§4.5二次点列上的射影变换 总假定:所论二次曲线非退化.仅讨论二阶曲线 二次点列上的射影对应 1、定义 定义4.12二阶曲线I上全体|定义412二级曲线r上全体 点的集合称为一个二次点列,直线的集合称为一个二次线束 称为这点列的底 称为这线束的底 记作r(4,BC…)或Ⅳ(P或r.记作r(abc)或r()或厂 只讨论二次点列 注:作为点的集合,二次点列与一次点 列、线束都具有同样多的元素
§ 4.5 二次点列上的射影变换 一、二次点列上的射影对应 总假定：所论二次曲线非退化. 仅讨论二阶曲线 定义4.12 二阶曲线上全体 点的集合称为一个二次点列, 称为这点列的底. 记作(A,B,C,…)或(P)或. 定义4.12' 二级曲线'上全体 直线的集合称为一个二次线束, '称为这线束的底. 记作'(a,b,c,…)或'(p)或'. 只讨论二次点列. 1、定义 注：作为点的集合, 二次点列与一次点 列、线束都具有同样多的元素
§4.5二次点列上的射影变换 二次点列上的射影对应 2、二次点列上四点的交比 定义4.13设A,B,C,D为二次点列上四点则其交比定义为 (AB, CD)=S(AB, CD) 其中S为r上任意一点.若上述交比为-1,则称这四点构成二次点 列上一个调和点组 注:由推论4.3,(AB,CD)与S的选取无关, 本定义合理
§ 4.5 二次点列上的射影变换 一、二次点列上的射影对应 定义4.13 设A, B, C, D为二次点列上四点. 则其交比定义为 (AB, CD)=S(AB, CD). 其中S为上任意一点. 若上述交比为–1, 则称这四点构成二次点 列上一个调和点组. 注：由推论4.3, (AB,CD)与S的选取无关， 本定义合理. 2、二次点列上四点的交比
§4.5二次点列上的射影变换 、二次点列上的射影对应 3、二次点列间的射影对应 定义4.14如图所示点列、线束与二次点列 之间的透视对应 记作:S(P)天I(P);x(P1)天r(P) 注1:线束与二次点列,束心须在上;点列与二次点列,对应 点连线共点于T上 注2:点列、线束与二次点列之间的透视对应是保交比的双射 定义4.15若两个二次点列分别 与两个射影线束透视,则这两个 次点列成射影对应 S(P)A S(P) S(P)A I(P T(P)Ar(P) S(PD AT(PO
§ 4.5 二次点列上的射影变换 一、二次点列上的射影对应 定义4.14 如图所示点列、线束与二次点列 之间的透视对应. 定义4.15 若两个二次点列分别 与两个射影线束透视, 则这两个二 次点列成射影对应. 记作：S(P) (P)；x(P1 ) (P). S(P) (P) S'(P') '(P') S(P) S'(P') (P) '(P') 注2：点列、线束与二次点列之间的透视对应是保交比的双射. 注1：线束与二次点列, 束心须在上；点列与二次点列, 对应 点连线共点于上. 3、二次点列间的射影对应
§4.5二次点列上的射影变换 二次点列上的射影对应 4、 Steiner作图法 定理417(1)已知相异的三对对应点惟一确定两个二次点列间 的一个射影对应 (2)二次点列间的射影对应是一个保交比的双射 例1.已知两个二次点列r与r的射影对应的三双相异的对应点 A,A’,B,BC,C(如图),求作上任一点P在r上的对应点 P( Steiner作图法) 注1直线BC称为r与r的射影 对应的透视轴.由作图,透视轴存在 而不惟 注2透视轴不惟一,但是P的对应 点P唯惟一存在
§ 4.5 二次点列上的射影变换 一、二次点列上的射影对应 定理4.17 (1) 已知相异的三对对应点惟一确定两个二次点列间 的一个射影对应. (2) 二次点列间的射影对应是一个保交比的双射. 4、Steiner作图法 例1. 已知两个二次点列与'的射影对应的三双相异的对应点 A, A'; B, B'; C, C'(如图), 求作上任一点P在'上的对应点 P'(Steiner作图法). 注1 直线B0C0称为与'的射影 对应的透视轴. 由作图, 透视轴存在 而不惟一. 注2 透视轴不惟一, 但是P的对应 点P'惟一存在
