南京师范大学：《高等几何》课程电子教案（PPT课件）第四章 二次曲线理论（4-1）二次曲线的射影定义

§4.1二次曲线的射影定义 五、二级曲线的切点 设r:T≡b 0(b=b)b≠0 1.定义.一般地,过平面上一点有r的两条直线若过平面上某 点P有且仅有T的一条直线,则称P为I的一个切点

§ 4.1 二次曲线的射影定义 五、二级曲线的切点 设 ':  = 0 ( = ) | | 0 (1') T bi jui uj bi j bj i bi j 1. 定义. 一般地, 过平面上一点有'的两条直线. 若过平面上某 点P有且仅有'的一条直线, 则称P为'的一个切点

§4.1二次曲线的射影定义 五、二级曲线的切点 设T:T=∑b=0(b=b)1b≠0( 1.定义.一般地,过平面上一点有r的两条直线若过平面上某 点P有且仅有T的一条直线,则称P为I的一个切点 2.切点方程 观点:用两条相交直线描述点 方法:取一直线[l,以动直线m{m与之相交,有交点m 且标:若P=1Xm为切点,求其方程 过程:与二阶曲线的切线完全对偶,可以求出切点方程 结论: 一般在上的切点):72=TT (5) 特殊(l属于r) T=0 (6) 也有各种常用的等价写法,请自行补出

§ 4.1 二次曲线的射影定义 五、二级曲线的切点 设 ':  = 0 ( = ) | | 0 (1') T bi jui uj bi j bj i bi j 1. 定义. 一般地, 过平面上一点有'的两条直线. 若过平面上某 点P有且仅有'的一条直线, 则称P为'的一个切点. 2. 切点方程 观点：用两条相交直线描述点. 方法：取一直线l[l i ], 以动直线m[mi ]与之相交, 有交点l×m. 目标：若P=l×m为切点, 求其方程. 过程：与二阶曲线的切线完全对偶, 可以求出切点方程. 结论： 一般('在l上的切点)： (5') 2 Tl = Tl lT 特殊(l属于Γ')： = 0 (6') Tl 也有各种常用的等价写法, 请自行补出

§4.1二次曲线的射影定义 五、二级曲线的切点 例2(P110,EX.6)如果两个三点形ABC与ABC同时内接于一条 次曲线,求证它们也同时外切于一条二次曲线 证.设交点D,E;D,E如图 因为A,B,C,A2B,C在同一条二次曲线上, 据二阶曲线的射影定义,有 C(B,A,B,A)AC(B,A, B, A') 又 C(B,A,B,ATAB(B,E, D, A') C(B, A, B,1)A AB(D,A,B,E) DYAB(B,E, D, A)A AB(D, A,B, E) 由二级曲线的射影定义,这两个射影点列的对应点连线以及点 列的底共六条直线属于同一条二级曲线,这六条直线恰好是已知两 个三点形的六条边.结论成立 注:本题的逆命题成立(见P0.,Ex.5)

§ 4.1 二次曲线的射影定义 五、二级曲线的切点 例2 (P.110, Ex. 6)如果两个三点形ABC与A'B'C'同时内接于一条 二次曲线, 求证它们也同时外切于一条二次曲线. 证. 设交点D, E; D', E'如图. 因为A, B, C, A', B', C'在同一条二次曲线上, 据二阶曲线的射影定义, 有 C(B' , A, B, A') C'(B' , A,B, A'). 又 C(B' , A, B, A') A'B'(B' ,E' , D' , A') C'(B' , A,B, A') AB(D, A, B, E). A'B'(B' ,E' , D' , A') AB(D, A, B, E). 由二级曲线的射影定义, 这两个射影点列的对应点连线以及点 列的底共六条直线属于同一条二级曲线, 这六条直线恰好是已知两 个三点形的六条边. 结论成立. 注：本题的逆命题成立. (见P.110, Ex. 5)

§4.1二次曲线的射影定义 五、二级曲线的切点 例2(P110,EX.6)如果两个三点形ABC与ABC同时内接于一条 二次曲线,求证它们也同时外切于一条二次曲线 注:假设P110,EX.5已经证明.则有:两个三点形ABC与ABC 同时内接于一条二次曲线兮它们也同时外切于一条二次曲线 注:(P1,Ex.7)若已知两条二次曲 线T与以及内接于r并外切于I的 个三点形.试讨论是否存在其他三点形 也满足此条件?若存在,有多少? 答:存在,有无穷多.(依据:P110, Ex.5,6;推论4.1,4.1)

