第二章射影变換 本章地位 平面射影几何的核心内容之 在一维、二维射影空间以及齐 次坐标的基础上,系统学习 本章内容—维、二维射影变换及其一些特 殊情形,对一些射影性质进行 初步研究
第二章 射影变换 本章地位 平面射影几何的核心内容之一 本章内容 在一维、二维射影空间以及齐 次坐标的基础上，系统学习一 维、二维射影变换及其一些特 殊情形，对一些射影性质进行 初步研究
§2.1交比 交比一最根本的射影不变量 点列中四点的交比 1、定义 定义21.设P1,P2,P3,P4为点列P)中四点,且P1≠P2,其齐次 坐标依次为a,b,a+b,a+2b.则记(P1P2,P3P4)表示这四点构成的 个交比.定义为 (BB2,) 称P1,P2为基点对,P32P4为分点对 定理21.设点列P)中四点P的齐次坐标为a+4,b(=1,2,34)则 (P2,B3P4) (1-A3)(2-x4) (2-3)(41-4) (2.2)
§ 2.1 交比 一、点列中四点的交比 1、定义 交比 — 最根本的射影不变量 定义2.1. 设P1 , P2 , P3 , P4为点列l(P)中四点, 且P1 ≠P2，其齐次 坐标依次为a, b, a+λ1b, a+λ2b. 则记(P1P2 ,P3P4 )表示这四点构成的 一个交比. 定义为 ( , ) . 2 1 1 2 3 4 PP P P = (2.1) 称P1 , P2为基点对， P3 , P4为分点对. 定理2.1. 设点列l(P)中四点Pi的齐次坐标为a+λib(i=1,2,3,4). 则 . ( )( ) ( )( ) ( , ) 2 3 1 4 1 3 2 4 1 2 3 4 − − − − PP P P = (2.2)
§2.1交比 证明定理21以P1,P2,为基点,参数表示P3,P4设 a+41b=a’,a+2b=b 从中解出a,b,得 2-b b 于是,P1,P2,P3,P4的坐标可表示为 a bl a+ b 12-A12-112-12- b at 13-1 b. a 4-A1 12-13 12-x4 由交比的定义,有 ( .、P/=(3-4)2-4) (2.2 (2-3)41-4) 注:定理21可以作为交比的般定义
证明定理2.1. 以P1 , P2 ,为基点，参数表示P3 , P4 . 设 . ( )( ) ( )( ) ( , ) 2 3 1 4 1 3 2 4 1 2 3 4 − − − − PP P P = a+λ1b=a' , a+λ2b=b'. 从中解出a, b, 得 . ' ' , ' ' 2 1 2 1 2 1 − − = − − = b a b a b a 于是， P1 , P2 , P3 , P4的坐标可表示为 即 ' , ' , ' ' , ' ' 2 1 4 1 2 1 2 4 2 1 3 1 2 1 2 3 a b a b a b − − + − − − − + − − ' , ' , ' ' , ' '. 2 4 4 1 2 3 3 1 a b a b a b − − + − − + 由交比的定义，有 注：定理2.1可以作为交比的一般定义. (2.2) § 2.1 交比
§2.1交比 、点列中四点的交比1、定义 2、性质 (PP,PP4) (-A3)(2-x) (1)交比的初等几何意义 (2-3)41-4) 如果限于欧氏平面,则(22)式右边四个因式都是两点之间 的有向距离,即 (P2,BP4) PP3·P2P4 (23) P2P3. PP4 例1.设1,2,3,4,5,6是6个不同的有穷远共线点证明 1)(12,34)(12,45)(12,53)=1 (2)(12,34)(12,56)=(12,36(12,54) 13·2414·2515·23 (1)(12,34)(12,45)(12,53)= 23.1424.152513 13·2415·2613.2615·24 (2)(12,34)(12,56) (12,36)(12,54 23.14251623.1625·14
