§4.5二次点列上的射影变换 二次点列上的射影对应 与一维射影对应的桥梁 S(P)天I(P S(P)入S(P T(P)AT(P) S(P)天r(P) 交比、调和比、 Steiner作图法、透视轴 二、二次点列上的射影变换 射影轴、不变元素、分类、与 Pascal定理的关系 三、二次点列上的对合 对合轴、对合中心、几何条件、与配极 变换的关系
§ 4.5 二次点列上的射影变换 一、二次点列上的射影对应 S(P) (P) S'(P') '(P') S(P) S'(P') (P) '(P') 二、二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 与一维射影对应的桥梁 交比、调和比、Steiner作图法、透视轴…… 射影轴、不变元素、分类、与Pascal定理的关系…… 对合轴、对合中心、几何条件、与配极 变换的关系……
§4.5二次点列上的射影变换 、二次点列上的对合 例2.(P:135,EX.4) 证明.二阶曲线上对合的几何条件与点列上对合的形式完全相 同,照抄P77,§2.5,例2.14 例3.(P135,EX.5) 证明如图,过P作的弦PQ1设 AP1,Q1分别交T于P1,Q1 由定理424,在上(P,P12…)分(Q,Q12…)为对合(以P0为对合 中心) 于是,在A为束心的线束中,A(P,P1…)分A(Q,Q1,…)为对合 从而,在P上,对应(P,P,…)分(,Q12…)为对合 由上述对合可知,其对应点的连线PQ,P1Q1必定共点于对合 中
§ 4.5 二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 例2. (P.135, Ex. 4) 证明. 二阶曲线上对合的几何条件与点列上对合的形式完全相 同, 照抄P.77, §2.5, 例2.14. 例3. (P.135, Ex. 5) 证明. 如图, 过P0另作的弦P1Q1 , 设 AP1 , AQ1分别交'于P1 ', Q1 '. 由定理4.24, 在上(P, P1 , …)(Q, Q1 , …)为对合(以P0为对合 中心). 于是, 在A为束心的线束中, A(P, P1 , …)A(Q, Q1 , …)为对合. 从而, 在'上, 对应(P', P1 ', …)(Q', Q1 ', …)为对合. 由上述对合可知, 其对应点的连线P'Q', P1 'Q1 '必定共点于对合 中心
§4.5二次点列上的射影变换 、二次点列上的对合 例4(P135,EX.7)如图,设A,B为不在非退化二阶曲线r上的两 定点,PP,PP分别为通过A,B的两条动弦求证:T(P)4I(P) 与I(P)4IP)都是r上的对合.问r(P)I(P")是否为r上的对 证明以定点A为对合中心I(P)4r(P 为对合 以定点B为对合中心,(P)4I(P)为对 I(P)4I(P)不一定成为对合除非PP"能够经过定点
§ 4.5 二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 例4(P.135, Ex. 7) 如图, 设A,B为不在非退化二阶曲线上的两 个定点, PP', P'P''分别为通过A,B的两条动弦. 求证： (P) ↔ (P') 与(P') ↔ (P'')都是上的对合. 问(P) ↔ (P'')是否为上的对 合？ 证明 以定点A为对合中心, (P) ↔ (P') 为对合. 以定点B为对合中心, (P') ↔ (P'')为对 合. (P) ↔ (P'')不一定成为对合. 除非PP''能够经过定点
§4.5二次点列上的射影变换 、二次点列上的对合 例5(P135,EX.8)如图,设PP为过不在非退化二阶曲线r上 定点的动弦,又A,B为r上的两个定点,且Q= APXBP,R= BPxAP求 证:QR在另一条二阶曲线上 证明由PP过定点得r(P)4I(P)为对合 于是A(P,P)>B(P’P)为射影线束 而Q,R2为此二射影线束的对应直线的交 点,所以在另外一条二阶曲线上 注:由此想到: I上两定点与其上同一个动点连线,得到两个射影线束 I上两定点分别与其上射影变换的对应点连线,得到两个射影 线束