§ 4.1 二次曲线的射影定义 五、二级曲线的切点 例2 (P.110, Ex. 6)如果两个三点形ABC与A'B'C'同时内接于一条 二次曲线, 求证它们也同时外切于一条二次曲线. 注：假设P.110, Ex. 5已经证明. 则有：两个三点形ABC与A'B'C' 同时内接于一条二次曲线它们也同时外切于一条二次曲线. 注：(P.110, Ex. 7)若已知两条二次曲 线与'以及内接于并外切于' 的一 个三点形. 试讨论是否存在其他三点形 也满足此条件? 若存在, 有多少? 答：存在, 有无穷多. (依据：P.110, Ex. 5, 6; 推论4.1, 4.1'.)

§4.1二次曲线的射影定义 六、二阶曲线与二级曲线的统 定理4.3( Maclaurin)一条非定理4.3( Maclaurin)一条非 退化二阶曲线的全体切线构成退化二级曲线的全体切点构成 条非退化二级曲线 条非退化二阶曲线 证明:设:S=∑qxx=0.则v=[1l24为r上P(p)处的切线 冷与Sn=0为同一直线兮 aS aS ox, OX 12C 22 0 (4.13) l20 展开,得T=∑41=0.且A=AA1HanP≠0

§ 4.1 二次曲线的射影定义 六、二阶曲线与二级曲线的统一 定理4.3(Maclaurin) 一条非 退化二阶曲线的全体切线构成 一条非退化二级曲线. 定理4.3'(Maclaurin) 一条非 退化二级曲线的全体切点构成 一条非退化二阶曲线. 证明：设 :  = 0. ij i j S a x x 则u=[u1 ,u2 ,u3 ]为上P(pi )处的切线 u与Sp=0为同一直线 0 (4.13) 1 2 3 0 1 3 2 3 3 3 3 1 2 2 2 2 3 2 1 1 1 2 1 3 1 = u u u a a a u a a a u a a a u 展开, 得 0. ,| | | | 0. 2 T Ai jui uj = 且Ai j = Aj i Ai j = ai j  . 3 3 2 2 1 1 =            =           =           u x S u x S u x S p p p

§4.1二次曲线的射影定义 六、二阶曲线与二级曲线的统 定理43 Maclaurin)一条非定理43( Maclaurin)一条非 退化二阶曲线的全体切线构成退化二级曲线的全体切点构成 条非退化二级曲线 条非退化二阶曲线 证明:对偶地,可证明定理4.3′ 注:本定理提供了二次曲线的点坐标、线坐标方程互化方法. 利用(413),可将非退化二次曲线的点坐标方程写为线坐标方 程; 利用(413)的对偶,可将非退化二次曲线的线坐标方程写为点 坐标方程 推论44若b=aA(a0),则S=0与7=0表示同一条二次曲线

§ 4.1 二次曲线的射影定义 六、二阶曲线与二级曲线的统一 定理4.3(Maclaurin) 一条非 退化二阶曲线的全体切线构成 一条非退化二级曲线. 定理4.3'(Maclaurin) 一条非 退化二级曲线的全体切点构成 一条非退化二阶曲线. 证明：对偶地, 可证明定理4.3'. 注：本定理提供了二次曲线的点坐标、线坐标方程互化方法. 利用(4.13), 可将非退化二次曲线的点坐标方程写为线坐标方 程; 利用(4.13)的对偶, 可将非退化二次曲线的线坐标方程写为点 坐标方程; 推论4.4 若bij =Aij(≠0), 则S=0与T=0表示同一条二次曲线

§4.1二次曲线的射影定义 六、二阶曲线与二级曲线的统 例3求证:x1x3x2=0与4m122=0表示同一条二次曲线 证明.第一步.验证已知两条二次曲线为非退化 第二步.将an2u1,l23代入(413)式,展开即得412-2=0

§ 4.1 二次曲线的射影定义 六、二阶曲线与二级曲线的统一 例3 求证：x1x3–x2 2=0与4u1u3–u2 2=0表示同一条二次曲线. 证明. 第一步. 验证已知两条二次曲线为非退化. 第二步. 将aij, u1 , u2 , u3代入(4.13)式, 展开即得4u1u3–u2 2=0