一、点列中四点的交比 1、定义 ( , ) . 2 3 1 4 1 3 2 4 1 2 3 4 P P PP PP P P PP P P = 2、性质 (1). 交比的初等几何意义 如果限于欧氏平面，则(2.2)式右边四个因式都是两点之间 的有向距离，即 (2.3) ( )( ) ( )( ) ( , ) 2 3 1 4 1 3 2 4 1 2 3 4 − − − − PP P P = § 2.1 交比 例1. 设1,2,3,4,5,6是6个不同的有穷远共线点. 证明 (1) (12,34)(12,45)(12,53)=1; (2) (12,34)(12,56)=(12,36)(12,54). 13 24 14 25 15 23 (1) (12,34)(12,45)(12,53) 1. 23 14 24 15 25 13 = = 13 24 15 26 13 26 15 24 (2).(12,34)(12,56) (12,36)(12,54) 23 14 25 16 23 16 25 14 = =
§2.1交比 、点列中四点的交比1、定义 2、性质(1).交比的初等几何意义(2).交比的组合性质 定理22设(P1P2,P3P4)=.当改变这四点在交比符号中的次序 时,交比值变化规律如下: (1)不变/换两对 r→)r 两对同换 换一对r→ (2)改变 换中间或首尾r→>1-r 推论由定理2.2,相异的共线四点构成的24个交比只有6个 不同的值: 此即P45,式(24)不必背诵,但是要熟练掌握变化规律!
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 (1). 交比的初等几何意义 (2). 交比的组合性质 定理2.2 设(P1P2 ,P3P4 )=r. 当改变这四点在交比符号中的次序 时，交比值变化规律如下： (1). 1 (2). 1 . r r r r r r → → → − 换两对 不变 两对同换 换一对 改变 换中间或首尾 推论 由定理2.2，相异的共线四点构成的24个交比只有6个 不同的值： . 1 , 1 1 ; 1 , 1 , 1 1 , − − − − r r r r r r r 此即P.45, 式(2.4). 不必背诵，但是要熟练掌握变化规律！ § 2.1 交比
§2.1交比 、点列中四点的交比1、定义2、性质 3、特殊情况 定理23共线四点的交比值出现0,1,∞三者之一分这四点中有 某二点相同 证明可根据定理2.1,令P=P2或P2=P3或P3=P4或P4=P进行验 证即可.此时,上述6个不同的交比值又只有3组:0,1,∞ 4、调和比 点组P1P2P3P4为调和点组(列) 定义若(PP2P3P4)=-1,则称 点偶P1P2,与P3,P4(相互)调和分离 点偶P1P2,与P3,P4(相互)调和共轭 点P4为P1P2P3的第四调和点 推论1若(P1P2P3P4)=-1,则此四点互异 推论2相异四点P1,P2,P32P4可按某次序构成调和比兮这四点 的6个交比值只有3个: 2
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况 定理2.3 共线四点的交比值出现0, 1, ∞三者之一这四点中有 某二点相同. 证明 可根据定理2.1，令P1 =P2或P2 =P3或P3 =P4或P4 = P1进行验 证即可. 此时, 上述6个不同的交比值又只有3组：0, 1, ∞. 4、调和比 定义 若(P1P2 ,P3P4 )= –1, 则称 推论1 若(P1P2 ,P3P4 )= –1, 则此四点互异. 推论2 相异四点P1 , P2 , P3 , P4可按某次序构成调和比这四点 的6个交比值只有3个： , 2. 2 1 −1, § 2.1 交比 点组P1 ,P2 ,P3 ,P4为调和点组(列) 点偶P1 ,P2 ,与P3 ,P4 (相互)调和分离 点偶P1 ,P2 ,与P3 ,P4 (相互)调和共轭 点P4为P1 ,P2 ,P3的第四调和点
§2.1交比 、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况 4、调和比调和比是最重要的交比! 对于(P1P2P3P4)=-1,利用初等几何意义,我们有 (P2P3F)= PP3 P2P4 PPPP 此时,若P4=P2,则可合理地认为 PP∞ =1.于是B PP 这表示P3为PP2的中点,从而有 推论3设P1,P2,P为共线的通常点P为此直线上的无穷远 点则P为P1P2的中点令(PP2,PB)=-1 注:本推论建立了线段的中点、调和比、直线的平行性间的联系