§ 4.5 二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 例5(P.135, Ex. 8) 如图, 设PP'为过不在非退化二阶曲线上一 定点的动弦, 又A,B为上的两个定点, 且Q=APBP', R=BPAP'. 求 证：Q,R在另一条二阶曲线上. 证明 由PP'过定点得(P) ↔ (P')为对合. 于是A(P,P'…) ↔B(P',P…)为射影线束. 而Q, R,…为此二射影线束的对应直线的交 点, 所以在另外一条二阶曲线上. 注：由此想到： 上两定点与其上同一个动点连线, 得到两个射影线束. 上两定点分别与其上射影变换的对应点连线, 得到两个射影 线束
§4.6二次曲线的仿射理论 二阶曲线与无穷远直线的关系 定义421对于任意的二阶曲线I,若交无穷远直线于两个 相异的实点 双曲型的 双曲线 重合的实点,则称为{抛物型的若非退化,则称为抛物线 共轭的虚点 椭圆型的 椭圆 双曲线 抛物线 椭圆
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 一、二阶曲线与无穷远直线的关系 定义4.21 对于任意的二阶曲线, 若交无穷远直线于两个 相异的实点 重合的实点 共轭的虚点 , 则称为 双曲型的 抛物型的. 椭圆型的 若非退化, 则称为 双曲线 抛物线. 椭圆 双曲线 抛物线 椭圆
§4.6二次曲线的仿射理论 二阶曲线与无穷远直线的关系 设 S≡∑anxx 秩(an)≥1 其中x为齐次仿射坐标,则x1,x2地位平等而x3特殊T与l的交点为 S=0 +2a 0 0 解出x1:x2即得交点(x1x2,0)于是,对于x1x2,有两个 相异的实根 0 双曲型的 重合的实根(42=43=0er为抛物型的 共轭的虚根 2 0 椭圆型的 由于l:x3=0为仿射不变的,因此二阶曲线与l的相交情况也是 仿射不变的,所以有下列定理 定理425对于二阶曲线r:S=0,A3的符号为仿射不变的
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 一、二阶曲线与无穷远直线的关系 设 : 0 , ( ) 1. (1) 3 , 1 = = = i j j i i j i j S ai jxi xj a a 秩 a 其中xi为齐次仿射坐标, 则x1 , x2地位平等而x3特殊. 与l∞的交点为 = = 0 0 3 x S 2 0, 2 12 1 2 22 2 2 a11x1 + a x x + a x = 解出x1 :x2即得交点(x1 ,x2 ,0). 于是,对于x1 :x2 , 有两个 相异的实根 重合的实根 共轭的虚根 = = 0 0 0 33 12 22 11 12 A a a a a 为 双曲型的 抛物型的. 椭圆型的 定理4.25 对于二阶曲线 : S=0, A33的符号为仿射不变的. 由于l∞： x3=0为仿射不变的, 因此二阶曲线与l∞的相交情况也是 仿射不变的, 所以有下列定理
§4.6二次曲线的仿射理论 二阶曲线与无穷远直线的关系 二、二阶曲线的中心本节以下总设所论二阶曲线非退化 1.定义 定义422关于的极点C称为的中心 2.性质 CB (1)通常点C为的中心分C为的对称中心 (即C为过C的弦的中点 证明设p为过C的直线,交于A,B,交l于P据中心的定义,C 为中心冷(AB,CP2)=-1分C为AB的中点从而 仿射定义 B,CP)解几定义 (2)双曲线,椭圆的中心为有穷远点;抛物线的中心为无穷远点 线}有心三阶曲线兮4≠0抛物线无心阶曲线台4=0
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 一、二阶曲线与无穷远直线的关系 二、二阶曲线的中心 本节以下总设所论二阶曲线非退化. 定义4.22 l关于的极点C称为的中心. 1. 定义 2. 性质 (1). 通常点C为的中心C为的对称中心 (即C为过C的弦的中点). 证明 设p为过C的直线, 交于A,B, 交l于P. 据中心的定义, C 为中心(AB, CP)= –1C为AB的中点. 从而 仿射定义 解几定义 (AB, CP)= –1 (2). 双曲线, 椭圆的中心为有穷远点；抛物线的中心为无穷远点. 双曲线 椭圆 有心二阶曲线 0. A33 抛物线 无心二阶曲线 0. A33 =
