试卷号:GJ.031 南京师范大学考试试卷 《高等几何》,2003级期中考试,2005年1月9日 评分样卷 题号一 三四五六总分 得分201016161622100 一、判断题.请判断下列各陈述是否正确,正确的打“√”,错误 的打“×”.(20分) 1.ABCD为一个四面体,点X在BC上,一直线通过X分别交AB AC于PQ.另一直线通过x分别交DB,DC于s.则PR与Qs的交点在 AD上. ( 2.一维射影变换2+X+1=0恰有一个不变元素,参数为=-3(x) 3.因为共点四直线的交比可以由这四条直线的斜率表示,所以直 线的斜率是射影不变量 () 4.设(A,B,C,D,E,F)(B,C,D,A,E,F).则E,F为由A→C;B→D所确定 的对合的不变元素 (√ 5.令直线上三点A(31)B(0,5),C(-1,-)依次对应于直线上的三 点A(2,-3),B(6,-7),C(1,4),则由此可唯一确定l到的一个一维射影对 应 (x) 6.设A,B,C,D为共线四点,则(AB,CD)=-1(AB,CD)=(AB,DC) (x) 7.设一维基本形上的一个对应φ使得对应元素A+B与A+XB的 参数满足方程2X+6+X+3=0,则φ为射影变换. () 8.不在边上的任一点与完全四线形三双对顶的连线是属于同一对 合的三对对应直线. ( 9.用 Desargues定理可以证明:三角形的三条中线共点,所以三角形 的重心是射影不变的 (×) 10.直线2x1+5x2-x3=0上的无穷远点为(2,-5,0) ()
1 ✁✂✄ GJ.031 ☎✆✝✞✟✠✡☛☛☞ ✌✍✎✏✑✒✓ 2003 ✔✕✖✗✘ ✓ 2005 ✙ 11 ✚ 9 ✛ ✜✢✣✤ ✥✂ ✦ ✧ ★ ✩ ✪ ✫ ✬✭ ✮✭ 20 10 16 16 16 22 100 ✯✰✱✲✳✴✵✶✷✸✹✺✻✼✽✾✿❀ ✓✿❀ ❁❂ ❃√ ❄✓❅❆ ❁❂ ❃ × ❄✴ (20 ✭ ) 1. ABCD ❇ ✦❈ ✩❉❊ ✓❋ X ● BC ❍✓✦■❏❑▲ X ✭▼◆ AB, AC ❖ P, Q. P ✦■❏❑▲ X ✭▼◆ DB, DC ❖ R, S. ◗ P R ❘ QS ❁◆ ❋● AD ❍ ✴ ( √ ) 2. ✦❙❚❯❱❲ 2λ+λ 0 + 1 = 0 ❳ ❨✦❈❩❱❬❭✓❪❫❇ λ = − 1 3 . (×) 3. ❴❇❵❋✩■❏❁◆❛❜❝❞❡ ✩❢■❏❁❣❤✐❥✓❦ ❝■ ❏❁❣❤✽❚❯❩❱❧✴ (×) 4. ♠ (A, B, C, D, E, F)∧(B, C, D, A, E, F). ◗ E, F ❇ ❞ A ↔ C; B ↔ D ❦❀♥ ❁♦♣ ❁❩❱❬❭✴ ( √ ) 5. q ■❏ l ❍ ★ ❋ A(3, 1), B(0, 5), C(−1, − 1 3 ) rs♦t❖ ■❏ l 0 ❍ ❁★ ❋ A0 (2, −3), B0 (6, −7), C 0 (1, 4) ✓◗ ❞✉❜✈✦❀♥ l ✇ l 0 ❁✦❈✦❙❚❯♦ t✴ (×) 6. ♠ A, B, C, D ❇❵❏✩ ❋✓◗ (AB, CD) = −1 ⇔ (AB, CD) = (AB, DC). (×) 