习题2.1解答 1.现有10件产品,其中6件正品,4件次品。从中随机抽取2次,每次 抽取1件,定义两个随机变量X、Y如下: x={1.轴次抽到正品 ∫1,第次抽到正品 0,第次抽到次品。 0,第次抽到次品。 试就下面两种情况求(X,Y)的联合概率分布和边缘概率分布 (1)第1次抽取后放回;(2)第1次抽取后不放回 解(1)依题知(X,Y)所有可能的取值为(0,0),(0,1)(0),(11).因为 P(X=0,y=0)=P(X=0)·P(Y=0X=0) 4、44 P(X=0,y=1)=P(X=0)·P(Y=1X=0 66 P(X=1,Y=0)=P(X=1)P(Y=0|X=1) 646 1010-25 P(X=1,=1)=P(X=1)P(Y=l|X=1) 6×6 所以(x,Y)的联合概率分布及关于X、Y边缘概率分布如下表为 0 P 0 P 号
21 习题 2.1 解答 1．现有 10 件产品，其中 6 件正品，4 件次品。从中随机抽取 2 次，每次 抽取 1 件，定义两个随机变量 X 、Y 如下： = 第 次抽到次品。 第 次抽到正品 1 1 0, 1, ; X = 第 次抽到次品。 第 次抽到正品 2 2 0, 1, ; Y 试就下面两种情况求 (X,Y) 的联合概率分布和边缘概率分布。 （1） 第 1 次抽取后放回； （2） 第 1 次抽取后不放回。 解 （1）依题知 (X,Y) 所有可能的取值为 (0,0),(0,1),(1,0),(1,1) . 因为 ；25 4 10 4 10 4 ( 0, 0) ( 0) ( 0 | 0) 1 10 1 4 1 10 1 4 = = = = = = = = = C C C C P X Y P X P Y X ；25 6 10 6 10 4 ( 0, 1) ( 0) ( 1| 0) 1 10 1 6 1 10 1 4 = = = = = = = = = C C C C P X Y P X P Y X ；25 6 10 4 10 6 ( 1, 0) ( 1) ( 0 | 1) 1 10 1 4 1 10 1 6 = = = = = = = = = C C C C P X Y P X P Y X ；25 9 10 6 10 6 ( 1, 1) ( 1) ( 1| 1) 1 10 1 6 1 10 1 6 = = = = = = = = = C C C C P X Y P X P Y X 所以 (X,Y) 的联合概率分布及关于 X 、Y 边缘概率分布如下表为： Y X 0 1 i p 0 25 4 25 6 25 10 1 25 6 25 9 25 15 j p 25 10 25 15 1
(2)类似于(1),可求得 P(X=0,Y=0)=P(X=0)·P(Y=0|X=0) 3_2 P(X=0,=1)=P(X=0)P(Y=1|X=0) P(X=1,=0)=P(X=1)·P(=0|X=1) 644 P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1|X=1 6×5=5 所以(X,Y)的联合概率分布及关于X、Y边缘概率分布如下表为 0 Pi 音 告音 p. B 2.已知10件产品中有5件一级品,2件废品。现从这批产品中任意抽取3 件,记其中的一级品数与废品数分别为X、Y,求(X,Y)的联合概率分布和 边缘概率分布。 解依题知X、Y所有可能的取值分别为0,1,2,3及0,.2,故 P(X=0,y=0) P(X=0,y=1) C C2-C P(X=o,y P(X=1,y=0
22 （2）类似于（1），可求得 ；15 2 9 3 10 4 ( 0, 0) ( 0) ( 0 | 0) 1 9 1 3 1 10 1 4 = = = = = = = = = C C C C P X Y P X P Y X ；15 4 9 6 10 4 ( 0, 1) ( 0) ( 1| 0) 1 9 1 6 1 10 1 4 = = = = = = = = = C C C C P X Y P X P Y X ；15 4 9 4 10 6 ( 1, 0) ( 1) ( 0 | 1) 1 9 1 4 1 10 1 6 = = = = = = = = = C C C C P X Y P X P Y X ；15 5 9 5 10 6 ( 1, 1) ( 1) ( 1| 1) 1 9 1 5 1 10 1 6 = = = = = = = = = C C C C P X Y P X P Y X 所以 (X,Y) 的联合概率分布及关于 X 、Y 边缘概率分布如下表为： 2. 