§1.3射影平面 实射影平面(二维实射影空间) 二、实射影平面的模型
§ 1.3 射影平面 一、实射影平面(二维实射影空间) 二、实射影平面的模型
§1.3射影平面 三、射影坐标变换 定义1.10在射影平面上取定四点A1(10,0),A2(0,1,0),A3(0,0,1) I(1,1,1)规定无论如何选取A1,A2,A3,I的齐次坐标,总成立下列 关系式 =A1+A2+A2.(≠0) (1.7) 则称这四点为平面上的一个原始的射影坐标系,记作(A14243D.称 A1A243为坐标三点形,1为单位点点与直线在这坐标系下的坐标称 为原始坐标 注1:(1.)式:选取A142,43,的齐次坐标时,必须满足 (p,P,p)=(p0,0)+(0,,0)+(0,0,p) (P≠0) 注2:原始的射影坐标系确定的坐标映射即为定义19中的o 注3:拓广平面上的笛氏齐次坐标系(1A243D为一个原始的射 影坐标系
§ 1.3 射影平面 三、射影坐标变换 定义1.10 在射影平面上取定四点A1 (1,0,0), A2 (0,1,0), A3 (0,0,1), I(1,1,1), 规定无论如何选取A1 , A2 , A3 , I 的齐次坐标, 总成立下列 关系式 1 2 3 I A A A = + + . ( 0) (1.7) 则称这四点为平面上的一个原始的射影坐标系, 记作(A1A2A3 | I). 称 A1A2A3为坐标三点形，I为单位点. 点与直线在这坐标系下的坐标称 为原始坐标. 注2: 原始的射影坐标系确定的坐标映射即为定义1.9中的φ. 注1: (1.7)式：选取A1 , A2 , A3 , I的齐次坐标时, 必须满足 (,,) = (,0,0)+(0,,0)+(0,0,). ( 0) 注3: 拓广平面上的笛氏齐次坐标系(A1A2A3 |I)为一个原始的射 影坐标系
§1.3射影平面 、射影坐标变换 定理1.11在射影平面上任意取定四点P,Q,R,E,满足 (1)P,Q,R,E中任何三点不共线; (2)规定选取这四点的原始坐标P(p),Q(q),R(r),E(e)时,满足 p(e1,e2,e3)=(P1,P2P3)+(qh2q2,q3)+(h1,l2,3).(P≠0)(1.8) 则这四点构成一个射影坐标系(PQRE)称PQR为坐标三点形,E为 单位点 证明:只要证对平面上任意一点X(PQRE)可惟一确定其点坐标 映射.设X的原始坐标为(x1,x2,x3),则由线性代数知识以及式(18) 存在惟一向量类(x12x2,x3)∈RP,满足 P, q1 x F,‖x 0≠p∈R P3q37八x3 于是(1.9)惟一确定了点X在射影坐标系(PQ,RE)下的一个齐次射 影坐标(x12x2,x3
§ 1.3 射影平面 证明: 只要证对平面上任意一点X, (PQR|E)可惟一确定其点坐标 映射. 设X的原始坐标为(x1 * , x2 * , x3 * ), 则由线性代数知识以及式(1.8), 存在惟一向量类(x1 , x2 , x3 )∈RP2 , 满足 R x x x p q r p q r p q r x x x = . 0 3 2 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 * 3 * 2 * 1 (1.9) 于是(1.9)惟一确定了点X在射影坐标系(P,Q,R|E)下的一个齐次射 影坐标(x1 , x2 , x3 ). 三、射影坐标变换 定理1.11 在射影平面上任意取定四点P, Q, R, E, 满足 (1) P, Q, R, E中任何三点不共线; (2) 规定选取这四点的原始坐标P(pi ), Q(qi ), R(ri ), E(ei )时, 满足 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ). ( 0) e e e p p p q q q r r r = + + (1.8) 则这四点构成一个射影坐标系(PQR|E). 称PQR为坐标三点形, E为 单位点