7. ♠ ✦❙①②③❍ ❁✦❈♦t ϕ ④ ✮♦t❬❭ A + λB ❘ A + λ 0B ❁ ❪❫⑤⑥⑦⑧ 2λλ0 + 6λ + λ 0 + 3 = 0, ◗ ϕ ❇ ❚❯❱❲✴ (×) 8. ❩ ●⑨❍ ❁⑩✦ ❋❘❶❷ ✩❏③★❸♦❹❁❺❏✽❻❖ ❼ ✦♦ ♣ ❁★♦♦t■❏✴ ( √ ) 9. ❽ Desargues ♥❾❜❝❿ ➀✄★➁③ ❁★❢ ➂❏ ❵❋✓❦ ❝★➁③ ❁➃➄✽❚❯❩❱❁✴ (×) 10. ■❏ 2x1 + 5x2 − x3 = 0 ❍ ❁➅➆➇ ❋❇ (2, −5, 0). (×)
判别下述命题是否有对偶命题,如果有,请写出;如果没有, 请简要说明原因.(10分) 1.设有变动的三点形ABC.如果其边BC,CA,AB分别通过共线的三 个定点P,Q,R,而且顶点B,C分别在定直线pq上,则顶点A也在一条定 直线r上 设有变动的三线形abe.如果其顶点bxc,cxa,axb分别在共点的三条 定直线pqr上,而且边b,c分别经过定点PQ,则边a也经过一个定点R 2.如果两个完全四点形的五对对应边的交点在同一直线上,则其 第六对对应边的交点也在此直线上,且其四对对应顶点的连线交于 点 如果两个完全四线形的五对对应顶点的连线交于同一个点,则其 第六对对应顶点的连线乜通过此点、,且其四对对应边的交点共线 3.设P,P,P为直线l上的通常点,P为l上的无穷远点,则P为 线段BP的中点(BP2PP)=-1 没有对偶命题,因为命题涉及通常点、无穷远点、线段及其中点 等非射影概念,所以题给命题不是射影命题 4.在两条直线l,12上各取定相异三点 和A2,B2,C2,则B1C2x B2C1,C1A2×C2A1,A1B2×A2B1三点共线 经过两个点、L1,L2各作三条相异直线a1,b,c1和a2,b2,C2,则b1xe与 b2x1的连线,a1xa与c×a1的连线,a1xb与a×b1的连线三线共点、 5.点列l(P)上的对合的两个不变点中一个为无穷远点P,一个为 通常点Q,则至少存在一对对应点其连线以Q为中点 没有对偶命题,因为涉及线段的中点这个非射影概念,故题给命 题不是射影命题 注评分建议:正确完成得满分;对偶命题书写有非原则性锴误而 基本正确可扣1分;仅指出没有对偶命题而无(正确)理由者得1分
2 ➈ ✰✱➉➊➋➌✳➍➎➏➐➑➌✳✓➒➓➏✓➔→➣↔➒➓↕➏✓ ➔➙➛➜➝➞➟✴ (10 ➠) 1. ♠ ❨❱➡❁★ ❋③ ABC. ➢➤➥⑨ BC, CA, AB ✭▼❑▲❵ ❏❁★ ❈♥ ❋ P, Q, R, ➦ ➧❹ ❋ B, C ✭▼● ♥■❏ p, q ❍✓◗ ❹ ❋ A ➨● ✦❢♥ ■❏ r ❍ ✴ ➩➫➭➯➲➳➵➸ abc. ➺➻➼➽➾ b × c, c × a, a × b ✢➚➪➶➾➲➳➹ ➘➴➵ p, q, r ➷✓➬➮➱ b, c ✢➚✃❐➘ ➾ P, Q, ❒➱ a ❮ ✃❐❰Ï➘ ➾ R. 2. ➢➤Ð❈ ❶❷ ✩ ❋③ ❁✪♦♦t⑨ ❁◆ ❋● ❼ ✦■❏❍✓◗➥ Ñ✫♦♦t⑨ ❁◆ ❋➨●✉■❏❍✓➧ ➥ ✩♦♦t❹❋❁❺❏◆ ❖ ✦ ❋✴ ➺➻ÒÏÓÔÕ➵➸➲Ö××Ø➽➾➲Ù➵ÚÛÜ❰Ï➾✓❒➼ ÝÞ××Ø➽➾➲Ù➵ ❮ß❐à➾✓➮ ➼ Õ××Ø➱➲Ú ➾ ➶➵✴ 3. ♠ P1, P2, P ❇ ■❏ l ❍ ❁❑á❋✓ P∞ ❇ l ❍ ❁➅➆➇ ❋✓◗ P ❇ ❏â P1P2 ❁➂❋ ⇔ (P1P2, P P∞) = −1. ã➫×äåæ✓çèåæéêßë➾✰ìíî➾✰➵ïê ➼✖➾ ✎ðñòóô✓õöæ÷åæøùñòåæ✴ 4. ●Ð❢■❏ l1, l2 ❍ ✺ú♥ûü★ ❋ A1, B1, C1 ý A2, B2, C2, ◗ B1C2 × B2C1, C1A2 × C2A1, A1B2 × A2B1 ★ ❋❵ ❏✴ ✃❐Ò Ï ➾ L1, L2 þÿ➳➹✁➴➵ a1, b1, c1 ✂ a2, b2, c2, ❒ b1 × c2 ✄ b2 × c1 ➲Ù➵ ✓c1 × a2 ✄ c2 × a1 ➲Ù➵ ✓a1 × b2 ✄ a2 × b1 ➲Ù➵➳➵➶ ➾ ✴ 5. ❋✹ l(P) ❍ ❁♦♣ ❁ Ð ❈❩❱ ❋➂✦❈ ❇➅➆➇ ❋ P∞, ✦❈ ❇ ❑á❋ Q, ◗☎ ✆✝● ✦♦♦t❋➥ ❺❏❝ Q ❇ ➂ ❋✴ ã➫×äåæ✓çèéê➵ï➲ ✖➾✞ Ïðñòóô✓✟æ÷å æøùñòåæ✴ ✠ ✜✢✡☛✄☞✌Ó✍✎✏✢↔×äåæ✑✒➫ð✓ ❒✔✕✖➬ ✗✘☞✌✙✚ 1 ✢↔✛✜ ✢ã➫×äåæ➬ì (☞✌) ✣✤✥✎ 1 ✢✴
注:对于以下各题,如果你能够给出多于一种的正确解答,或者你 能够发现题目中的错误予以改正并正确解答,将会得到额外奖励分 三、计算题.已知四点A(1,2,-1),B(-1,12,.C(3,0,-5),D(,8,-1.求这四 点的交比(AB,CD)(16分) 解经验证,A,B,C三点共线于直线⑤,-1,3],而D不经过此直线, 因此题目中D的坐标印刷错误 为使得D在直线[5,-1,3上,只要将D的坐标改为(1,8,1)即可 改动后,令p1C=A+A1B,PD=A+A2B.可以求出A1=2,1=-2/3,于是 (AB,CD)=-3. 注评分建议:改正并正确完成得满分;改正而未正确计算得8分; 发现问题但未改正也未计算得4分 四、证明题.如图,在四边形ABCD中, AB XCD=E, AC x BD=F ADx BC=R,M为直线EF上任一点, CMxAB=P, BM X CD=Q.求证: P,Q,R三点共线.(16分) 证法一考察三点形MCB 与EAD,因为其对应顶点的连线 ME,CA,BD共点于F,根据Desa gus定理,其对应边的交点PQ,R 三点共线 证法二设 QRXAB=PEF BC=S.则有 (B, A, P,E)A(C, D,Q, E),C,D,Q,E)A(S, F,M, E),(S, F, M,E)A(B, A, P, E) 所以,(B,A,P,E)不(B,A,PE,即P=P.从而PQ,R三点共线 证法三考察三点形PQM与ADF,其对应顶点的连线共点于E,据 Desargues定理,PQ必定经过R. 注评分建议:对每种方法给出判断,全对时给毎种解法打勾并给 该题评16分,奖励分另给(下同;有多法而都不全对,按最高者给分