§4.1二次曲线的射影定义 七、二阶曲线束 定理44平面上两条相异的二阶曲线一般有四个交点 证明.设n:f=2ax=0,F2:8=∑bxx=0,则联立 f=0 即为n1与I2的交点,显然,在复数范围内一般有四个解 g=0 定义45设f=0,8=0为平面上两条相异的二阶曲线.则称由 f+2g=0 A∈R (4.14) 所决定的二阶曲线的全体为以f=0,g=0的四个交点为基点的二阶 曲线束若f=0,g=0的四个交点相异,则称为二阶曲线的四点形束 定理45经过平面上任一点P(非基点),必有一条二阶曲线属于 已知束f+g=0 证明.因为P不是=0与g-0的交点,故m与gm不同时为零不妨 设g0.令 1=-.则f+g=0为过P且属于f+1g=0的二阶曲线

§ 4.1 二次曲线的射影定义 七、二阶曲线束 定理4.4 平面上两条相异的二阶曲线一般有四个交点. 证明. 设1：f ≡∑aijxixj=0, 2： g≡∑bijxixj=0, 则联立    = = 0 0 g f 即为1与2的交点, 显然, 在复数范围内一般有四个解. 定义4.5 设f =0, g=0为平面上两条相异的二阶曲线. 则称由 f +g = 0 R (4.14) 所决定的二阶曲线的全体为以f =0, g=0的四个交点为基点的二阶 曲线束. 若f =0, g=0的四个交点相异, 则称为二阶曲线的四点形束. 定理4.5 经过平面上任一点P(非基点), 必有一条二阶曲线属于 已知束f +g=0. 证明. 因为P不是f =0与g=0的交点, 故fpp与gpp不同时为零. 不妨 设gpp≠0. 令 . 0 pp pp g f  = − 则f + 0g=0为过P且属于 f + g=0的二阶曲线

§4.1二次曲线的射影定义 七、二阶曲线束 定理46平面上任一二阶曲线束中必有三条退化的二阶曲线, 它们是以四个基点为顶点的完全四点形的三双对边 注:如图,三条相异的退化二阶曲线为: 1:AB.CD=0; :BC·AD=0 I:AC·BD=0 实用性很强的两种极限形式如下: I:AP·CD=0 A=B P: AP. CP=0; I:AC·AD=0 E:AC·AC=0; F2:AC·AD=0. I:AC·AC=0. D 只有两条相异 只有两条相异

§ 4.1 二次曲线的射影定义 七、二阶曲线束 定理4.6 平面上任一二阶曲线束中必有三条退化的二阶曲线, 它们是以四个基点为顶点的完全四点形的三双对边. 注：如图, 三条相异的退化二阶曲线为： 0; 1 ：ABCD = 0; 2：BC AD = 0. 3：ACBD = 实用性很强的两种极限形式如下： 0; 1：APCD = 0; 2：AC AD = 0. 3：AC AD = 0; 1：APCP = 0; 2：AC AC = 0. 3：AC AC = 只有两条相异. 只有两条相异

§4.1二次曲线的射影定义 七、二阶曲线束 例4(P108,例4.3,请自学,体会如何应用二阶曲线束解题 例5已知二阶曲线过点4(1,0,1)C(0,0,1),E(3,2,1)并与直线l1 x1-3x2-x3=0,l22x1-x2=0相切.求Ⅰ的方程 解易见A∈h12C∈2于是分别与1,h2相切A 于点A,C.令A=B,C=D.则 第一步 AB:x1-3x2-x3=0,CD:2x1-x2=0 C=D ACx=0 BD x=0 于是,过A,B,C,D四点的二阶曲线束的方程为: AB·CD+AAC·BD=0 (x1-3x2-x3X(2x1-x2)+Ax2=0 第二步.将E(3,2,1)代入,得=2.故的方程为 2x12+7x2-7x1x2-2x1x3+x2x3=0

§ 4.1 二次曲线的射影定义 七、二阶曲线束 例4 (P.108,例4.3, 请自学, 体会如何应用二阶曲线束解题). 例5 已知二阶曲线过点A(1,0,1), C(0,0,1), E(3,2,1), 并与直线l1 : x1–3x2– x3=0, l2 : 2x1–x2=0相切. 求的方程. 解 易见A∈l1 , C∈l2 . 于是分别与l1 , l2相切 于点A, C. 第一步. : 3 0, AB x1 − x2 − x3 = : 2 0, CD x1 − x2 = : 0, AC x2 = : 0. BD x2 = 于是, 过A, B, C, D四点的二阶曲线束的方程为： ABCD + AC BD = 0, 即 ( 3 )(2 ) 0. 2 x1 − x2 − x3 x1 − x2 + x2 = 第二步. 将E(3,2,1)代入, 得=2. 故的方程为 2 7 7 2 0. 1 2 1 3 2 3 2 2 2 x1 + x − x x − x x + x x = 令A=B, C=D. 则