已知 10 件产品中有 5 件一级品，2 件废品。现从这批产品中任意抽取 3 件，记其中的一级品数与废品数分别为 X 、Y ，求 (X,Y) 的联合概率分布和 边缘概率分布。 解 依题知 X 、Y 所有可能的取值分别为 0,1,2,3 及 0,1,2 ，故 ； 120 1 ( 0, 0) 3 10 3 3 = = = = C C P X Y ；20 1 ( 0, 1) 3 10 1 2 2 3 = = = = C C C P X Y ；40 1 ( 0, 2) 3 10 2 2 1 3 = = = = C C C P X Y ；8 1 ( 1, 0) 3 10 2 3 1 5 = = = = C C C P X Y Y X 0 1 i p 0 15 2 15 4 15 6 1 15 4 15 5 15 9 j p 15 6 15 9 1
P(x=1,y=1) C.C22=:P(x=1y=2)=C21 P(X=2,X=0)= C-4:P(X=2,y=1) P(X=2,y=2)=0; P(x=3,y=0)≈C3 P(X=3,Y=1)=0 P(X=3,Y=2)=0 所以(X,Y)的联合概率分布及关于X、Y边缘概率分布如下表为: P125521 P 3.已知随机变量X、Y的概率分布分别为 -10 F 0 P 且P(X·Y=0)=1,求 (1)X和Y的联合概率分布;(2)P(X=Y) 解(1)因为 y=0)=(X=-1,Y=0)U(X=1,Y=0) U(X=0,y=0)U(X=0,Y=1) 所以 P(X·Y=0)=P(X=-1,y=0)+P(X=1,Y=0) +P(X=0,y=0)+P(X=0,Y=1) P1+p31+P21+p2=
23 ；4 1 ( 1, 1) 3 10 1 3 1 2 1 5 = = = = C C C C P X Y ；24 1 ( 1, 2) 3 10 2 2 1 5 = = = = C C C P X Y ；4 1 ( 2, 0) 3 10 1 3 2 5 = = = = C C C P X Y ；6 1 ( 2, 1) 3 10 1 2 2 5 = = = = C C C P X Y P(X = 2,Y = 2) = 0； ；12 1 ( 3, 0) 3 10 3 5 = = = = C C P X Y P(X = 3,Y = 1) = 0； P(X = 3,Y = 2) = 0； 所以 (X,Y) 的联合概率分布及关于 X 、Y 边缘概率分布如下表为： 3. 已知随机变量 X 、Y 的概率分布分别为 且 P(X Y = 0) = 1 ，求 （1） X 和 Y 的联合概率分布； （2） P(X = Y) . 解 （1）因为 ( 0, 0) ( 0, 1) ( 0) ( 1, 0) ( 1, 0) = = = = = = = − = = = X Y X Y X Y X Y X Y 所以 1 ( 0, 0) ( 0, 1) ( 0) ( 1, 0) ( 1, 0) 11 + 31 + 21 + 22 = + = = + = = = = = − = + = = p p p p P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ＝ X P -1 0 1 4 1 2 1 4 1 Y P 0 1 2 1 2 1 Y X 0 1 2 i p 0 120 1 20 1 40 1 12 1 1 8 1 4 1 24 1 12 5 2 4 1 6 1 0 12 5 3 12 1 0 0 12 1 j p 15 7 15 7 15 1 1
又根据∑∑P=1得P2+P2=0,从而P2=P2=0.于是由表 X pI p. p2 P141214 p3 p 可得 2=,P2=-P2=0 故(X,Y)的联合概率分布为 012012 P141212 p (2)由(1)知P(X=Y)=P(X=0,y=0)+P(X=1,Y=1)=0 4.设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y) ,x>0,y>0 其它。 试求:(1)常数A (2)(X,Y)关于X、Y的边缘概率密度;
