试卷号:GJ.0312 南京师范大学考试试卷 《高等几何》,2003级期末考试,2006年1月9日 班别 学号06030 姓名 题号 二三四五六七总分 得分 一、多种选择题(把代表正确答案的字母圈起来,每小题4分,共20分) 1.对于三角形ABC,下述概念哪些是仿射不变的? A.重心;B.旁心;C.两边中点的连线;D.内心 (ABCD) 2.下列说法是正确的 A.设为非退化二阶曲线,则有无数个自极三点形; B.若一个三点形的某一顶点在二阶曲线r上,则此三点形必不是r的自极 三点形; C.交于相异四点的两条非退化二阶曲线和r必有公共的自极三点形; D.设abcd是二级曲线的外切四线形,xy是它的对顶三线形,则xyz是r 的一个自极三点形 (ABCD) 3.下列点偶是关于二阶曲线x-x3-4x1x22x1x3+2x2x3=0的共轭点偶 A.(1,0,1)与(1,4,-1) B.(1,1,1)与(1,-5,1) C.(2,0,1)与(1,-1,1) D.(1,0,1)与(0,2,-1).(BCD) 4.一条非退化二阶曲线为无心曲线的依据是 A.A33=0 B.r与l相切; C.没有中心; D.的中心为无穷远点.(ABCD) 5.判断一条非退化二阶曲线r是否为有心二阶曲线的依据是 A.A33是否非零; B.的任意一对共轭直径是否相互垂直; C.是否具有渐近线; D.与l是否不相切 (ABCD) 二、判断题(正确则圈上字母Y,否则圈字母N,每小题1分,共5分) 1.两射影线束x1-Ax3=0,x2-μx3=0(μ=1)生成的二阶曲线方程为 x13+x2x3-x2=0 (Y N) 2.关于任一指定二阶曲线的配极确定了以该射影平面为底的点场与线场间 的一个双射 (Y N) 3.在以非退化二阶曲线的中心为束心的线束中,“直径←共轭直径”的对 应是一对合对应,其对合不变元素为两条渐近线 4.二阶曲线上四定点与其上任一点所连四直线的交比为定值(yN) 5.Q是二阶曲线的奇异点的充要条件是上任一点与Q的连线上的点都 在上
1 ✁✂✄ GJ.0312 ☎✆✝✞✟✠✡☛☛☞ ✌✍✎✏✑✒✓ 2003 ✔✕✖✗✘✓ 2006 ✙ 1 ✚ 9 ✛ ✜✢ ✣✂ 06030 ✤✥ ✦✂ ✧ ★ ✩ ✪ ✫ ✬ ✭ ✮✯ ✰✯ ✱✲✳✴✵✶✷ (✸✹✺✻✼✽✾✿❀❁❂❃❄✓❅❆✷ 4 ❇✓❈ 20 ❇). 1. ❉❊✩❋● ABC, ❍ ■❏❑▲▼◆❖P◗❘❙❚ A. ❯❱❲ B. ❳❱❲ C. ❨ ❩ ❬❭❙❪❫❲ D. ❴❱❵ ( A B C D ) 2. ❍ ❛❜❝◆❞❡❙❵ A. ❢ Γ ❣❤✐❥★❦❧❫✓♠ Γ ♥♦♣q r s✩❭●❲ B. t ✧ q ✩❭●❙✉✧✈❭✇★❦❧❫ Γ ①✓♠②✩❭●③◗◆ Γ ❙ r s ✩❭●❲ C. ④❊⑤⑥✪❭❙ ❨ ⑦ ❤ ✐❥★❦❧❫ Γ ⑧ Γ 0 ③ ♥⑨⑩❙ r s✩❭●❲ D. ❢ abcd ◆★❶ ❧❫ Γ ❙❷❸✪❫●✓ xyz ◆❹❙❉ ✈✩❫●✓♠ xyz ◆ Γ ❙✧q r s✩❭●❵ ( A B C D ) 3. ❍ ❛❭❺◆❻❊ ★❦❧❫ x 2 1 − x 2 3 − 4x1x2 − 2x1x3 + 2x2x3 = 0 ❙ ⑩❼❭❺❵ A. (1, 0, 1) ❽ (1, 4, −1); B. (1, 1, 1) ❽ (1, −5, 1); C. (2, 0, 1) ❽ (1, −1, 1); D. (1, 0, 1) ❽ (0, 2, −1). ( A B C D ) 4. ✧⑦ ❤ ✐❥★❦❧❫ Γ ❣♦❱ ❧❫❙❾❿◆ A. A33 = 0 ❲ C. Γ ➀♥ ❬❱❲ B. Γ ❽ l∞ ⑤ ❸❲ D. Γ ❙❬❱ ❣♦➁➂❭❵ ( A B C D ) 5. ➃➄✧⑦ ❤ ✐❥★❦❧❫ Γ ◆➅❣♥❱★❦❧❫❙❾❿◆ A. A33 ◆➅❤ ➆❲ C. Γ ◆➅➇♥➈➉❫❲ B. Γ ❙➊➋✧ ❉⑩❼➌➍◆➅⑤➎➏➌❲ D. Γ ❽ l∞ ◆➅◗⑤ ❸❵ ( A B C D ) ➐✲➑➒✷ (✻✼➓❂➔ ❀❁ Y ✓→➓❂❀❁ N, ❅❆✷ 1 ❇✓❈ 5 ❇). 