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况 4、调和比 调和比是最重要的交比！ 对于(P1P2 ,P3P4 )= –1, 利用初等几何意义，我们有 ( , ) 1. 1 4 2 4 2 3 1 3 1 2 3 4 = = − PP P P P P PP PP P P 此时, 若 , P4 = P 则可合理地认为 1. 1 2 = = PP P P 于是 1. 2 3 1 3 = − P P PP 这表示P3为P1P2的中点，从而有 推论3 设P1 , P2 , P为共线的通常点. P∞为此直线上的无穷远 点.则P为P1P2的中点 ( , ) 1. P1 P2 PP = − 注：本推论建立了线段的中点、调和比、直线的平行性间的联系 § 2.1 交比
§2.1交比 、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况 4、调和比 例2设1,2,3,4,5,6是6个不同的共线点证明:若(12,34)=(14,32), 则(13,24)1 (234)=r(14,32)=由题设r=”口r2=2 r-1 已知四点相异→r≠0=今r=2→(13,24)=1-r=-1
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况 4、调和比 § 2.1 交比 例2. 设1,2,3,4,5,6是6个不同的共线点. 证明：若(12,34)=(14,32), 则(13,24)=-1. (12,34) = r (14,32) 1 r r = − 由题设 1 r r r = − 2 r r = 2 已知四点相异 r 0 r = 2 (13,24) 1 1. = − = − r
§2.1交比 、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况 4、调和比 5、交比的计算 此步不可省!若不共线则交比无定义! ).由坐标求交比 例3已知P1(3,1,1),P2(75,1),Q64,1),Q2(9,7)求(P1P2Q1Q2) 解第一步.验证四点共线 第二步.以P1P2为基点,参数表示Q1,Q2令 Pe=P+nP2 12 对于i=1,利用P17例1.3,有A1=3.同理,对于2,可求得2=-3 于是, (P2Q2)
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况 4、调和比 5、交比的计算 (1). 由坐标求交比 例3 已知P1 (3,1,1), P2 (7,5,1), Q1 (6,4,1), Q2 (9,7,1). 求(P1 P2 , Q1Q2 ). 解 第一步. 验证四点共线. 第二步. 以P1 , P2为基点, 参数表示Q1 , Q2 . 令 . i Qi = P1 + i P2 i=1,2. 对于i=1, 利用P.17例1.3, 有 3. 1 = 同理, 对于i=2, 可求得 3. 2 = − 于是， ( , ) 1. 2 1 1 2 1 2 = = − PP Q Q § 2.1 交比 此步不可省！若不共线则交比无定义！
§2.1交比 、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况 4、调和比5、交比的计算(1)由坐标求交比 (2)由交比求坐标 定理24设P∈l(P)(i=12,34)并已知 (P2,BP4)=k (k≠0,,∞) 和其中三点的坐标.则第四点的坐标可唯一确定 例4已知(PP2P3P4)=2,P1,P2,P4的坐标依次为(1,1,1),(1-1,1) (1.0,1)求P3的坐标 解:设P3=P+P2,P=P+2P则显然2=1,由 (PP, PP) 可得A=2,从而P3的坐标为(3,-13)
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况 4、调和比 5、交比的计算 (1). 由坐标求交比 (2). 由交比求坐标 定理2.4 设 P l(P) (i =1,2,3,4), i 并已知 ( , ) ( 0,1, ). P1 P2 P3 P4 = k k 和其中三点的坐标. 则第四点的坐标可唯一确定. 例4 已知(P1P2 ,P3P4 )=2, P1 , P2 , P4的坐标依次为(1,1,1), (1,–1,1), (1,0,1). 求P3的坐标. 解：设 , . P3 = P1 +1 P2 P4 = P1 +2 P2 则显然 1, 2 = 由 2. 1 ( , ) 1 2 1 1 2 3 4 = = = PP P P 可得 2, 1 = 从而P3的坐标为(3,–1,3). § 2.1 交比
