§12拓广平面上的齐次坐标 上次课:、n维实向量类RPmH(RP 齐次点坐标 n维实向量空间的商空间 归纳 齐次点坐标=双射@:拓广平面上的点坐标映射 维齐次点坐标g:点列(P)→RP拓广直线的线束模型 MP∈l(P)9:Px,x=(x1x2)∈RP 二维齐次点坐标:点场z→RP2拓广平面的线丛模型 VP∈丌,:P→x,x=(x2x2,x3)∈RP
上次课： 一、n 维实向量类 二、齐次点坐标 RPn-1 (RPn-1) * 一维齐次点坐标 1 :点列l(P) RP 二维齐次点坐标 n维实向量空间的商空间 归纳 齐次点坐标 = 双射φ：拓广平面上的点坐标映射 2 :点场 RP , : , ( , , ) . 2 P P x x x1 x2 x3 RP 1 1 2 Pl(P), : P x, x (x , x ) RP . 拓广直线的线束模型 拓广平面的线丛模型
§12拓广平面上的齐次坐标 三、直线的齐次坐标方程 定理12在齐次坐标下,直线的方程为 ∑ L.x.=0 反之,(1.1)表示直线称(1.1)为直线的齐次方程 注1 定理1.2的证明中,从(2)到(3)的“即”,由x30到可以 x3=0,已经将通常直线拓 注2 定理1,2:通常直线的齐次、非齐次方程互化 推论11过原点的直线的齐次方程为a1x1+2x2=0 特别地,x轴:x2=0,y轴:x1=0,lm:x3=0
三、直线的齐次坐标方程 定理 1.2 在齐次坐标下，直线的方程为 0. 3 1 i i i u x (1.1) 反之，(1.1)表示直线. 称(1.1)为直线的齐次方程. 注2 定理1.2：通常直线的齐次、非齐次方程互化. 推论 1.1 过原点的直线的齐次方程为u1x1+u2x2=0. 特别地, x轴: x2=0, y轴: x1=0, l∞: x3=0. 注1 定理1.2的证明中, 从(2)到(3)的“即” , 由x3≠0到可以 x3=0, 已经将通常直线拓广
§12拓广平面上的齐次坐标 四、齐次线坐标 改变一下你的几何学观点 直线 曲线 点几何学坐标 方程 点的轨迹 线几何学方程 坐标 直线族的包络 线几何学:以直线为基本几何元素去表达其他几何对象 调整你的思维天平! 直线
改变一下你的几何学观点 点 直线 曲线 点几何学 坐标 方程 点的轨迹 线几何学 方程 坐标 直线族的包络 四、齐次线坐标 线几何学：以直线为基本几何元素去表达其他几何对象 调整你的思维天平！
§12拓广平面上的齐次坐标 四、齐次线坐标 1定义将直线1∑x=0中的系数称为的齐次线坐标,记作 注1齐次线坐标是一个双射v称为拓广平面上的线坐标映射 U:线场z→(RP) Vl∈丌,w:1b>l,l=l12l2,2]e(RP) 注2齐次线坐标与齐次点坐标有完全相同的代数结构和性质 y轴:x1=0<>[00 思考:注3中这些直线的 注3x轴:x2=04[010]齐次坐标分别与哪些点的齐次 1n:x2=0[1,2,0 注4由定义方程←系数→坐标实现互化,故v由诱导
四、齐次线坐标 1. 定义 将直线l： 3 1 0 i i i u x 中的系数称为l的齐次线坐标，记作 [ , , ]. u1 u2 u3 注2 齐次线坐标与齐次点坐标有完全相同的代数结构和性质. 注3 y轴： 0 [1,0,0]. x1 x轴： 0 [0,1,0]. x2 0 [0,0,1]. l : x3 过原点的直线： 0 [ , ,0]. 1 1 2 2 u1 u2 u x u x 思考：注3中这些直线的 齐次坐标分别与哪些点的齐次 坐标相同(忽略括号差别)？ 注4 由定义, 方程 系数 坐标 实现互化, 故ψ由φ诱导. 注1 齐次线坐标是一个双射ψ, 称为拓广平面上的线坐标映射 2 * :线场 (RP ) , : , [ , , ] ( ) . 2 * l l u u u1 u2 u3 RP
§12拓广平面上的齐次坐标 2.点的齐次方程 定理1.3在齐次线坐标下,点x在直线u上分 11x1= 0 (1.2) 定义1.7在齐次线坐标下,若方程f1,l2l3)=0能且仅能被过 点P的直线的齐次坐标所满足,则称f=0为点P的齐次方程 定理14在齐次线坐标下,一点a=(a1a2a3)的齐次方程为 a1l41+a2l2+a2l2=0 反之,关于流动线坐标的一次齐次方程表示点
0 (1.2) 3 1 i i i u x 定理1.3 在齐次线坐标下，点x在直线u上 2. 点的齐次方程 定义1.7 在齐次线坐标下，若方程 f(u1 ,u2 ,u3)=0 能且仅能被过 点P的直线的齐次坐标所满足，则称 f=0 为点 P 的齐次方程. 定理1.4 在齐次线坐标下，一点 a=(a1 ,a2 ,a3) 的齐次方程为 0. (1.3) a1u1 a2u2 a3u3 反之，关于流动线坐标的一次齐次方程表示点
§12拓广平面上的齐次坐标 四、齐次线坐标2.点的齐次方程 给定齐次方程 ∑x12=0 注对(14)的新理解 X (1.4) 几何意义 点几何变不变直线v的动点x在定直线l上; 观点(流动)|(常数)方程定直线u为动点x的轨迹 线几何不变 变 点x的动直线)过定点x; 观点(常数)(流动)方程定点x为动直线v的包络 因此,一般地,称(1.4)为点与直线的齐次关联关系.点、直 线统称为几何元素
四、齐次线坐标 2. 点的齐次方程 注 对(1.4)的新理解. x u (1.4) 变 (流动) 不变 (常数) 直线u的 方程 几何意义 动点x在定直线u上； 定直线u为动点x的轨迹 点几何 观点 线几何 观点 不变 (常数) 变 (流动) 点x的 方程 动直线u过定点x； 定点x为动直线u的包络 因此，一般地，称(1.4)为点与直线的齐次关联关系. 点、直 线统称为几何元素. 给定齐次方程 0 (1.4) 3 1 i iui x
