作业解答六 作业14f(x)=( (arctan x)2,求/(O) 解: arctan x=2∑ ∑(-1)”=2∑(-1)”(∑ 你02mx3 两端从0积到x得 2n+2 f(x)=2(-)(22m+1)2n+2(0,故F(m)=0。由罗尔定理知 351∈(0.,m),52∈(T,),使得f(51)=f(52)=0 作业16设y=f(x)在(-1,1)内具有二阶连续导数,且∫"(x)≠0。证明 (1)0≠x∈(-1,1),存在唯一的θ(x)∈(0,1),使得f(x)=f(0)+xf(O(x)x) (2)lim(x)= 证:(1)由拉格朗日中值定理,V0≠x∈(-1,1),存在∈(0,1),使得 f(x)=f(0)+xf((x)x)。又由于∫"(x)≠0,f"(x)在(-1,1)不变号,f(x)在 (-1,1)严格单调,故θ唯一
作业解答六 作业 14 2 f (x x ) = (arctan ) ，求 。 ( )(0) n f 解： 2 1 2 2 2 0 0 0 0 1 1 ( ) 2 arctan 2 ( 1) ( 1) 2 ( 1) ( ) 1 2 1 2 1 n n n n n n n n n n m x f x x x x x n m ∞ ∞ + ∞ +1 = = = = ′ = = − ⋅ − = − + + + ∑ ∑ ∑ ∑ 两端从0 积到 x 得 2 2 0 0 1 ( ) 2 ( 1) ( ) 2 1 2 n n n n m x f x m n 2 ∞ + = = = − + + ∑ ∑ （ x 0，故 F( ) η = 0 。由罗尔定理知 1 2 ∃ ∈ ξ (0,η ξ ), ∈(η,π )，使得 1 2 f f ( ) ξ = (ξ ) = 0 。 作业 16 设 y f = (x) 在( 1− ,1) 内具有二阶连续导数，且 f x ′′( ) ≠ 0。证明： (1)∀ ≠ 0 x∈(−1,1) ，存在唯一的θ ( ) x ∈(0,1) ，使得 f ( ) x f = (0) + xf ′(θ (x)x) 。 (2) 0 1 lim ( ) x 2 θ x → = 。 证：(1)由拉格朗日中值定理，∀0 ≠ ∈x (−1,1) ，存在θ ∈(0,1) ，使得 f ( ) x f = + (0) xf ′(θ (x)x) 。又由于 f x ′′( ) ≠ 0 ， f ′′(x) 在 ( 1− ,1) 不变号， f ′(x) 在 ( 1− ,1) 严格单调，故θ 唯一。 1
(2)对f(Ox)用拉格朗日中值定理得 f(Ox)=f(0)+f"(5)x(在θx与0之间) 代入题(1)中式子得f(x)=f(0)+xf(0)+f"(5)0x 解得=f(x)-f(0)-x(0).1 f"(5) 由此mm)1m(x)-f(0)-xf(0 f"(0)1 f∫"(0)x→0 f"(0)22 作业17设函数∫(x)在[12]上连续,在(1,2)内可微,且f(x)≠0, 证明:存在5,n∈(1,2),使得:(5)=三 f(2)7 证:令g(x)=lnx,由柯西中值定理知,存在ξ∈(1,2),有 f(2)-f()f(5)=5·f( In 2-In1 1 分别对f(x)和g(x)用拉格朗日中值定理得 f(2)-f(1) In 2-In1 1 =f() 于是 f(2)-f(1) =f(2)n In 2-In 1 故 f()_5 f( n 注:本题编制得不严密,事实上,取这三个数相等即可
(2)对 f ′(θ x) 用拉格朗日中值定理得 f ′ ′ ( ) θ x f = + (0) f ′′(ξ θ )⋅ x（ξ 在θ x与 0 之间） 代入题(1)中式子得 2 f ( ) x f = + (0) xf ′ ′ (0) + f ′(ξ θ )⋅ ⋅ x 。 解得 2 ( ) (0) (0) 1 ( ) f x f xf x f θ ξ − − ′ = ⋅ ′′ 。 由此 2 0 0 1 ( ) (0) (0) 1 (0) 1 lim ( ) lim x x (0) (0) 2 2 f x f xf f x f f x θ → → − − ′ ′′ = = ⋅ = ′′ ′′ 。 作业 17 设函数 f (x) 在[1, 2]上连续，在(1, 2) 内可微，且 f x ′( ) ≠ 0， 证明：存在ξ η, ,ζ ∈(1, 2) ，使得： ( ) ( ) f f ζ ξ ξ η ′ = ′ 。 证：令 g x( ) = ln x ，由柯西中值定理知，存在ξ ∈(1,2)，有 (2) (1) ( ) ( ) ln 2 ln1 1 f f f f ξ ξ ξ ξ − ′ = = ⋅ ′ − 分别对 f (x) 和 g x( ) 用拉格朗日中值定理得 (2) (1) ln 2 ln1 1 ( ), 2 1 2 1 f f f ζ η − − = ′ = − − 。 于是 (2) (1) ( ) ln 2 ln1 f f f ζ η − = ′ ⋅ − 。 故 ( ) ( ) f f ζ ξ ξ η ′ = ′ . 注：本题编制得不严密，事实上，取这三个数相等即可。 2