§2.5一维基本形的对合 定义二、代数表示三、确定对合的条件 四、对合不变元素
§ 2.5 一维基本形的对合 一、定义 二、代数表示 三、确定对合的条件 四、对合不变元素
§2.5一维基本形的对合 五、 Desargues对合定理 定理225( Desargues对合定理)不过顶点的任一直线截完全四 点形的三双对边于同一对合的三对对应点 如图,P,P,Q,Q,R,R属于同一对合 注:由于对合的特性,图中在同一组对 D 边上带“′”和不带“的字母可以任意标 注证明利用几何条件,只要证 (PP, OR)-(PP, OR) PP PP PP PP (P, P,0, R)B(XP,D,C (P,!R, 0) CD (P, P,O,R)(P, P,R,Q) (PP, OR)=(PP,R2)=(PP, OR)
§ 2.5 一维基本形的对合 五、Desargues对合定理 定理2.25 (Desargues对合定理)不过顶点的任一直线截完全四 点形的三双对边于同一对合的三对对应点. 如图, P, P'; Q, Q'; R, R'属于同一对合. 注：由于对合的特性, 图中在同一组对 边上带“' ”和不带“' ”的字母可以任意标 注.证明. 利用几何条件, 只要证 (PP', QR) = (P'P, Q'R') ' 3 ' 1 2 ' 2 3 1 ' 1 1 PP , P P P P, P P (P, P', Q, R) (B) (X, P', D, C) (A) (P, P', R', Q') (P, P', Q, R) (P, P', R', Q') (PP', QR) = (PP', R'Q') = (P'P, Q'R') l CD l
§2.5一维基本形的对合 五、 Desargues对合定理 定理225( Desargues对合定理)不过顶点的任一直线截完全四 点形的三双对边于同一对合的三对对应点 如图,P,P,Q,Q,R,R属于同一对合 注:由于对合的特性,图中在同一组对 边上带“'”和不带“"的字母可以任意标 汪 注:请写出本定理的对偶命题
§ 2.5 一维基本形的对合 五、Desargues对合定理 定理2.25 (Desargues对合定理)不过顶点的任一直线截完全四 点形的三双对边于同一对合的三对对应点. 如图, P, P'; Q, Q'; R, R'属于同一对合. 注：由于对合的特性, 图中在同一组对 边上带“' ”和不带“' ”的字母可以任意标 注. 注：请写出本定理的对偶命题
§2.5一维基本形的对合 五、 Desargues对合定理 例4如图,已知P,P,Q,Q为点列P)上对合的两对相异的对应 点,R为P)上的另外一点.求作R在此对合下的对应点R 解:作图步骤思考过程(共需作6条 直线,设计次序确定R 注:已知点列lP)上对合的两个不 变点X,Y求作任一点R的对应点R 即求作第四调和元素 注:若未指定R,则当A在平面上 变动时,可得到(P)上以X,Y为不变 元素的任意多的对应点偶
§ 2.5 一维基本形的对合 五、Desargues对合定理 例4 如图, 已知P, P'; Q, Q'为点列l(P)上对合的两对相异的对应 点, R为l(P)上的另外一点. 求作R在此对合下的对应点R'. 解：作图步骤思考过程(共需作6条 直线, 设计次序确定R'). 注：已知点列l(P)上对合的两个不 变点X, Y. 求作任一点R的对应点R'. 即求作第四调和元素. 注：若未指定R, 则当A在平面上 变动时, 可得到l(P)上以X, Y为不变 元素的任意多的对应点偶
§2.5一维基本形的对合 例5(P79,EX.5)设A,B,C,D是共线点且(AB,DP)=(AB,PC)求 证:P有两种可能位置且与A,B调和共轭 证明.因为 (AB, DP)=(AB, PC)L> (AB, DP)=(BA, CP) PP,PP3 PP,P2P3 所以,P为A→BC→D所确定的对合中的不变点.设此对合的另 个不变点为P,则P也满足条件(AB,DP)=(AB,PC 于是,P有两种可能位置P,P为A→B:C→D所确定的对合中的 不变点满足(AB,PP)=