3 ✠✄✦✧★✩✪✫✓✬✭✮✯✰✱✲✳✧✴✵✶✷✸✹✺✓✻✼✮ ✯✰✽✾✫ ✿❀✶❁❂❃★❄✷❅✷✸✹✺✓❆❇❈❉❊❋●❍■✴ ❏✰❑▲✳✴▼◆ ✩ ❋ A(1, 2, −1), B(−1, 1, 2), C(3, 0, −5), D(1, 8, −1). ❖ ❡ ✩ ❋❁◆❛(AB, CD).(16 ✭ ) ✹ ✃P◗✓ A, B, C ➳ ➾ ➶➵Û➴➵ [5, −1, 3], ➬ D ø✃❐à➴➵ ✓ çàæ ❘ ✖ D ➲❙❚❯❱✕✖❲ ❳❨❩ D ❬❭❪ [5, −1, 3] ❫❴❵❛❜ D ❝❙❚❞❳ (1, 8, 1) ❡❢❲ ❞❣❤❴ ✐ ρ1C = A+λ1B, ρ2D = A+λ2B. ❢❥❦❧λ1 = 2, λ2 = −2/3, ♠ ♥ (AB, CD) = −3. ♦ ♣qrst❞✉✈✉✇①②❩③q④❞✉⑤⑥✉✇⑦⑧❩ 8 q④ ⑨⑩❶❷❸⑥❞✉❹⑥⑦⑧❩ 4 q❲ ❺ ❻❼❽❾❲❿ ➀ ❴➁ ➂ ➃➄ ABCD ➅❴ AB × CD = E, AC × BD = F, AD × BC = R, M ➆➇➈ EF ➉➊➋➌❴ CM × AB = P, BM × CD = Q. ➍➎t P, Q, R ➏➌➐ ➈❲ (16 ➑) ➒➓➔ →➣↔↕➙ MCB ➛ EAD, ➜ ❳➝➞➟➠↕❝➡❪ ME, CA, BD ➢ ↕ ♠ F, ➤➥ Desargues ➦➧❴➝➞➟➨❝➩↕ P, Q, R ↔↕➢ ❪❲ ➒➓➫ ➭ QR×AB = P 0 , EF × BC = S. ➯ ➲ (B, A, P0 , E) (R) ∧ (C, D, Q, E), (C, D, Q, E) (B) ∧ (S, F, M, E), (S, F, M, E) (C) ∧ (B, A, P, E). ➳❥ ❴ (B, A, P0 , E)∧(B, A, P, E), ❡ P = P 0 . ➵⑤ P, Q, R ↔↕➢ ❪❲ ➒➓➸ ➺➻➏➌➄ P QM ➼ ADF, ➽➾➚➪➌➶➹ ➈ ➐ ➌➘ E, ➴ Desargues ➷➬❴ P Q ➮➷➱✃ R. ♦ ♣qrst➞❐❒❮❰Ï ❧ÐÑ❴ Ò➞ÓÏ❐❒Ô❰ÕÖ✈Ï ×❷♣ 16 q ❴ØÙq ÚÏ (Û Ü); ➲Ý❰⑤ÞßÒ➞ ❴àá â ãÏq❲
五、作图题已知P,PQ,Q为点列l(P)上的一个非抛物型射影变换 p的两对对应点,E为y的一个不变点,求作p的另一个不变点F.(作 图并写出作法和证明 作法一 过点E 任作异于l的直线m (2).在m上取异于E 的,相异点 (3).连PV,PV交于点 连Q 交于点 4).连P"Q”交1于 为所求 证明如图,设P"Q"xVV=F.则 (P,Q,E,F)( F, F)A(P, Q,E, F) 所以 (P,Q, E, F)A(P,Q,E, F) 从而F是射影变换的另一个不变点 作法二(1)过点 任作异于l的直线m. (2).在m上取异于E 的,相异点 (3).连PV,PV交于 点、P";连QV,QV交于点 (4).连P"Q"交l于F为所求 证明如图,设PQ"xVV=F.则 (P,Q,E, F)A(P, Q",F, F);(P, Q", F, F)A(P, Q,E, F) 所以 (P,Q, E, F)A(P,Q,E, F) 从而F是射影变换的另一个不变点 注评分建议:作法与作图占10分(文字、,图各一半),中明占 分.(作法一、二不属于不同解法)
