南京师范大学：《高等几何》课程电子教案（PPT课件）第三章 变换群与几何学

第三章变换群与几何学 、二维射影变换的特例 1、仿射变换 定义3.1在拓广平面上,保持无穷远直线不变的射影变换称 为射影仿射变换 定理3.1射影变换 ∑ 1,2,3,|anH≠0,p≠0 (3.1) 保持l:x3=0不变a31=a32=0 证明:(略,见教材) 显然,射影仿射变换形如 m1=a1x1+a12x2+a13x px2 =a21xta22x, +a,rx 3≠0,0≠0 (3.2) 作用于射影仿射平面(拓广平面上) 作者:南京师大数科院周兴和

第三章 变换群与几何学 一、二维射影变换的特例 课件作者：南京师大数科院周兴和 1、仿射变换 定义3.1 在拓广平面上，保持无穷远直线不变的射影变换称 为射影仿射变换. 定理3.1 射影变换 1,2,3,| | 0, 0 (3.1) 3 1 ' = = =   j i i j j ai j x a x i  保持l∞：x3=0不变a31 =a32=0. 证明：(略, 见教材). 显然, 射影仿射变换形如 0, 0 (3.2) 3 3 3 3 3 3 3 ' 3 2 1 1 2 2 2 2 3 3 ' 2 1 1 1 1 2 2 1 3 3 ' 1        = = + + = + +     a A x a x x a x a x a x x a x a x a x 作用于射影仿射平面(拓广平面上)

第三章变换群与几何学 、二维射影变换的特例 、仿射变换 显然,射影仿射变换形如 m1=a1x1+a12x2+a13x3 +ax+aax 343≠0,0≠0(32) 3343 作用于射影仿射平面(拓广平面上) 将(32)式化为非齐次(前二式两边分别除以第三式,得 x'=ax+b,y+C LA= ≠0 v=ax+b,y+C 称(3.3)决定的变换为仿射变换,作用于一般仿射平面上

第三章 变换群与几何学 一、二维射影变换的特例 1、仿射变换 显然, 射影仿射变换形如 0, 0 (3.2) 3 3 3 3 3 3 3 ' 3 2 1 1 2 2 2 2 3 3 ' 2 1 1 1 1 2 2 1 3 3 ' 1        = = + + = + +     a A x a x x a x a x a x x a x a x a x 作用于射影仿射平面(拓广平面上). 将(3.2)式化为非齐次(前二式两边分别除以第三式), 得 | | 0 (3.3) ' ' 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 =     = + + = + + a b a b A y a x b y c x a x b y c 称(3.3)决定的变换为仿射变换, 作用于一般仿射平面上

第三章变换群与几何学 、二维射影变换的特例 、仿射变换 2、正交变换 定义32在仿射变换 x'=ax+by+C A|≠0 (3.3) y'=a,x+b,y+C, 中,如果矩阵A为正交阵,即满足A4=E,则称为正交变换,(3.3)的 齐次坐标表达式称为射影正交变换 注:正交变换作用于欧氏平面上,而射影正交变换则作用于 射影仿射平面上

第三章 变换群与几何学 一、二维射影变换的特例 1、仿射变换 | | 0 (3.3) ' ' 2 2 2 1 1 1     = + + = + + A y a x b y c x a x b y c 中, 如果矩阵A为正交阵, 即满足AA'=E, 则称为正交变换, (3.3)的 齐次坐标表达式称为射影正交变换. 2、正交变换 定义3.2 在仿射变换 注：正交变换作用于欧氏平面上, 而射影正交变换则作用于 射影仿射平面上

第三章变换群与几何学 二维射影变换的特例 二、群与变换群 以下这些概念都将在《近世代数》课程中学习,我们仅承认 并应用 定义(代数运算)设A,B,C为集合,g为AXB到C的一个对应 则称为A×B到C的一个代数运算 特别地,若B=C=A,则称为集合A上的一个代数运算 注:代数运算可以满足结合律,交换律,分配律中的某一个或 者全部 定义了代数运算的集合称为代数系统,代数学就是研究代数 系统的科学

第三章 变换群与几何学 一、二维射影变换的特例 二、群与变换群 定义 (代数运算)设A, B, C为集合, 为A×B到C的一个对应. 则称为A×B到C的一个代数运算. 特别地, 若B=C=A, 则称为集合A上的一个代数运算. 注：代数运算可以满足结合律, 交换律, 分配律中的某一个或 者全部. 以下这些概念都将在《近世代数》课程中学习, 我们仅承认 并应用. 定义了代数运算的集合称为代数系统, 代数学就是研究代数 系统的科学

第三章变换群与几何学 二维射影变换的特例 二、群与变换群 有形形式式的集合,更有各种各样的代数运算 比如,实数集R上的加(减法、乘(除)法都是R上的代数运算. 比如,对于数域F上的向量空间V数乘向量是F×到的一个 代数运算 比如,矩阵的乘法是所有矩阵的集合上的代数运算 比如,sin不是一个代数运算,而 Sinacos8是一个代数运算

第三章 变换群与几何学 一、二维射影变换的特例 二、群与变换群 比如, 实数集R上的加(减)法、乘(除)法都是R上的代数运算. 比如, 对于数域F上的向量空间V, 数乘向量是F×V到V的一个 代数运算. 有形形式式的集合, 更有各种各样的代数运算. 比如, 矩阵的乘法是所有矩阵的集合上的代数运算. 比如, sin不是一个代数运算, 而sincos是一个代数运算