§ 2.5 一维基本形的对合 例5 (P.79, Ex. 5)设A, B, C, D是共线点且(AB, DP)=(AB, PC). 求 证：P有两种可能位置且与A, B调和共轭. 证明. 因为 (AB, DP) = (AB,PC) ( , ) ( , ) AB DP BA CP = ' 3 ' 1 2 ' 2 3 1 ' 1 1 PP , P P P P, P P 所以, P为A→B; C→D所确定的对合中的不变点. 设此对合的另一 个不变点为P', 则P'也满足条件(AB, DP')=(AB, P'C). 于是, P有两种可能位置P, P'为A→B; C→D所确定的对合中的 不变点. 满足(AB, PP')=－1
§2.5一维基本形的对合 例5(P79,EX.5)设A,B,C,D是共线点且(AB,DP)=(AB,PC)求 证:P有两种可能位置且与A,B调和共轭 证明(法二)设A,B,C,D的齐次坐标依次为 b, a+b, a+nb P的齐次坐标为a+b 因为 (AB, DP)=(AB, PC) 所以 A1→2=±√ 所以P有两种可能位置为 P:a+√4b,Pa-√41b 而且 (AB, PP)
§ 2.5 一维基本形的对合 例5 (P.79, Ex. 5)设A, B, C, D是共线点且(AB, DP)=(AB, PC). 求 证：P有两种可能位置且与A, B调和共轭. 证明. (法二)设A, B, C, D的齐次坐标依次为 1 a b a b a b , , , + + P的齐次坐标为a+λb. 因为 ( , ) ( , ) AB DP AB PC = 所以 1 2 1 1 1 = = = 所以P有两种可能位置为 1 1 P a b P a b : , ': , + − 而且 1 1 ( , ') 1. AB PP = − = −
§2.5一维基本形的对合 例5(P79,EX.5)设A,B,C,D是共线点且(AB,DP)=(B,PC)求 证:P有两种可能位置且与A,B调和共轭 反思1.题设应改为:设A,B,C,D为相异的共线点 反思2.改题: 设A,B,C,D为相异的共线点,且(AB,DP)=(AB,PC)求证:P为 A→B;C→D所确定的对合中的不变点(P79,EX.6) 反思3.改题 设A,B,C,D为相异的共线点,且(AB,DP)=(AB,PC).求证:P为 A→B;CD所确定的对合中的不变点试以A,B为基元素,求出这 个对合的参数方程,并求另一个不变点P的参数
§ 2.5 一维基本形的对合 例5 (P.79, Ex. 5)设A, B, C, D是共线点且(AB, DP)=(AB, PC). 求 证：P有两种可能位置且与A, B调和共轭. 反思1. 题设应改为：设A, B, C, D为相异的共线点…… 反思2. 改题： 设A, B, C, D为相异的共线点, 且(AB, DP)=(AB, PC). 求证： P为 A→B; C→D所确定的对合中的不变点. (P.79, Ex. 6) 反思3. 改题： 设A, B, C, D为相异的共线点, 且(AB, DP)=(AB, PC). 求证： P为 A→B; C→D所确定的对合中的不变点. 试以A, B为基元素, 求出这 个对合的参数方程, 并求另一个不变点P'的参数
§2.5一维基本形的对合 例6.求证:以通常点为束心的线束中的对合必有一对对应直 线相互垂直讨论:能否有更多对对应直线相互垂直? 证明:取束心为原点建立笛氏坐标系,令λ,4为对应直线的斜 率则对合方程为 a+b(+2")+d=0 (ad-b2≠0) (1) 相互垂直的直线斜率应满足=-1,即-12,代入(1)得 b2-(a-d)4-b=0(ad-b2≠0) 显然,(ad)2+4b2三0,故(2)至少有一个实根,即对合(1)至少有 对对应直线相互垂直 讨论:如果对合(1)有两对对应直线相互垂直,令其参数分别为 λ1,-141,42,-12,则容易求出由此决定的对合方程为′=-1,从 而此时任一对对应直线都相互垂直 可题:此时,不变直线必与其自身垂直,它的斜率是什么?