4 ä ❻åæç❲èé P, P0 ; Q, Q0 ➆➌ê l(P) ➉ ➶➋ ëìíîïðñòó ϕ ➶ô ➾➾➚➌❴ E ➆ ϕ ➶➋ ëõò ➌❴➍ö ϕ ➶ ÷ ➋ ëõò ➌ F. (ö ➀øùúöûü➎ ý❲ 16 ➑) å➓➔ (1). þ ↕ E ÿ✁♠ l ❝❭❪ m. (2). ❬ m ❫✂✁ ♠ E ❝✄ ☎✁↕ V, V 0 . (3). ➡ P V, P0V 0 ➩ ♠ ↕ P 00; ➡ QV, Q0V 0 ➩ ♠ ↕ Q00 . (4). ➡ P 00Q00 ➩ l ♠ F ❳➳❦❲ ➒✆ ✝✞❴ ➭ P 00Q00 × V V 0 = F 0 . ➯ (P, Q, E, F) (V ) ∧ (P 00, Q00, F0 , F); (P 00, Q00, F0 , F) (V 0 ) ∧ (P 0 , Q0 , E, F), ➳❥ (P, Q, E, F)∧(P 0 , Q0 , E, F). ➵⑤ F ♥✟✠✡☛ ❝ Ú☞✌ß✡↕❲ å➓➫ (1). þ ↕ E ÿ✁♠ l ❝❭❪ m. (2). ❬ m ❫✂✁ ♠ E ❝✄ ☎✁↕ V, V 0 . (3). ➡ P V, P0V 0 ➩ ♠ ↕ P 00; ➡ QV, Q0V 0 ➩ ♠ ↕ Q00 . (4). ➹ P 00Q00 ✍ l ➘ F ➆✎➍❲ ➒✆ ✝✞❴ ➭ P 00Q00 × V V 0 = F 0 . ➯ (P, Q, E, F) (V ) ∧ (P 00, Q00, F0 , F); (P 00, Q00, F0 , F) (V 0 ) ∧ (P 0 , Q0 , E, F), ➳❥ (P, Q, E, F)∧(P 0 , Q0 , E, F). ➵⑤ F ♥✟✠✡☛ ❝ Ú☞✌ß✡↕❲ ♦ ♣qrst❰➛✞✏ 10 q (✑✒❻✓✞✔☞✕), ✖✗✏ 6 q❲ (❰☞❻✘ß✙ ♠ ß Ü Ô❰)
5 六、探索题.已知射影平面上的一个图形,描述如下:1,x,,2为过 O的相异直线,S1,S2,S3,O为直线l上相异的点,过点S3的直线分别交直 线x,y于A1,B1;A2,B2;A3,B3S2与B1,B2,B3的连线分别交直线z于C1,C2,C3 连A1C1,A2C2,A3C3的直线l,l2,l3共点于S1.请根据此图至少构造出一个 几何证明题,并给出证明(提示:比如设B1,B2,B3为直线y上的动点 或设l1,l2为过点S1的动直线,…)、2分,按所构造的题目之正确 性、难度评分;按正确构造题目的个数奖励分) 构造一题目设,x,y,z为过S O的相异直线,S2,S3,O为直线l上 相异的点,B为直线y上的动点 S2B,S3B分别交z,x于C,A.