反双曲函数的基本公 的关系…………146 式 …………140 (16)曲线的渐近线…47 (12)双曲函数与三角函数 4.1.3.函数的连续性 反双曲函数与反三角 ……………………147 函数的关系 (1)函数在一点连续……147 4.1.2.数列与函数的 (2)函数在一点单侧连续 极限 140 …………………l4 1)数列的极限………140 3)函数在区间上连续 2)聚点………141 (3)上(下)极限…………141 (4)连续函数的性质……148 4)数列极限的存在准则 (5)初等函数的连续性 (5)数列极限的基本公式 4.1.4.乡重极限与累 142 次极限 (6)一些重要的数列极限 1)m重极限…… ……4142 (2)累次极限 …149 (7)函数的极限………143 3)二重极限与二次极限 8)单侧极限……144 的关系… …………149 9)函数极限的存在准则 (4)多元函数的连续性…150 ……144 4.2.微分… …150 (10)函数极限的基本公式 4.2.1.导数与微分 144 (11)一些重要的函数极限 (1)导数 150 (2)单侧导数……150
3)导函数………………150(10)混合偏导数的许瓦玆 (4)微分………………151 定理…………………16 (5)导数与微分法则 11)高阶偏导数的莱菜布尼 (6)导数与微分的基本公 兹公式 164 式 153 (12)高阶全微分………165 (7)高阶导数与高阶微分 (13)泰勒公式…………165 法则…………………154 (14)雅可比行列式………167 (8)高阶导数与高阶微分 (15)隐函数组的微分法 的基本公式……………155 169 4.2.2.微分学的基本 (16)变量变换中的微分法 定理 157 ……170 (1)罗尔定理……………157 4.2.4.导数与黴分的 (2)拉格朗日中值定理 应用 ……………157 (1)平面曲线的切线与法 (3)柯西中值定理 …157 线………73 (4)泰勒公式………158 2)平面曲线的夹角……174 (5)洛必达法则……160 3)空间曲线的活动标架 4.2.3.多元函数的微 174 分学 1)弧微分 176 (1)偏导数………………160 (5)平面曲线的曲率…176 (2)偏微分……………161 6)空间曲线的曲率与挠 (3)全微分……………161 6 (4)偏导数与全微分的关 (7)雪列弗雷纳公式……179 系………………………162 (8)曲面的切面与法线 (5)链式法则.…………162 79 (6)全导数…………163 (9)曲面元…………………180 (7)隐函数的微分法……163 (10)函数的单调性……l81 (8)齐次函数偏导数的欧 (11)单调性定理……181 拉公式…………………163 (12)函数的极值………181 (9)高阶偏导数………164 (13)极值的必要条件……81