§14平面对偶原则 、平面对偶原则 二、代数对偶 1.基本概念掌握了? 2.能够熟练地画出已知图形的对偶图形? 3.能够判别射影命题并熟练写出其对偶命题(含代数对偶) 4.看到一个命题自然想到其对偶命题? 5.一对重要图形(完全四点形、完全四线形)熟悉了?
一、平面对偶原则 二、代数对偶 1. 基本概念掌握了？ 2. 能够熟练地画出已知图形的对偶图形？ 3. 能够判别射影命题并熟练写出其对偶命题(含代数对偶)？ 4. 看到一个命题自然想到其对偶命题？ 5. 一对重要图形(完全四点形、完全四线形)熟悉了？
§1.5 Desargues定理 、 Desargues定理1、两个三点形的对应关系 2、 Desargues定理 定理( Desargues定理及其逆定理) 对于两个对应三点形, 存在透视中心→存在透视轴 十个点、十条直线,过每个点有 三条直线;在每条直线上有三个点 Desargues构图 你对此图化过了哪些功夫?
一、Desargues定理 1、两个三点形的对应关系 2、Desargues定理 定理 (Desargues定理及其逆定理) 存在透视中心 存在透视轴. 对于两个对应三点形， 十个点、十条直线，过每个点有 三条直线；在每条直线上有三个点 －－Desargues构图. 你对此图化过了哪些功夫？
§1.5 Desargues定理 二、应用举例 证明共线点与共点线问题 例1在欧氏平面上,设AABC的高线分另 为AD,BE,CF.而 BCXEF=X, CAXFD=Y ABXDE=Z求证:X,Y,Z三点共线 分析:为证X,Y,Z三点共线,试在图中找 出一对对应三点形,具有透视中心,且对应 边的交点恰为X,Y,Z 由题给,X,Y,Z分别为三对直线的交点,此三直线涉及到六个 字母,试 A D AD BC×EF=X BE→BE}共点于垂心G→ CAX FD=}三点共线 CF AB×DE=Z 所以,由三点形 ABCA DEF的对应即得结论
分析：为证X, Y, Z三点共线, 试在图中找 出一对对应三点形, 具有透视中心，且对应 边的交点恰为X, Y, Z. 二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题 由题给, X, Y, Z分别为三对直线的交点, 此三直线涉及到六个 字母, 试 A D B E C F 三点共线. AB DE Z CA FD Y BC EF X 例1 在欧氏平面上, 设ΔABC的高线分别 为AD, BE, CF. 而BC×EF=X, CA×FD=Y, AB×DE=Z. 求证：X, Y, Z三点共线. AD BE G CF 共点于垂心 所以, 由三点形ABCDEF的对应即得结论
§1.5 Desargues定理 二、应用举例1、证明共线点与共点线问题 例2设OY,OY,OZ为三条定直线,A,B为 定点,其连线经过O.R为OZ上的动点,直线 RA,RB分别与OX,OF交于P,Q.求证:PQ经 过AB上的一个定点 分析:因为R是动点,作R的另一个位置R' 得到P,Q,设PQ,PQ交于C只要证明A,B,C 三点共线 由OX,OY,OZ共点于O,只要找到一对对应三点形,其三对对 应顶点分别在OX,OY,OZ上,且三双对应边交点恰为A,B,C即可 如图,PQR,PQR正是所需 反 思条件“AB经过O”对于本题结论纯属多余
二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题 分析：因为R是动点，作R的另一个位置R'. 得到P' , Q' , 设P'Q' , PQ交于C.只要证明A, B, C 三点共线. 由OX, OY, OZ共点于O, 只要找到一对对应三点形，其三对对 应顶点分别在OX, OY, OZ上, 且三双对应边交点恰为A, B, C即可. 如图，PQR, P'Q'R'正是所需. 反思 条件“AB经过O ”对于本题结论纯属多余！ 例2 设OX, OY, OZ为三条定直线, A, B为 定点, 其连线经过O. R为OZ上的动点, 直线 RA, RB分别与OX, OY交于P, Q. 求证：PQ经 过AB上的一个定点
§1.5 Desargues定理 二、应用举例1、证明共线点与共点线问题 例3已知完全四点形PQRS,其对边三 点形为ABC.设A1= BC XRO,B1= AC XRP C1= AB XPQ求证:A1,B1,C1三点共线 证明:考察三点形PQR与ABC,它们有 透视中心S,从而它们有透视轴,即A1,B1b C1三点共线 引申:同理可证 A,B,C;D,A1,E1;D,B,F;E1,F1C均为共线三点组
二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题 证明：考察三点形PQR与ABC，它们有 透视中心S，从而它们有透视轴，即A1 , B1 , C1三点共线. 引申：同理可证 , , ; , , ; , , ; , , . A1 B1 C1 D1 A1 E1 D1 B1 F1 E1 F1 C1均为共线三点组 例3 已知完全四点形PQRS, 其对边三 点形为ABC. 设A1=BC×RQ, B1=AC×RP, C1=AB×PQ. 求证：A1 , B1 , C1三点共线
§1.5 Desargues定理 二、应用举例 证明共线点与共点线问题 例4设A,B,C为不共线三点,P是过C的 定直线上的动点, AP XBO=X, AC XBP=Y 求证:XY经过定点 证明:设动点P的另一个位置为P,依 题意作图,得交点X,Y 考察三点形AXX与BYY,因为其对应边B 的交点P,C,P共线,所以其对应顶点的连 线AB,XY,XY共点,此点为AB上的定点 思考:考察三点形PXY与PYY进行证明 思考:本题实际上与例2为同一个题目!