§ 2.5 一维基本形的对合 例6. 求证：以通常点为束心的线束中的对合必有一对对应直 线相互垂直. 讨论：能否有更多对对应直线相互垂直？ 证明：取束心为原点建立笛氏坐标系, 令λ, λ'为对应直线的斜 率. 则对合方程为 ' ( ') 0 ( 0) (1) 2 a +b + + d = ad −b 相互垂直的直线斜率应满足λλ'= –1, 即λ'= –1/λ, 代入(1), 得 ( ) 0 ( 0) (2) 2 2 b − a − d −b = ad −b 显然, (a–d) 2+4b 2≧0, 故(2)至少有一个实根, 即对合(1)至少有一 对对应直线相互垂直. 讨论：如果对合(1)有两对对应直线相互垂直, 令其参数分别为 λ1 , –1/λ1 , λ2 , –1/λ2 , 则容易求出由此决定的对合方程为λλ' = –1, 从 而此时任一对对应直线都相互垂直. 问题：此时, 不变直线必与其自身垂直, 它的斜率是什么？
§2.5一维基本形的对合 例6.求证:以通常点为束心的线束中的对合必有一对对应直 线相互垂直讨论:能否有更多对对应直线相互垂直? 讨论:如果对合(1)有两对对应直线相互垂直,令其参数分别为 1,-1122,-12,则容易求出由此决定的对合方程为′=-1,从 而此时任一对对应直线都相互垂直 问题:此时,不变直线必与其自身垂直,它的斜率是什么? 回答:因为对合方程为 x=-1令=x得22=-1→2=±i 即两条不变直线(与自身垂直的直线)斜率分别为,.方程为 y=±ix 过任何通常点,以i为斜率的直线称为迷向直线 以截上述线束,得到l上的一个以(1,i,0),J(1,-,0)为不变点 的对合称为通常平面上的绝对对合,称l,两点为圆环点,可以证 明,欧氏平面上任何的圆均经过两个圆环点
§ 2.5 一维基本形的对合 例6. 求证：以通常点为束心的线束中的对合必有一对对应直 线相互垂直. 讨论：能否有更多对对应直线相互垂直？ 讨论：如果对合(1)有两对对应直线相互垂直, 令其参数分别为 λ1 , –1/λ1 , λ2 , –1/λ2 , 则容易求出由此决定的对合方程为λλ' = –1, 从 而此时任一对对应直线都相互垂直. 问题：此时, 不变直线必与其自身垂直, 它的斜率是什么？ 回答：因为对合方程为 ' = −1 令λ= λ' 得 2 = − = 1 i. 即两条不变直线(与自身垂直的直线)斜率分别为i, -i. 方程为 y = ix. 以l∞截上述线束, 得到l∞上的一个以I(1, i, 0), J(1, -i, 0)为不变点 的对合. 称为通常平面上的绝对对合, 称I, J两点为圆环点, 可以证 明, 欧氏平面上任何的圆均经过两个圆环点. 过任何通常点, 以i, -i为斜率的直线称为迷向直线
P72.Ex.8 O l(A,B,C2…)xl(4’,B',C'2…) 下1(A,B12C12…) l(A,B,C;)x4(A12B12C12…) 以下用 Steiner作图法作l 上的点D在上的对应点D1 BB A.B. C. D P. PP. P 0 AL.B.O D 作上述对照,完全照抄定理2.12的作图过程
P.72, Ex. 8. l(A, B,C, ) (O) l A B C ( ', ', ', ) 1 1 1 1 l A B C ( , , , ) 以下用Steiner作图法作l 上的点D在l'上的对应点D1 . A, B, C, D A1 , B1 , C1 , D1 P0 , P1 , P2 , P P'0 , P'1 , P'2 , P' l(A, B,C, ) 1 1 1 1 l A B C ( , , , ) 作上述对照, 完全照抄定理2.12的作图过程