§12拓广平面上的齐次坐标 四、齐次线坐标 2.点的齐次方程 例2求下列各点的齐次方程 思考:本例中这 (1)x轴上的无穷远点(0,0)4=0.些点的齐次方程分别 (2)y轴上的无穷远点(01.0)42=0.与哪些直线的齐次方 程形式上相同? (3)原点 (00,1)<>2=0 (4)点(1,2,2)>1+22+22 (5)方向为=-的无穷远点(3,-1,0)>31-2=0 (6)无穷远直线上的点(x,x2,0)4>x11+x22=0
四、齐次线坐标 2. 点的齐次方程 例 2 求下列各点的齐次方程. (1). x轴上的无穷远点 (1,0,0) 0. u1 (2). y轴上的无穷远点 (0,1,0) 0. u2 (3). 原点 (0,0,1) 0. u3 (4). 点(1,2,2) 2 2 0. u1 u2 u3 (5). 方向为 3 0. u1 u2 3 1 的无穷远点 (6). 无穷远直线上的点 ( , ,0) 0. x1 x2 x1u1 x2u2 思考：本例中这 些点的齐次方程分别 与哪些直线的齐次方 程形式上相同？ (3,–1,0)
§12拓广平面上的齐次坐标 五、非齐次线坐标 定义1.8对于直线u=[vu1l2,21,若u3:0,则定义其非齐次坐标为 [U,其中U=u4/2,v=u22 注1哪些直线没有非齐次坐标?过原点的直线u2 注2将点与直线的齐次关联关系(14)两边同时除以nx2得到 点与直线的非齐次关联关系为 Ux+vy+l=0 显然,得到(1.5)的基础是2x3≠0.因此,无穷远直线上的点和过 原点的直线均不满足非齐次关联关系 从非齐次关联关系角度:过原点的直线、无穷远直线上的点 没有非齐次坐标,也没有非齐次方程!
五、非齐次线坐标 定义1.8 对于直线u=[u1 ,u2 ,u3], 若u3≠0,则定义其非齐次坐标为 [U,V]其中U=u1 /u3 , V=u2 /u3 . 注1 哪些直线没有非齐次坐标？ 注2 将点与直线的齐次关联关系(1.4)两边同时除以u3x3 , 得到 点与直线的非齐次关联关系为 Ux Vy 1 0. (1.5) 显然，得到(1.5)的基础是u3x3≠0. 因此，无穷远直线上的点和过 原点的直线均不满足非齐次关联关系. 从非齐次关联关系角度：过原点的直线、无穷远直线上的点 没有非齐次坐标，也没有非齐次方程！ 过原点的直线[u1 ,u2 ,0]
§12拓广平面上的齐次坐标 有关齐次坐标的基本结论(hm.15~1.91.5~1.9) (1)两点a,b重合分 (1).两直线a,b重合兮 秩 1. 秩 b b (2)相异两点a,b连线方程为(2).相异两直线a,b交点方程为 0 0 b 坐标为 坐标为 b2 b3 b, b b2 b2b3b3,, b2
六、有关齐次坐标的基本结论(Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9') (1). 两点a, b重合 1. b a 秩 (1)'. 两直线a, b重合 1. b a 秩 (2). 相异两点a, b连线方程为 0. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 b b b a a a x x x (2)'. 相异两直线a, b交点方程为 坐标为 , , . 1 2 1 2 3 1 3 1 2 3 2 3 b b a a b b a a b b a a 坐标为 , , . 1 2 1 2 3 1 3 1 2 3 2 3 b b a a b b a a b b a a 0. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 b b b a a a u u u
§12拓广平面上的齐次坐标 有关齐次坐标的基本结论(hm.15~1.91.5~1.9) (3)相异三点a,bc共线分 (3)相异三直线a,b,c共点分 C 秩b1b2b3|=2 秩bb,b、|=2 注:若三点(直线)a,b,c不共线(点)则上述矩阵满秩 (4)以相异两点ab连线为底(4).以相异两直线ab交点为 的点列中点的齐次坐标能且仅束心的线束中直线的齐次坐标 能表示为a+mb(1m不全为零)能且仅能表示为a+mb(Lm不 全为零 由此引出:点列的参数表示
(3). 相异三点a,b,c共线 2. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 c c c b b b a a a 秩 (3)'. 相异三直线a,b,c共点 (4). 以相异两点a,b连线为底 的点列中点的齐次坐标能且仅 能表示为la+mb(l,m不全为零). 2. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 c c c b b b a a a 秩 (4)'. 以相异两直线a,b交点为 束心的线束中直线的齐次坐标 能且仅能表示为la+mb(l,m不 全为零). 六、有关齐次坐标的基本结论(Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9') 由此引出：点列的参数表示 注：若三点(直线)a, b, c不共线(点), 则上述矩阵满秩