二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题 证明：设动点P的另一个位置为P' , 依 题意作图, 得交点X' , Y'. 考察三点形AXX'与BYY' , 因为其对应边 的交点P, C, P'共线，所以其对应顶点的连 线AB, XY, X'Y'共点, 此点为AB上的定点. 例4 设A, B, C为不共线三点, P是过C的 定直线上的动点, AP×BC=X, AC×BP=Y. 求证：XY经过定点. 思考：考察三点形PXY与P'X'Y'进行证明. 思考：本题实际上与例2为同一个题目！
§1.5 Desargues定理 二、应用举例1、证明共线点与共点线问题 例5设XYZ为完全四点形ABCD的对边三 点形,XZ分别交AC,BD于L,M求证:YZ,BL CM共点 YZ ZY ZBC BL L CM CM 证明:考察三点形ZBC和YLM有透视轴A,XD.即得结论 思考:还能有其他方法吗? 2、不可及点的作图问题 注:从现在开始,凡作图问题,均指仅用无刻度直尺作图
二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题 证明：考察三点形ZBC和YLM, 有透视轴A, X, D. 即得结论. 2、不可及点的作图问题 注：从现在开始，凡作图问题，均指仅用无刻度直尺作图. 例5 设XYZ为完全四点形ABCD的对边三 点形, XZ分别交AC, BD于L, M. 求证：YZ, BL, CM共点. 思考：还能有其他方法吗？ CM BL YZ ZLM YBC ZY BL CM ZBC YLM
§1.5 Desargues定理 二、应用举例2、不可及点的作图问题 例6.已知平面上二直线a,b,P为不在a b上的一点不定出a,b的交点aXb,过P求作“ 直线c,使c经过aXb 解.作法: (1)在a,b外取异于P的一点O过O作三直 线1,2,设l1,l2,分别交a,b于A1,A2,B1,B2b (2).连PA1PB1分别交l3于A3,B3 (3)连A243,B2B3交于Q (4).PQ=c为所求直线 证明:由作法,三点形A1A243,B1B2B3有透视中心O.故其对 应边的交点P=1A3×B1B3,Q=A243×B2B3以及a×b三点共线,即 C=PQ经过a,b的交点 注:解作图题必须包括作法、画图、证明三部分!
二、应用举例 2、不可及点的作图问题 例6. 已知平面上二直线a, b, P为不在a, b上的一点. 不定出a, b的交点a×b, 过P求作 直线c, 使c经过a×b. 解. 作法： (1). 在a, b外取异于P的一点O. 过O作三直 线l1 , l2 , l3 . 设l1 , l2 , 分别交a, b于A1 , A2 ; B1 , B2 . (2). 连PA1 , PB1分别交l3于A3 , B3 . (3). 连A2A3 , B2B3交于Q. (4). PQ=c为所求直线. 证明：由作法，三点形A1A2A3 , B1B2B3有透视中心O. 故其对 应边的交点P=A1A3×B1B3 , Q=A2A3×B2B3以及a×b三点共线，即 c=PQ经过a, b的交点. 注：解作图题必须包括作法、画图、证明三部分！
§1.5 Desargues定理 今日作业 一、P41:1;3;7 第3题提示:允许标出a,d;b,c的交点并使用 总结本章:收获、体会、问题 ●。● 、预习§2.1 课件作者:南京师大数科院周兴和
今日作业 一 、P.41: 1; 3; 7 课件作者：南京师大数科院周兴和 第3题提示：允许标出a, d； b, c的交点并使用. 二、总结本章：收获、体会、问题… 三、预习§2.1