§1.3射影平面 射影坐标变换 注1在(PQRE)下,PQRE各有一组齐次坐标为P(1.00)Q(,0) R(0,0,1),E(1,1,1)因此(PQRE)也可作为原始坐标系 注2因为PQR不共线,所以P97即(19)式为非奇异线性 变换,称为两种射影坐标之间的射影坐标变换 注3在拓广平面上笛氏齐次坐标是射影坐标的特例从而 §1.2讨论的结论全部在射影坐标下成立,今后可不区分地 使用笛氏齐次坐标或齐次射影坐标 注4按坐标变换新、老坐标的书写习惯,(9)式改写为 P1q1h1‖x p x P2q22‖x 0≠p∈R(1.10 x P3q3f3八x3 这是传统的坐标变换的逆式,今后可直接使用
注1 在(PQR|E)下, P,Q,R,E各有一组齐次坐标为P(1,0,0), Q(0,1,0), R(0,0,1), E(1,1,1).因此(PQR|E)也可作为原始坐标系. 注2 因为P,Q,R不共线，所以| pi qi ri |≠0,即(1.9)式为非奇异线性 变换, 称为两种射影坐标之间的射影坐标变换. 注3 在拓广平面上, 笛氏齐次坐标是射影坐标的特例. 从而 §1.2讨论的结论全部在射影坐标下成立, 今后可不区分地 使用笛氏齐次坐标或齐次射影坐标. R x x x p q r p q r p q r x x x = . 0 ' 3 ' 2 ' 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 2 1 注4 (1.10) 按坐标变换新、老坐标的书写习惯，(1.9)式改写为 这是传统的坐标变换的逆式，今后可直接使用. § 1.3 射影平面 三、射影坐标变换
§1.3射影平面 四、实射影直线(一维实射影空间) 定义1.11在射影直线上取定相异三点P,Q,E,选取其笛氏齐次 坐标P(),Q(q),E(e)使得 p(e12e2e3)=(n12P2P3)+(q12(q2,q3).(p≠0) (1.11 则在射影直线上定义了以P,Q为基点,E为单位点的一个一维射影 坐标系,记作(PQE射影直线上任意一点X(x1,x2,x3)的齐次射影 坐标(,p)由下式确定 P(x1,x2,x3)=A(n2P2,P3)+(q12q2,q3)0≠P∈R(1.12) 注1:在射影坐标系(PQE)下,P,Q,E的坐标分别为(1,0),(0,1), 1,1).一维笛氏齐次坐标也是一种一维射影坐标 注2:定义1.11的一维射影坐标系是由二维射影坐标诱导的
§ 1.3 射影平面 四、实射影直线(一维实射影空间) 定义1.11 在射影直线上取定相异三点P, Q, E, 选取其笛氏齐次 坐标P(pi ), Q(qi ), E(ei )使得 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ) ( , , ) ( , , ). ( 0) (1.11) e e e p p p q q q = + 则在射影直线上定义了以P, Q为基点, E为单位点的一个一维射影 坐标系, 记作(PQ|E). 射影直线上任意一点X(x1 , x2 , x3 )的齐次射影 坐标(λ, μ)由下式确定 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ) ( , , ) ( , , ). 0 (1.12) x x x p p p q q q R = + 注2: 定义1.11的一维射影坐标系是由二维射影坐标诱导的. 注1: 在射影坐标系(PQ|E)下, P, Q, E的坐标分别为(1,0), (0,1), (1,1). 一维笛氏齐次坐标也是一种一维射影坐标