求证 CA经过l上的一个定点 证明设B1B2B3为动点B的S2 三个任意位置,依题意作出A,C的 对应位置为A1,A2,A3以及C1,C2,C3 于是 S2(O,B1,B2,B3,…)下S3(O,B1,B2,B3,…) 从而 S2(O,C1,C2,C3,……)S3(O,A1,A2,A3,…) 于是 2(O,C1,C2,C3,…不r(O,A1,A2,A3,……) 注意到公共元素O自对应,所以 2(O,C1,C2,C3,…)x(O,A1,A2,A3,……) 从而l1,,l3,l共点(即图中的点S1)
5 ✚ ❻✛✜❾❲èéðñ✢✣➉ ➶➋ ë ➀➄ ❴ ✤✥❿✦t l, x, y, z ➆✃ O ➶ ✧★➇➈❴S1 , S2, S3, O ➆➇➈ l ➉ ✧★ ➶➌❴✃➌ S3 ➶➇➈➑✩✍➇ ➈x, y ➘ A1, B1; A2, B2; A3, B3; S2 ➼B1, B2, B3 ➶ ➹ ➈➑✩✍➇➈ z ➘ C1, C2, C3, ➹ A1C1, A2C2, A3C3 ➶➇➈ l1, l2, l3 ➐ ➌➘ S1. ✪✫➴✬ ➀✭✮✯✰ ú ➋ ë ✱✲➎ ý✳ ❴ ø✴ ú➎ ý (✵✶t✷❿✸ B1, B2, B3 ➆➇➈ y ➉ ➶ ✹ ➌❴ · · · ✺ ✸ l1, l2, l3 ➆✃➌ S1 ➶ ✹ ➇➈❴ · · ·).(22 ➑❴✻✎✯✰ ➶ ✳ ✼✽✾✿ ❀ ❻❁❂❃➑ ④ ✻ ✾✿✯✰✳ ✼ ➶ ë❄❅❆➑) ❇❈➔ ❾ ❉ ➭ l, x, y, z ❳ þ O ❝ ☎✁ ❭ ❪ ❴ S2 , S3, O ❳ ❭ ❪ l ❫ ☎✁ ❝ ↕ ❴B ❳ ❭ ❪ y ❫❝❣↕ ❴ S2B, S3B q❊➩ z, x ♠ C, A. ❦ ✖ t CA ❋þ l ❫❝☞✌➦ ↕❲ ❼❽ ➭ B1, B2, B3 ❳❣↕ B ❝ ↔✌ÿ●❍■❴ ❏❷● ❧ A, C ❝ ➞➟❍■❳ A1, A2, A3 ❥❑ C1, C2, C3. ♠ ♥ S2(O, B1, B2, B3, · · ·)∧S3(O, B1, B2, B3, · · ·), ➵⑤ S2(O, C1, C2, C3, · · ·)∧S3(O, A1, A2, A3, · · ·). ♠ ♥ z(O, C1, C2, C3, · · ·)∧x(O, A1, A2, A3, · · ·). ▲●▼◆ ➢❖P O ◗ ➞➟❴ ➳❥ z(O, C1, C2, C3, · · ·)∧x(O, A1, A2, A3, · · ·). ➵⑤ l1, l2, l3, l ➢ ↕ (❡ ✞❘❝ ↕ S1)
构造二题目设l,x,z为过O 的相异直线,S1,S2,S3,O为直线l上 相异的点,l为过点S3的动直线,S l1分别交z,x于C,A,S3A与S2C相交 于B.求证:B的轨迹为过O的 条定直线 证明设l1,l2,l3为动直线l1的 三个任意位置,依题意作出AC的52 对应位置为A1,A2,A3以及C1,C2,C3 于是 2(O,C1,C2,C3,…)x(O,A1,A2,A3,……) 从而 S2(O,C1,C2,C3,…万S3(O,A1,A2,A3,……) 注意到公共元素S2O与530自对 应,所以 S3(O,C1,C2,C3,…)Sa(O,A1,A2,A3,…) 于是其对应直线的交点B的轨迹为一条直线弘.又因为.l1、动到与 重合时,B即与O重合,所以y在定经过点O
