作业解答二 作业3已知f(x)≥0,f在[ab]上连续,求证 lim"(x) dx maxif (x) x e [a, b]} 证:设M=max{f(x)|x∈[a,b]},则 1 √ fn(x)dx≤m"dx=(b-a)n→M a 另一方面,根据闭区间上连续函数的性质,3x∈[a,b],使得f(x)=M 于是v>0,36>0,当x-x(M-s)"dx =(M-E)(B-a)"M. 故 lim's" ()dx max{f (x)[a,b]}. n→ya 推广:设f(x),g(x)∈Ca,b,f(x)≥0,g(x)≥0,则 lim"() (x)dx max{(x) x e[a,]}
作业解答二 作业 3 已知 f ( ) x ≥ 0, f 在[ , a b]上连续，求证 lim ( ) max{ ( )| [ , ]} b n n n a f x dx f x x a b →∞ = ∈ ∫ 。 证：设M = ∈ max{ f x( )| x [a,b]}，则 1 ( ) ( ) b b n n n n n a a ∫ ∫ f x dx ≤ = M dx M b − a → M 。 另一方面，根据闭区间上连续函数的性质， 0 ∃x ∈[ , a b]，使得 0 f ( ) x M= 。 于是∀ > ε 0 ，∃ > δ 0 ，当 0 x x − < δ ， x∈[ , a b]时有 M f −ε < < (x) M + ε 于是，∃[ , α β ] ⊂ [a b, ]，∀ ∈x [ , α β]，有M f −ε < < ( ) x M + ε 。而 ( ) ( ) ( ) ( ) b b n n n n n a a n f x dx f x dx f x dx f x dx α β α β = + + ∫ ∫ ∫ ∫ 1 ( ) ( ) ( )( ) n n n n n f x dx M dx M M β β α α ≥ ≥ −ε ε = − β −α ∫ ∫ → 。 故 lim ( ) max{ ( )| [ , ]} b n n n a f x dx f x x a b →∞ = ∈ ∫ 。 推广：设 f x( ), g(x)∈C[ , a b]， f x( ) ≥ 0, g( ) x ≥ 0，则 lim ( ) ( ) max{ ( )| [ , ]} b n n n a f x g x dx f x x a b →∞ = ∈ ∫ 。 1
作业4求极限 a,+c+ lim an ,(a1>0,i=1,2, x→0 解:设y=lma+a2+……+a) In v= lim i Ina+ai In a+.+an Inan) +a+…+ann lim=Eak Inak)=E lim(ak Inag )=lEIna x→0n =-ln(a1a2…an)=ln(ag2…an)n n a,+a+ 故y=lim 作业5若00,且 lim a=a,试证 lim(an+han-1+2-an-2+.+2 ao) …+a 证:lim(an+lan1+12an-2+…+"a)=lim H→) lim 2m+"n+ lin H→)
作业 4 求极限 1 1 2 0 lim ,( 0, 1, 2, ) x x x x n i x a a a a i → n ⎧ ⎫ + + + ⎨ ⎬ > = ⎩ ⎭ "" ""n 。 解：设 1 1 2 0 lim x x x x n x a a a y → n ⎧ ⎫ + + + = ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ "" ，则 1 2 0 ln ln lim x x xn x a a a n y → x + + + = = " 1 1 1 1 1 2 0 1 ( ln ln ln ) lim 1 x x x x x x n n n x n a a a a a a a a a n → ⋅ + + + + + + " " = 0 0 1 1 1 1 1 lim ( ln ) lim( ln ) ln n n x x k k k k x x k k k a a a a a → → n n n = = ∑ ∑ = = ∑ 1 n k = = 1 1 2 1 2 1 ln( ) ln( )n n n a a a a a a n " " = 故 1 1 2 0 lim x x x x n x a a a y → n ⎧ ⎫ + + + = ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ "" = 1 1 2 ( )n n a a "a 。 作业 5 若0 1, n 0，且 lim n n a →∞ = a ，试证： 2 1 2 0 lim ( ) 1 n n n n n a a aλ λ a λ a λ − − →∞ + + + + = − " 。 证： 1 0 1 2 1 2 0 1 1 lim ( ) lim 1 n n n n n n n n n n n a a a a a a λ λ λ λ λ λ − − − − →∞ →∞ + + + a + + + + = " " = 1 1 1 1 1 lim lim 1 1 1 1 n n n n n n n a λ a a λ λ λ λ + + + →∞ →∞ + = = − − − 。 2
作业6设x∈(0,1),xn1=x1(1-xn)(n=1,2…)。试证: lim nx=1 证:因x1∈(O,1,xn+1=xn(1-xn)(n=1,2,…),故xn+1∈(0,1),且 xn+1=x(1-xn)=xn-x2<xn。于是{xn}单调递减有下界0。所以lmxn存在。 设 lim x=a。在xn+1=xn(1-xn)两边取极限得,a=a(1-a),于是a=0。 lim nx= lim s lim n-(n lim Xnin-L n→) n→ n→00X lim(1-xn-1)
作业 6 设 1 1 (0,1), (1 )( 1,2, ) n n n x x x x n ∈ + = − = " 。试证： lim n 1。 n nx →∞ = 证：因 x x 1 1 ∈ = (0,1), n n + x (1− xn )(n =1,2,")，故 1 (0,1) nx + ∈ ，且 2 1 (1 ) n n n n n n x x x x x x + = − = − < 。于是{ }nx 单调递减有下界 0。所以 lim n n x →∞ 存在。 设 lim n n x a →∞ = 。在 1 (1 ) n n n x x x + = − 两边取极限得，a a = (1− a) ，于是a = 0。 1 1 1 ( 1) lim lim lim lim 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n x x nx x x x x x − →∞ →∞ →∞ →∞ − − − − ⋅ = = = − − = 2 1 1 1 1 (1 ) lim (1 ) n n n n n n x x x x x − − →∞ − − −1 − − ⋅ − = lim (1 n 1) 1。 n x − →∞ − = 3
