作业解答五 作业11函数f(x)在区间(a,b)有连续的导函数,且limf(x)与limf(x) x→a+ x→b- 均存在有限。试证: (1)f(x)在(a,b)上一致连续; (2)limf(x)与limf(x)均存在。 x→a+ x 证:(1)由假设知f(x)在(a,b)上连续,定义 f(x),x∈(a,b) F(x)= lim f'(x),=a lim(x),=b x→b 从而F(x)在[a,b]上连续,因此F(x)在[a,b]上一致连续,于是F(x)在[ab]上 有界,即存在C>0,使|F(x)0,30,当x1,x2∈(a,a+)时, f(x1)-f(x2)<,由函数极限存在的柯西准则知limf(x).同理,limf(x)存 x→a+ x→b- 在。 作业12求使得下列不等式对所有的自然数n都成立的最大的数a和最小 的数:(1+-)n+a≤e≤(1+-)n+ n n
作业解答五 作业 11 函数 f (x) 在区间( , a b)有连续的导函数，且 lim ( ) x a f x → + ′ 与 lim ( ) x b f x → − ′ 均存在有限。试证： (1) f (x) 在( , a b)上一致连续； (2) lim ( ) x a f x → + 与 lim ( ) x b f x → − 均存在。 证：(1) 由假设知 f ′(x)在( , a b)上连续，定义 ( ), ( , ) ( ) lim ( ), lim ( ), x a x b f x x a b F x f x x a f x x b → + → − ⎧ ⎪ ′ ∈ ⎪ = ⎨ ′ = ⎪ ⎪ ′ = ⎩ 从而 在[ , 上连续，因此 在[ , 上一致连续，于是 在[ , 上 有界，即存在 ，使 F x( ) a b] F x( ) a b] F x( ) a b] C > 0 F x( ) 0, ∃δ > 0 ，当 1 2 x x, ( ∈ a, a +δ ) 时， 1 2 f x( ) − f x( ) < ε ，由函数极限存在的柯西准则知 lim ( ) x a f x → + 。同理， lim ( ) x b f x → − 存 在。 作业 12 求使得下列不等式对所有的自然数 n都成立的最大的数α 和最小 的数β ： 1 1 (1 ) (1 ) n n e n n + + α β + ≤ ≤ + 。 1
解:(1+)y+a≤e≤(1+)y+等价于 (n+a)ln(1+-)≤1≤(n+f)n(1+ 所以 β。令f(x) (O,1],则 f(x) 1+x)ln2(1+x)-x2 n2(1+x) (+x)n2(1+x) 再令g(x)=(1+x)ln2(1+x)-x2,x∈[0,1l,则 (x)=ln2(1+x)+2ln(1 (x)=[2ln(1+x) 1+x1+ 2m+x)=xk0),(1+x)ln2(1+x) 于是 ∫()<0,即(x)在(0内严格递减。令x=1,则as(x)≤B max a= inf f(x)=lm in(1+x)x In2 min B= sup /(x)=limin(+x-x +-hn(+8=1s+x)+1+x In(1+x) lim x0x+(1+x)ln(1+x lim 1+In(1+x)+12 作业13设函数∫(x)连续,f(0)存在,并且Vx,y∈R,有 (x+y)=(x)+/(y 证明:f(x)在R上可微。 1-4f(x)f(y)
解： 1 1 (1 ) (1 ) n n e n n + + α β + ≤ ≤ + 等价于 1 1 (n n )ln(1 ) 1 ( )ln(1 ) n n + + α β ≤ ≤ + + 所以 1 1 ln(1 ) n n α ≤ − β + ≤ 。令 1 1 ( ) , (0,1] ln(1 ) f x x x x = − ∈ + ，则 2 2 2 2 2 2 1 1 1 (1 )ln (1 ) ( ) ln (1 ) (1 )ln (1 ) x x x x f x x x x x x + + + − ′ = − + = + + + 再令 g x( ) = + (1 x)ln2 2 (1+ x) − x , x∈[0,1]，则 2 g x ′( ) = + ln (1 x) + 2ln(1+ x) − 2x， 1 2 ( ) [2ln(1 )] 2 1 1 g x x x x ′′ = + + + + − = 2[ln(1 ) ] 0 1 x x x + − 0)， 2 2 (1+ x x )ln (1+ −) x < 0。于是 f x ′( ) < 0，即 f (x) 在(0,1]内严格递减。令 1 x n = ，则α ≤ f x( ) ≤ β 。 (0,1] 1 1 1 1 max inf ( ) lim[ ] 1 x x ln(1 ) ln 2 f x x x α ∈ → ∴ = = − = + − ； 0 (0,1] 1 1 min sup ( ) lim[ ] ln(1 ) x x f x x x β ∈ → = = + − = 0 ln(1 ) lim ln(1 ) x x x → x x − + = + 0 1 1 1 lim ln(1 ) 1 x x x x x → − + + + + = 0 lim (1 )ln(1 ) x x → x + + x x + = 0 1 1 limx→ 1 ln(1 x) 1 2 = + + + 。 作业 13 设函数 f (x) 连续， f ′(0) 存在，并且∀x y, ∈\ ，有 ( ) ( ) ( ) 1 4 ( ) ( ) f x f y f x y f x f y + + = − ，证明： f (x) 在\ 上可微。 2
解:令x=y=0,得f(0)=0。令y=-x,得f(-x)=-f(x)。Vx∈R, lim/(h) lim f(h)+f(x)(h-x(1-4f(hf(x) h h-x ≈1f(m1-4/()/(-x)=f(O)1+4/(x) 所以f(x)在R上可微
解：令 x y = = 0 ，得 f (0) = 0。令 y = −x ，得 f ( ) −x = − f (x) 。∀ ∈x \ ， 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(1 4 ( ) ( )) lim lim lim ( ) lim lim[1 4 ( ) ( )] (0)[1 4 ( )] h x h x h x h x h x f h f x f h f x f h x f h f h x h x h x f h x f h f x f f x h x → → → → → − + − − − = = − − − − = − − = ′ + − −x 所以 f (x) 在\ 上可微。 3