6 ❇❈➫ ❾ ❉ ➭ l, x, z ❳ þ O ❝ ☎✁ ❭ ❪ ❴S1 , S2, S3, O ❳ ❭ ❪ l ❫ ☎✁ ❝ ↕ ❴li ❳ þ ↕ S3 ❝❣ ❭ ❪ ❴ li q❊➩ z, x ♠ C, A, S3A ➛ S2C ☎➩ ♠ B. ❦ ✖ t B ❝ ❙❚❳ þ O ❝☞ ❯ ➦❭❪❲ ❼❽ ➭ l1, l2, l3 ❳❣ ❭ ❪ li ❝ ↔✌ÿ●❍■❴ ❏❷● ❧ A, C ❝ ➞➟❍■❳ A1, A2, A3 ❥❑ C1, C2, C3. ♠ ♥ z(O, C1, C2, C3, · · ·)∧x(O, A1, A2, A3, · · ·). ➵⑤ S2(O, C1, C2, C3, · · ·)∧S3(O, A1, A2, A3, · · ·), ▲● ▼◆ ➢❖ P S2O ➛ S3O ◗ ➞ ➟ ❴ ➳❥ S3(O, C1, C2, C3, · · ·)∧S3(O, A1, A2, A3, · · ·). ♠ ♥➝➞➟❭ ❪ ❝➩↕ B ❝ ❙❚❳☞❯ ❭ ❪ y. ❱➜ ❳❲ li ❳ ❣▼➛ l ❨❩Ó ❴ B ❡ ➛ O ❨❩❴ ➳❥ y ❬➦❋þ ↕ O
构造三题目设1,x,z为过O 的相异直线,S1,S2,O为直线1上相 异的点,l为过平面上一点、S3的 动直线,1分别交z,x于C,A,S3A 与S2C相交于B.求证:S3为1上的 定点的充要条件是B的轨迹为过O 的一条定直线y 证明“→”设l1,l2,l2为动 直线l的三个任意位置,依题意作 出AC的对应位置为A1,A243以及0 C1,C2,C3.于是 z(O,C1,C2,C3,…)x(O,A1,A2,A3,……) 从而 S2(O,C1,C2,C3,……)S3(O,A1,A2,A3,…) 注意到公共元素S2O与S30自对应,所以 S3(O,C1,C2,C3,……)S3(O,A1,A2,A3,…) 于是其对应直线的交点B的轨迹为一条直线y.又因为当l运动到与 重合时,B即与O重合,所以y必定经过点O 设B1,B2B3为动点B的三个任意位置,依题意作出A,C的 对应位置为A1,A2,A3以及C,C2,C3.于是 S2(O,B1,B2,B3,…)S3(O,B1,B2,B3,…), 从而 S2(O,C1,C2,C3,…)S3(O,A1,A2,A3,……) 于是 (O,C1,C2,C3,……)r(O,A1,A2,A3,…) 注意到公共元素O自对应,所以 O,C1,C2,C3,…)xx(O,A1,A2,A3,…) 从而,l2,l3,共点(即图中的点、S1) 注1上述的证明均可以使用 Desargues定理