24 Y X 0 1 i p -1 11 p 0 4 1 0 21 p 22 p 2 1 1 31 p 0 4 1 j p 2 1 2 1 1 Y X 0 1 i p -1 4 1 0 4 1 0 0 2 1 2 1 1 4 1 0 2 1 j p 2 1 2 1 1 又根据 1 2 1 3 1 = j= i= pij 得 p12 + p32 = 0 ，从而 p12 = p32 = 0 . 于是由表 可得 4 1 p11 = ， 4 1 p31 = ， 2 1 p22 = ， 0 2 1 p21 = − p22 = . 故 (X,Y) 的联合概率分布为 (2) 由(1)知 P(X = Y) = P(X = 0,Y = 0) + P(X = 1,Y = 1) = 0 . 4. 设二维随机向量 (X,Y) 的联合概率密度为 = − + 0, 其它。 , 0, 0; ( , ) ( 2 ) Ae x y f x y x y 试求：（1）常数 A ； （2） (X,Y) 关于 X 、Y 的边缘概率密度；
(3)P(00时,有 f(x)=f(x, y )dy=Ce-ta2ray=e- 当x≤0时,有f1(x)=0 所以(x,Y)关于X的边缘概率密度为 f(x)=/e,x>0 0,x≤0. 同理可得(X,)关于Y的边缘概率密度为 >0 f2(y) 0 0. (3) P(0<X≤20<Y≤3)=[x2eyh 2 e-d (4)积分区域如图阴影部分 P(X+2Y≤1) 2
25 （3） P(0 X 2,0 Y 3) ； （4） P(X + 2Y 1) ； （5） P(X Y) . 解 （1）由联合概率密度分的性质知 ( , ) 1 0 0 ( 2 ) = = + + − + + − + − f x y dxdy dx A e dy x y ， 即 1 0 0 2 = + + − − A e dx e dy x y ， 求得 A = 2 . （2）当 x 0 时，有 x y x f x f x y dy e dy e − + − + + − = = = 0 ( 2 ) 1 ( ) ( , ) . 当 x 0 时，有 f 1 (x) = 0 . 所以 (X,Y) 关于 X 的边缘概率密度为 = − 0, 0. , 0; ( ) 1 x e x f x x 同理可得 (X,Y) 关于 Y 的边缘概率密度为 = − 0, 0. 2 , 0; ( ) 2 2 y e y f y y （3） P(0 X 2,0 Y 3) = − + 2 0 3 0 ( 2 ) dx 2 e dy x y − − = 2 0 3 0 2 2 e dx e dy x y (1 )(1 ) −2 −6 = − e − e . （4）积分区域如图阴影部分 P(X + 2Y 1) − − + = 1 0 2 1 0 ( 2 ) 2 x x y dx e dy 1 2 . ( ) 1 1 0 2 1 0 2 − − − − = − = − e e e dx x x y 1 x o y y=- 0.5x +0.5 0.5
(5)积分区域如图阴影部分 P(X1时,有f1(x)=0 所以(x,Y)关于X的边缘概率密度为 (0)22x,0≤x≤1 其它 同理可得(X,Y)关于Y的边缘概率密度为 (y)=3+6,0sys2 其它 (2)由条件概率的定义知 P[X<1,Y< X<|Y<
26 （5）积分区域如图阴影部分 P(X Y) + + − + = 0 ( 2 ) 2 x x y dx e dy + − + − − + = = − 0 3 0 0 2 ( ) e dx e e dx x x y = 3 1 . 5．设二维随机向量 (X,Y) 的联合概率密度为 + = 0, 其它。 , 0 1,0 2; 3 1 ( , ) 2 x x y x y f x y 试求：（1） (X,Y) 关于 X 、Y 的边缘概率密度； （2） 2 1 | 2 1 P X Y . 解 （1）当 0 x 1 时，有 f x f x y dy x x y dy x x 3 2 ) 2 3 1 ( ) ( , ) ( 2 2 0 2 1 = = + = + + − ； 当 x 0或x 1 时，有 f 1 (x) = 0 . 所以 (X,Y) 关于 X 的边缘概率密度为 + = 0, 其它。 , 0 1; 3 2 2 ( ) 2 1 x x x f x 同理可得 (X,Y) 关于 Y 的边缘概率密度为 + = 0, 其它。 , 0 2; 6 1 3 1 ( ) 2 y y f y （2）由条件概率的定义知 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 , 2 1 2 1 | 2 1 = P Y P X Y P X Y 而 x o y y=x