§4.5二次点列上的射影变换 二、二次点列上的射影变换 定义同底两个二次点列间的射影对应称为二次点列上的 个射影变换 定理418( Steiner)设∫为二次点列r上的一个非恒同的射影变 换.则存在惟一直线p,使得对于f的任何两对对应点A,A,B,B 都有PB=AB父AB在直线p0上.直线p称为∫的射影轴,简称轴 证明:(略,见教材) 注:射影轴即为三双对应点确定的 Pasa线轴与r的交点即为f的不变点 推论4.11二次点列上的一个非恒同 的射影变换∫的轴可由已知f的相异的三 对对应点完全确定 f的射影轴 推论412二次点列上任一个非恒同的射影变换f可由已知其 轴和一对相异的对应点完全确定
§ 4.5 二次点列上的射影变换 二、二次点列上的射影变换 定义 同底两个二次点列间的射影对应称为二次点列上的一 个射影变换. 定理4.18 (Steiner)设 f 为二次点列上的一个非恒同的射影变 换. 则存在惟一直线 p0 , 使得对于 f 的任何两对对应点A, A'; B, B', 都有PAB =AB'A'B在直线p0上. 直线 p0称为 f 的射影轴, 简称轴. 证明：(略, 见教材). 注：射影轴即为三双对应点确定的 Pascal线. 轴与的交点即为 f 的不变点. 推论4.11 二次点列上的一个非恒同 的射影变换 f 的轴可由已知 f 的相异的三 对对应点完全确定. 推论4.12 二次点列上任一个非恒同的射影变换 f 可由已知其 轴和一对相异的对应点完全确定. f 的射影轴
§4.5二次点列上的射影变换 二、二次点列上的射影变换 定义4.17二次点列上的双曲型、抛物型、椭圆型射影变换 注:二次点列r上的一个射影变换∫为双曲型、抛物型或椭圆 型兮f的轴与r相交、相切或不相交(交于一对共轭虚点) 定理4.19fr(P)入r(P S(P)NI(P x(P1)天T(P) 体会:通过透视对 应,一维基本形的射影 S(P)AI(PD x(P1)天I(P)对应、射影变换的许 多性质都可移植到二 fS: S(P)A S(P) f: x(P1 x(P 次点列上来 f与s,f为同型射影变换 定理420对于二次点列上的双曲、椭圆型射影变换,其两个不 变元素与任一对相异的对应元素所成交比为常数,称为特征不变 量
§ 4.5 二次点列上的射影变换 二、二次点列上的射影变换 定义4.17 二次点列上的双曲型、抛物型、椭圆型射影变换. 注：二次点列上的一个射影变换 f 为双曲型、抛物型或椭圆 型 f 的轴与相交、相切或不相交(交于一对共轭虚点). 定理4.19 f: (P) (P') S(P) (P) S(P') (P') x(P1 ) (P) x(P'1 ) (P') fS : S(P) S(P') fx : x(P1 ) x(P'1 ) f 与fS , f x为同型射影变换. 定理4.20 对于二次点列上的双曲、椭圆型射影变换, 其两个不 变元素与任一对相异的对应元素所成交比为常数, 称为特征不变 量. 体会：通过透视对 应, 一维基本形的射影 对应、射影变换的许 多性质都可移植到二 次点列上来
§4.5二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 定义二次点列r上的一个非恒同的射影变换∫称为对合,如果 任取r上一点S与f的对应点连线得到线束$中一个对合f后 注:二次点列上的对合由与之透视的线束的对合诱导 定理对于二次点列I,下列结论成立: (1)I上的对合可由已知其相异的两对对应点惟一确定; (2)I上的一个非恒同的射影变换∫为对合兮f有一对对应元 素相互对应; (3)上对合的几何条件:(P1P1,P2P3)=(P1P1,P2P3); (4)上对合f的射影轴p称为f的对合轴 问题:T上对合f的轴能与相切吗r? 答案:不可能.因为不存在抛物型对合
§ 4.5 二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 定义 二次点列上的一个非恒同的射影变换 f 称为对合, 如果 任取上一点S与 f 的对应点连线得到线束S中一个对合 f0 . 注：二次点列上的对合由与之透视的线束的对合诱导. 定理 对于二次点列, 下列结论成立： (1) 上的对合可由已知其相异的两对对应点惟一确定； (2) 上的一个非恒同的射影变换 f 为对合 f 有一对对应元 素相互对应； (3) 上对合的几何条件：(P1P'1 , P2P3 )= (P'1P1 , P'2P'3 )； (4) 上对合 f 的射影轴 p0称为 f 的对合轴. 问题： 上对合 f 的轴能与相切吗 ？ 答案：不可能. 因为不存在抛物型对合