7 ❇❈➸ ❾ ❉ ➭ l, x, z ❳ þ O ❝ ☎✁ ❭ ❪ ❴S1, S2, O ❳ ❭ ❪ l ❫ ☎ ✁ ❝ ↕ ❴ li ❳ þ❭❪❫☞↕ S3 ❝ ❣ ❭ ❪ ❴ li q❊➩ z, x ♠ C, A, S3A ➛ S2C ☎➩ ♠ B. ❦ ✖ t S3 ❳ l ❫❝ ➦ ↕ ❝❫❛❯❴♥ B ❝ ❙❚❳ þ O ❝☞❯ ➦❭❪ y. ❼ ❽ ❵=⇒ ❛ ➭ l1, l2, l3 ❳❣ ❭ ❪ li ❝ ↔✌ÿ●❍■❴ ❏❷● ❧ A, C ❝ ➞➟❍■❳ A1, A2, A3 ❥❑ C1, C2, C3. ♠ ♥ z(O, C1, C2, C3, · · ·)∧x(O, A1, A2, A3, · · ·). ➵⑤ S2(O, C1, C2, C3, · · ·)∧S3(O, A1, A2, A3, · · ·), ▲●▼◆ ➢❖P S2O ➛ S3O ◗ ➞➟❴ ➳❥ S3(O, C1, C2, C3, · · ·)∧S3(O, A1, A2, A3, · · ·). ♠ ♥➝➞➟❭ ❪ ❝➩↕ B ❝ ❙❚❳☞❯ ❭ ❪ y. ❱➜ ❳❲ li ❳ ❣▼➛ l ❨❩Ó ❴ B ❡ ➛ O ❨❩❴ ➳❥ y ❬➦❋þ ↕ O. ❵⇐= ❛ ➭ B1, B2, B3 ❳❣↕ B ❝ ↔✌ÿ●❍■❴ ❏❷● ❧ A, C ❝ ➞➟❍■❳ A1, A2, A3 ❥❑ C1, C2, C3. ♠ ♥ S2(O, B1, B2, B3, · · ·)∧S3(O, B1, B2, B3, · · ·), ➵⑤ S2(O, C1, C2, C3, · · ·)∧S3(O, A1, A2, A3, · · ·). ♠ ♥ z(O, C1, C2, C3, · · ·)∧x(O, A1, A2, A3, · · ·). ▲●▼◆ ➢❖P O ◗ ➞➟❴ ➳❥ z(O, C1, C2, C3, · · ·)∧x(O, A1, A2, A3, · · ·). ➵⑤ l1, l2, l3, l ➢ ↕ (❡ ✞❘❝ ↕ S1). ♦ 1 ❫❜❝✖✗❝❢❥❨❞ Desargues ➦➧❲
注2评分建议:如果构造三为满分,则构造一、二可以得16-18分 其他构造比如简单地构造一个 Desargues定理的应用题,就只能得12分 左右.如果仅的正确杓造而没的证明,则得分不超过相应枃造的一半 注3(以后)题目的图形描述也可以改为:一个变动的三点形ABC 在其运动过程中,其三个顶点A,B,C分别在共点于O的三条定直线x,,z 上,其三条边CA,BC,AB分别经过过O的另一条定直线l上的三个定点 s1,sS2,S3,这样题目的难度就可能被加大了
8 ♦ 2 ♣qrst✝❡❢❣↔❳③q ❴➯ ❢❣☞❻✘❢❥❩ 16-18 q❲ ➝❤❢❣✐✝ ❥❦❧❢❣☞✌ Desargues ➦➧❝➟❞❷ ❴♠❵♥❩ 12 q ♦♣❲✝❡q➲✉✇❢❣⑤r➲ ✖✗❴➯❩qßs þ ☎➟❢❣❝☞✕❲ ♦ 3 (❥❤ ) ❷ t ❝ ✞➙✉ ❜❹❢❥❞❳t☞✌✡❣ ❝ ↔↕➙ ABC ❬ ➝ ❳ ❣ þ✈ ❘ ❴ ➝↔✌➠↕ A, B, C q❊ ❬➢↕ ♠ O ❝ ↔❯ ➦❭❪ x, y, z ❫❴➝↔❯➨ CA, BC, AB q❊ ❋þþ O ❝ Ú☞❯ ➦❭❪ l ❫❝↔✌➦ ↕ S1, S2, S3. ✇①❷ t ❝ ②③♠❢ ♥④⑤⑥ ⑦❲