1. ❨ P➣❫↔ x1 − λx3 = 0, x2 − µx3 = 0 (λ + µ = 1) ↕ ➙❙★❦❧❫➛➜❣ x1x3 + x2x3 − x 2 1 = 0. ( Y N ) 2. ❻ ❊ ➊✧➝➞★❦❧❫❙➟s❡➞ ➠➡➢P➣➤➥❣➦ ❙❭➧ ❽ ❫➧ ➨ ❙✧q➩P❵ ( Y N ) 3. ✇ ➡ ❤ ✐❥★❦❧❫❙❬❱ ❣ ↔❱❙❫↔ ❬✓ “➌➍ ←→ ⑩❼➌➍” ❙ ❉ ➫◆✧❉➭❉➫✓➯❉➭◗❘➲➳❣❨⑦ ➈➉❫❵ ( Y N ) 4. ★❦❧❫ ① ✪➞❭ ❽➯ ① ➊✧❭➵❪✪ ➌ ❫❙ ④➸❣ ➞➺❵ ( Y N ) 5. Q ◆★❦❧❫ Γ ❙➻ ⑥ ❭❙➼➽⑦➾◆ Γ ① ➊✧❭ ❽ Q ❙❪❫① ❙❭➚ ✇ Γ ①❵ ( Y N )
基本题(每小题8分,共16分) 1.已知二阶曲线r:n1x2-a2a3=0(a≠0 (1).证明r为双曲线 (2).求r的中心 (3).求r的渐近线方程 2.已知二级曲线r:2+n2-2u11+4u1w3+42u3=0. (1).求直线l[1,4,0关于r的极点方程 (2).求点P(1,-1,1)关于r的极线坐标
2 ➪ ➶➹➘➴ (➷➬➴ 8 ➮➱✃ 16 ➮). 1. ❐ ❒❮❰ÏÐ Γ : x1x2 − a 2x 2 3 = 0 (a 6= 0). (1). ÑÒ Γ ÓÔ ÏÐ Õ (2). Ö Γ ×ØÙÕ (3). Ö Γ × ÚÛÐÜÝÞ 2. ❐ ❒❮ß ÏÐ Γ : u 2 1 + u 2 2 − 2u1u1 + 4u1u3 + 4u2u3 = 0. (1). Ö àÐ l[1, 4, 0] áâ Γ × ãäÜÝÞ (2). Ö ä P(1, −1, 1) áâ Γ × ãÐåæÞ
四、证明题(16分).设A为圆外一点,AP,AQ为圆的切线,第三条切线交 AP,AQ于E,F,且交切点弦PQ于H,第三条切线的切点为G 求证:(EF,GH)=-1 五、证明题(12分).设 ABC DEF是一条二次曲线的内接六点形,且 ABCD P, CDX EF=Q, DE X AF=L, AF X BC=M, BC X DE=N, EF X AB=R 求证:PL,MQ,RN共点 R
3 ç ➶èé➴ (16 ➮). ê A Óëìíä ➱ AP, AQ Óë×îÐ ➱ïðñî Ðò AP, AQ â E, F, ó òîäô P Q â H, ïðñ îÐ × îä Ó G. ÖÑõ (EF, GH) = −1. ö ➶èé➴ (12 ➮). ê ABCDEF ÷ í ñ ❮ø ÏÐ ×ùúûäü ➱ó AB×CD = P, CD × EF = Q, DE × AF = L, AF × BC = M, BC × DE = N, EF × AB = R. ÖÑõ P L, MQ, RN ý äÞ
六、作图题(15分).如图,已知直线l与非退化二阶曲线r交于两点X,Y.求 作:直线l为底的点列上以X,Y为两个不变点的对合的任意两对相异的对应点
4 þ ➶ÿ ➴ (15 ➮). ✁ ✂➱❐❒àÐ l ✄☎✆✝❮❰ÏÐ Γ òâ✞ä X, Y . Ö ✟ õ àÐ l Ó✠× ä✡☛ ☞ X, Y Ó✞✌✍✎ä × ✏✑× ✒✓✞✏✔✕× ✏✖äÞ
七、计算题(16分求二维射影变换m=-n1+22+x3的不变元素
5 ✗ ➶✘✙ ➴ (16 ➮). Ö ❮✚✛✜ ✎ ✢ ρx 01 = x 1 + x 2 − 2 x 3 ρx 02 = − x 1 + 2 x 2 + x 3 ρx 03 = x 2 − x 3 × ✍✎✣✤ Þ