P(x0. ∫(x,y) 0,其它 试求:(1)(x,Y)关于X、Y的边缘概率密度; (2)P(X>2,Y0时,有 f(x)=(xy)=ed=e” 当x≤0时,有f(x)=0 所以(x,Y)关于X的边缘概率密度为 0,x≤0 同理当y>0时,有 f(x)=f(x, y)dy=Se"d 当y≤0时,有f2(x)=0 所以(x,Y)关于Y的边缘概率密度为 >0. f2(y) 0 ≤0. (2)P(X>2y<4)=[4∫eh=e2-3e 7.某公司经理和他的秘书定于本周星期日中午12点至下午1点在办公室 会面,并约定先到者等20分钟后即可离去,试求二人能会面的概率 解记经理和他的秘书到达办公室的时间分别为12点X分与12点Y分 依题可假定(X,Y)服从区域 D={(x,y)O≤x≤600≤y≤60}
27 ( )= 2 1 , 2 1 P X Y 192 5 ) 3 1 ( 2 1 0 2 1 0 2 + = dx x xy dy ； ( )= 2 1 P Y 48 9 ) 3 1 ( 1 0 2 1 0 2 + = dx x xy dy ； 于是 ( ) 36 5 48 9 192 5 2 1 | 2 1 P X Y = = . 6．设二维随机向量 (X,Y) 的联合概率密度为 = − 0, 其它。 , 0, ; ( , ) e x y x f x y y 试求：（1） (X,Y) 关于 X 、Y 的边缘概率密度； （2） P(X 2,Y 4). 解 （1）当 x 0 时，有 x x y f x f x y dy e dy e − + − + − = = = ( ) ( , ) 1 ； 当 x 0 时，有 f 1 (x) = 0 . 所以 (X,Y) 关于 X 的边缘概率密度为 = − 0, 0。 , 0; ( ) 1 x e x f x x 同理当 y 0 时，有 y y y f x f x y dy e dx ye − − + − = = = 0 2 ( ) ( , ) ； 当 y 0 时，有 f 2 (x) = 0. 所以 (X,Y) 关于 Y 的边缘概率密度为 = − 0, 0. , 0; ( ) 2 y ye y f y y （2） P(X 2,Y 4) = = − 4 2 4 x y dx e dy 2 4 3 − − e − e . 7. 某公司经理和他的秘书定于本周星期日中午 12 点至下午 1 点在办公室 会面，并约定先到者等 20 分钟后即可离去，试求二人能会面的概率。 解 记经理和他的秘书到达办公室的时间分别为 12 点 X 分与 12 点 Y 分。 依题可假定 (X,Y) 服从区域 D = (x, y) 0 x 60,0 y 60,
上的均匀分布,其联合概率密度为 f(x,y)=13600(x,y)∈D, 其它。 “二人能会面”这一事件 (图中所示阴影部分)可表示为 X-Y20) 于是 P(X-Y20 3600-40×40 3600
28 上的均匀分布，其联合概率密度为 = 0, 其它。 , ( , ) ; 3600 1 ( , ) x y D f x y “二人能会面”这一事件 （图中所示阴影部分）可表示为 (| X −Y | 20) 于是 P(| X −Y | 20) . 9 5 3600 3600 40 40 = − = 20 60 x o y 60 20
习题2.2解答 1.设随机变量x与Y相互独立同分布,且P(X=-1)=P(Y=-1)=1 P(x=1)=P(Y=1)=1,则() (A)P(X=Y)=2 (B)P(x=Y)=1 C)P(X+Y=0)=4 (D)P(XY=1)= 解由X与Y相互独立同分布知(X,Y)的联合概率分布为 X 0 P P 于是有 P(X=Y)=P(X=0,y=0)+P(X=1y=1)=1 2.设随机变量X,(i=1,234)相互独立同分布,且P(X1=0)=06 P(X1=1)=04(=1,2,34),求行列式X 的分布列 解X= x1X4-X2X3,而XX4、X2X3的概率分布分别 IX, X4 为: XX 0 XX 0 P 0.16 0.84 由于X(=1,2,34)相互独立,所以x1X4与X2X3也独立同分布,故x 的概率分布为