第三章变换群与几何学 二维射影变换的特例 二、群与变换群 定义3.3(群)设G为非空集合在G上定义一个代数运算,称为 乘法.如果满足下述4条公理,则称G对于这个乘法构成一个群,记 作G (1).封闭性即a,b∈G,有ab∈G (2)乘法满足结合律即∨bc∈G,有a(bc)=(ab)c (3)存在单位元即彐e∈G,使得∨a∈G,有ve=e=a (4)存在逆元即a∈G,彐a∈G满足aa1=aa=e 注↑定义中的运算是称为乘法,未必是通常的乘法 注2群中的乘法不一定满足交换律.若满足交换律,可以将这 种乘法称为加法,这样的群称为交换群或加法群或Abel群

第三章 变换群与几何学 一、二维射影变换的特例 二、群与变换群 定义3.3 (群)设G为非空集合. 在G上定义一个代数运算, 称为 乘法. 如果满足下述4条公理, 则称G对于这个乘法构成一个群, 记 作G. (1). 封闭性. 即a,bG,有abG. (2). 乘法满足结合律. 即a,b,cG,有a(bc) = (ab)c. (3). 存在单位元. 即eG, 使得aG, 有ae = ea = a. (4). . , , . 1 1 1 aG a G aa = a a = e 存在逆元 即 − 满足 − − 注1 定义中的运算是称为乘法, 未必是通常的乘法. 注2 群中的乘法不一定满足交换律. 若满足交换律, 可以将这 种乘法称为加法, 这样的群称为交换群或加法群或Abel群

第三章变换群与几何学 二维射影变换的特例 二、群与变换群 定义3.3(群)设G为非空集合在G上定义一个代数运算,称为 乘法.如果满足下述4条公理,则称G对于这个乘法构成一个群,记 作G (1).封闭性即∨a,b∈G,有ab∈G (2)乘法满足结合律即∨bc∈G,有a(bc)=(ab)c (3)存在单位元即彐e∈G,使得∨a∈G,有ve=e=a (4)存在逆元即va∈G,a∈G,满足qal=aa=e 例1设Q*表示全体非零有理数的集合,则Q*对于数的乘法构 成群 例2设M表示实数域上全体n阶可逆方阵的集合,则M对于矩 阵的乘法构成群

第三章 变换群与几何学 一、二维射影变换的特例 二、群与变换群 (1). 封闭性. 即a,bG,有abG. (2). 乘法满足结合律. 即a,b,cG,有a(bc) = (ab)c. (3). 存在单位元. 即eG, 使得aG, 有ae = ea = a. (4). . , , . 1 1 1 aG a G aa = a a = e 存在逆元 即 − 满足 − − 例1 设Q*表示全体非零有理数的集合, 则Q*对于数的乘法构 成群. 例2 设M表示实数域上全体n阶可逆方阵的集合, 则M对于矩 阵的乘法构成群. 定义3.3 (群)设G为非空集合. 在G上定义一个代数运算, 称为 乘法. 如果满足下述4条公理, 则称G对于这个乘法构成一个群, 记 作G

第三章变换群与几何学 二维射影变换的特例 二、群与变换群 定义34(子群)设G为群,H为G的一个非空子集,若H对于G上 的乘法也构成群,则称H为G的一个子群 定理3.2群G的一个非空子集H为G的子群兮H满足下述条件 (1)Va,b∈H,有ab∈H (2)若a∈H,则a∈H 证明.只要由上述(1),(2推出H对于G的乘法满足群的4个条 件(严格证明将来见《近世代数》课程)

第三章 变换群与几何学 一、二维射影变换的特例 二、群与变换群 定义3.4 (子群)设G为群, H为G的一个非空子集, 若H对于G上 的乘法也构成群, 则称H为G的一个子群. 定理3.2 群G的一个非空子集H为G的子群H满足下述条件. (1). a,bH,有abH. (2). , . 1 aH a H 若 则 − 证明. 只要由上述(1), (2)推出H对于G的乘法满足群的4个条 件(严格证明将来见《近世代数》课程)

第三章变换群与几何学 二维射影变换的特例 二、群与变换群 定义3.5(群的同构)两个群G,G之间的一个能够保持乘法运 算的双射称为G与G之间的一个同构映射 如果群G与G之间存在一个同构映射,则称G同构于G记作 G≈G 定理3.3非空集合S上全体一一变换的集合对于变换的乘法构 成群.称为集合S上的全变换群 定理34非空集合S上若干个一一变换的集合G对于变换的乘 法构成群 (1)若g1g2∈G,则g182∈G (2)若g∈G,则g1∈G 定义3.6集合S上全变换群的任一子群称为S上的一个变换群

第三章 变换群与几何学 一、二维射影变换的特例 二、群与变换群 定义3.5 (群的同构)两个群G, G'之间的一个能够保持乘法运 算的双射称为G与G'之间的一个同构映射. 如果群G与G'之间存在一个同构映射, 则称G同构于G', 记作 GG'. 定理3.3 非空集合S上全体一一变换的集合对于变换的乘法构 成群. 称为集合S上的全变换群. 定理3.4 非空集合S上若干个一一变换的集合G对于变换的乘 法构成群 (1) 若g1 , g2∈G, 则g1g2∈G. (2) 若g∈G, 则g –1∈G. 定义3.6 集合S上全变换群的任一子群称为S上的一个变换群

今日无作业 下周一再见!

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