§4.5二次点列上的射影变换 二次点列上的对合 注:设已知上对合f的两对对应点AA;B,B作出对合轴po B r(A,B,A',B2…) f T(A B,A, B dB Pn=AB×BA B P!,=AB×A"B P,=AA×AA Pn=BB×B'B 分别为点AA;B,B处切线的交点 共线于对合轴p 问题:对合对应点的连线有何规律? 答案:AA,BB2以及不变点XY处的切线必共点
( , , ', ',...) : ( ', ', , ,...) A B A B f A B A B 注：设已知上对合f 的两对对应点A,A'；B,B'. 作出对合轴 p0 . § 4.5 二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 ' ' P AB BA AB = ' ' ' P AB A B AB = ' ' P AA A A A = ' ' P BB B B B = 分别为点A,A'；B,B'处切线的交点. 共线于对合轴p0 . 问题：对合对应点的连线有何规律？ 答案：AA' ,BB',…以及不变点X, Y处的切线必共点
§4.5二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 推论对于二次点列上的对合f (1)f的对合轴可由其相异的两对对应点惟一确定 (2)∫可由其对合轴惟一确定 入(3)在f的任意一对相异的对应点处r的切线交于对 轴 定理二次点列上任意对合的特征不变量为 1.即二次点列上对合的任一对相异的对应点 被两个不变点调和分离 利用配极变换又可得: 定理二次点列r上对合f的任一对对应点的连线过一定点;以 不在上的任一点为束心的线束中每一直线与的交点是T上同一对 合的对应点 上述定点称为厂的对合中心,对合中心是对合轴的极点 推论二次点列T上的任一对合可由已知其对合中心惟一确定
§ 4.5 二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 推论 对于二次点列上的对合 f (1) f 的对合轴可由其相异的两对对应点惟一确定; (2) f 可由其对合轴惟一确定; (3) 在 f 的任意一对相异的对应点处的切线交于对 合轴 p0 . 定理 二次点列上任意对合的特征不变量为 –1. 即二次点列上对合的任一对相异的对应点 被两个不变点调和分离. 定理 二次点列上对合 f 的任一对对应点的连线过一定点；以 不在上的任一点为束心的线束中每一直线与的交点是上同一对 合的对应点. 上述定点称为f 的对合中心, 对合中心是对合轴的极点. 推论 二次点列Γ上的任一对合可由已知其对合中心惟一确定. 利用配极变换又可得：
§4.5二次点列上的射影变换 、二次点列上的对合 例1.(P135,EX.2) 证明.由上题,(AB,XY=-1.所以 (PQ, AB)=R(XY, AB)-(XY, AB)=-1 于是:(PQ,AB)=.=(CT,AB)-1分对合 引申1.当R沿T运动,由RX×AB,RY×AB可得到直线AB上以A B为不变点的对合的任意多对对应点 引申2.综合1,2题得到简单的作图题: 设过不在已知非退化二阶曲线r上一点T所作的两切线的切 点为X,Y,为过T不与相切的直线,交T于A,B.求作上以A,B为不 变点的对合的任一对对应点(异于图中已知点) 引申3.设直线/与非退化二阶曲线交于相异二点A,B.求作上上 以A,B为不变点的对合的任意两对对应点(多种解法,03级考题)
§ 4.5 二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 例1. (P.135, Ex. 2) 证明. 由上题, (AB, XY)= –1. 所以 (PQ, AB)=R(XY, AB)=(XY, AB)= –1. 引申1. 当R沿运动, 由RX×AB, RY×AB可得到直线AB上以A, B为不变点的对合的任意多对对应点. 引申2. 综合1, 2题得到简单的作图题： 设过不在已知非退化二阶曲线上一点T所作的两切线的切 点为X, Y, l为过T不与相切的直线, l交于A, B. 求作l上以A, B为不 变点的对合的任一对对应点(异于图中已知点). 引申3. 设直线 l与非退化二阶曲线交于相异二点A, B. 求作l上 以A, B为不变点的对合的任意两对对应点. (多种解法, 03级考题) 于是：(PQ, AB)=…= (CT, AB)= –1 对合