29 习题 2.2 解答 1.设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布，且 2 1 P(X = −1) = P(Y = −1) = ， 2 1 P(X = 1) = P(Y = 1) = ，则( ). （A） 2 1 P(X = Y) = （B） P(X = Y) = 1 （C） 4 1 P(X + Y = 0) = （D） 4 1 P(XY = 1) = 解 由 X 与 Y 相互独立同分布知 (X,Y) 的联合概率分布为 于是有 . 2 1 P(X = Y) = P(X = 0,Y = 0) + P(X = 1,Y = 1) = 2.设随机变量 Xi (i = 1,2,3,4) 相互独立同分布，且 P(Xi = 0) = 0.6 ， P(Xi =1) = 0.4 (i = 1,2,3,4) ，求行列式 3 4 1 2 X X X X X = 的分布列。 解 1 4 2 3 3 4 1 2 X X X X X X X X X = = − ，而 X1X4 、 X 2 X3 的概率分布分别 为： 由于 Xi (i = 1,2,3,4) 相互独立，所以 X1X4 与 X 2 X3 也独立同分布，故 X 的概率分布为 Y X 0 1 i p 0 4 1 4 1 2 1 1 4 1 4 1 2 1 j p 2 1 2 1 1 X1X4 0 1 P 0.84 0.16 X 2 X3 0 1 P 0.84 0.16
P(X=-1)=P(X1X4=0,X2X3=1)=P(X1X4=0)·P(X2X3=1) 0.84×0.16=0.1344 P(X=0)=P(X1X4=0,X2X3=0)P(X1X4=1,X2X3=1) P(X1X4=0)·P(X2X3=0)P(X1X4=1)·P(X2X3=1) =0.84×0.84+0.16×0.16=0.7312 P(X=1)=P(X1X4=1,x2X3=0)=P(X1X4=1)P(X2X3=0) =0.84×0.16=0.1344 X 0.1344 0.73120.1344 3.设二维随机向量(X,Y)服从矩形区域D={(x,y)0≤x≤2.0≤y≤} 上的均匀分布,且 Jo, XsY; 、j0,X≤2y; 1,X>Y 1x>2Y 求U与V的联合概率分布。 解依题(U,V)的概率分布为 PV=0"=0)=P(X≤Y,X21)=P(xY)=[小 P(U=0,V=1)=P(X≤Y,X>21)=0; P=1=0=Px>yx2)=P<X52)=4= PV=L==1-P=0=0)-P=0r=)-PU=1=0)= Y 4.求习题2.1第4,5,6题中(x,Y)的联合分布函数 解(习题21第4题)
30 0.84 0.16 0.1344 ( 1) ( 0, 1) ( 0) ( 1) 1 4 2 3 1 4 2 3 = = = − = = = = = = P X P X X X X P X X P X X 0.84 . 4 0.16 0.16 0.7312 ( 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0, ) ( , 1) 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3 = = = = = = = = = = = = ＝ ０８＋ ０＋ １ １ ０ ０＋ １ P X X P X X P X X P X X P X P X X X X P X X X X 0.84 0.16 0.1344 ( 1) ( 1, 0) ( 1) ( 0) 1 4 2 3 1 4 2 3 = = = = = = = = = P X P X X X X P X X P X X 即 3. 设二维随机向量 (X,Y) 服从矩形区域 D = (x, y) 0 x 2,0 y 1 上的均匀分布，且 = 1, . 0, ; X Y X Y U = 1, 2 . 0, 2 ; X Y X Y V 求 U 与 V 的联合概率分布。 解 依题 (U,V) 的概率分布为 4 1 2 1 ( 0, 0) ( , 2 ) ( ) 1 1 0 = = = = = = x P U V P X Y X Y P X Y dx dy ； P(U = 0,V = 1) = P(X Y, X 2Y) = 0 ； 4 1 2 1 ( 1, 0) ( , 2 ) ( 2 ) 1 2 0 = = = = = = y y P U V P X Y X Y P Y X Y dy dy ； 2 1 P(U = 1,V = 1) = 1− P(U = 0,V = 0) − P(U = 0,V = 1) − P(U = 1,V = 0) = . 即 Y X 0 1 0 4 1 0 1 4 1 2 1 4.求习题 2.1 第 4，5，6 题中 (X,Y) 的联合分布函数。 解 （习题 2.1 第 4 题） X P -1 0 1 0.1344 0.7312 0.1344