§1.3射影平面 五、复射影平面、实复射影平面 实射影平面 三维实向量类:RP2,(RP2) 复射影平面 三维复向量类:CP2,CP2) 实复射影平面 将实射影平面嵌入到复射影平面中(作为 其子空间),即带有虚元素的实射影平面 定义1.12 若存在0≠P∈C,使得mx∈R,则P(x12x2,x3)为实点 不存在0≠P∈C,使得x,∈R,则P(x12x2,x)为虚点 注1:类似定义实直线与虚直线.于是在实复射影平面上一个元 素是实或虚不会因坐标变换或非奇异线性变换而改变 注2:实直线上可以有虚点,虚直线上可以有实点;过实点可以 有虚直线,过虚点可以有实直线 注3:两个元素可能在相差一个非零比例常数的前提下共轭
五、复射影平面、实-复射影平面 实射影平面 2 2 * 三维实向量类: RP ,(RP ) 复射影平面 将实射影平面嵌入到复射影平面中(作为 其子空间)，即带有虚元素的实射影平面 2 2 * 三维复向量类:CP ,(CP ) 实-复射影平面 虚点 实点 定义 不存在 使得 则 为 若存在 使得 则 为 0 , , ( , , ) 0 , , ( , , ) 1.12 1 2 3 1 2 3 C x R P x x x C x R P x x x j j 注2: 实直线上可以有虚点，虚直线上可以有实点；过实点可以 有虚直线，过虚点可以有实直线. 注3: 两个元素可能在相差一个非零比例常数的前提下共轭. 注1: 类似定义实直线与虚直线. 于是在实-复射影平面上一个元 素是实或虚不会因坐标变换或非奇异线性变换而改变. § 1.3 射影平面
§1.3射影平面 五、复射影平面、实复射影平面 注4:在实-复射影平面上,下列结论成立.(教材P28) (1).点x在直线上分→x在n上 (1).直线过点x分aix (对∑x,=0两边取共轴即得结论) (2)虚点x在实直线上台在在|(2).虚直线)过实点x过x (3)实直线上的点或为实点或(3).过实点的直线或为实直线 为成对出现的共轭虚点 或为成对出现的共轭虚直线 (4)两共轭虚点连线为实直线.(4)两共轭虚直线交点为实点 (5)过一虚点有且仅有一条实(5).在一条虚直线上有且仅有 直线 个实点
(1). 点x在直线u上 x在u上. (1)'. 直线u过点x u过x. (对 = 0两边取共轭即得结论) j j u x . (2). 上 虚点 在实直线 上 在 u x u x (2)'. 虚直线u过实点x u过x. (3). 实直线上的点或为实点或 为成对出现的共轭虚点. (3)' . 过实点的直线或为实直线 或为成对出现的共轭虚直线. (4). 两共轭虚点连线为实直线. (4)'. 两共轭虚直线交点为实点. (5). 过一虚点有且仅有一条实 直线. (5)'. 在一条虚直线上有且仅有 一个实点. 注4: 在实-复射影平面上, 下列结论成立. (教材P.28) § 1.3 射影平面 五、复射影平面、实-复射影平面
§1.1射影平面 六、图形的射影性质(射影不变性) 射影性质 射影不变性_图形在中心射影下保持不变的 射影不变量 性质和数量 目前已知的射影性质 射影不变性:点与直线的关联关系(结合性):同素性; 结合性:某点在某直线上;某直线通过某点的事实保持不变 同素性:点兮点;直线分直线 射影不变量:有待探索目前所知几何量均不是射影不变的
§ 1.1 射影平面 六、图形的射影性质(射影不变性) 射影性质 射影不变性 射影不变量 图形在中心射影下保持不变的 性质和数量 目前已知的射影性质： 射影不变性： 点与直线的关联关系(结合性)；同素性；…… 结合性：某点在某直线上；某直线通过某点的事实保持不变 射影不变量： 有待探索. 目前所知几何量均不是射影不变的 同素性：点 点；直线 直线
§1.1,2,3习题 习题1.1 1.如右图 2.如下图
§ 1.1, 2, 3 习题 习题1.1 1. 如右图 2. 如下图
§1.1,2,3习题 习题1.1 3.如右图 4.设p与两平面交线x的交 点为X,则p必定经过定点X 6.(4)2(6),(10
§ 1.1, 2, 3 习题 习题1.1 3. 如右图 4. 设p与两平面交线x的交 点为X, 则p'必定经过定点X. 5. 6. (4), (6), (10)