§4.6二次曲线的仿射理论 二、二阶曲线的中心 1.定义2.性质3.中心坐标 因为中心C为l的极点,设C(c1,C2,C3)则中心方程组为 13 12 23 13C aS a1C1+a12C2+a13C3=0 ax 2C1+a2C2+a23c3=0 aS 0 C 32 于是,中心坐标为: 有心二阶曲线:(A31A32,A3) 无心二阶曲线:(431A32,0)即(a12,-a1,0)或(a2-a12,0)
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 二、二阶曲线的中心 1. 定义 2. 性质 3. 中心坐标 因为中心C为l的极点, 设C(c1 ,c2 ,c3 ). 则中心方程组为 . 1 0 0 3 2 1 13 23 33 12 22 23 11 12 13 = c c c a a a a a a a a a + + = + + = 0 0 12 1 22 2 23 3 11 1 12 2 13 3 a c a c a c a c a c a c = = 0 0 2 1 C C x S x S : : : : . 1 2 3 A31 A32 A33 c c c = 于是, 中心坐标为： 有心二阶曲线：(A31, A32, A33). 无心二阶曲线：(A31, A32, 0). 即(a12, –a11, 0)或(a22, –a12, 0)
§4.6二次曲线的仿射理论 直径与共轭直径 1.定义 (1).直径(X,ZP)=-1 仿射定义 >解几定义 无穷远点P的有穷组平行弦中点的 远极线过中心的通常轨迹 直线) 1不是任何二阶曲线的直径! (2)共轭直径 (XY,ZP0)=-1 仿射定义 解几定义 直径AB的共轭直 直径AB的共轭直径 径为AB上无穷远点P为平行于AB的弦的中 的极线EF(相互通过对点轨迹EF 1 方极点的两直径) (3)共轭方向:与一对共轭直径平行的方向
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 三、直径与共轭直径 1. 定义 (1). 直径 仿射定义 解几定义 无穷远点P的有穷 远极线(过中心的通常 直线). 一组平行弦中点的 轨迹. (XY, ZP)= –1 (2). 共轭直径 直径AB的共轭直 径为AB上无穷远点P 的极线EF(相互通过对 方极点的两直径). 直径AB的共轭直径 为平行于AB的弦的中 点轨迹EF. (XY, ZP)= –1 仿射定义 解几定义 (3). 共轭方向：与一对共轭直径平行的方向. l不是任何二阶曲线的直径！
§4.6二次曲线的仿射理论 直径与共轭直径 Q 1.定义2.性质 (1)有心二阶曲线r (i)r的任一对共轭直径与一起,构成 CAB (i)的每一直径平分与其共轭直径平行的弦,多 T的一个自极三点形 且平行于共轭直径与交点处的两切线 (2)抛物线r (i)r的直径相互平行(注:l不是抛物线的直径 (i)r的任一直径的极点为其与r有穷远交点 处切线上的无穷远点 (i)r的任一直径平分其与r有穷远交点处切线 平行的弦(XY,ZP)=-1 (iV)抛物线没有共轭直径,将被一直径平分的弦的方向称为该 直径的共轭方向
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 三、直径与共轭直径 1. 定义 2. 性质 (1). 有心二阶曲线 (i) 的任一对共轭直径与l一起, 构成 的一个自极三点形. (ii) 的每一直径平分与其共轭直径平行的弦, 且平行于共轭直径与交点处的两切线. (2). 抛物线 (i) 的直径相互平行(注： l不是抛物线的直径). (ii) 的任一直径的极点为其与有穷远交点 处切线上的无穷远点. (iii) 的任一直径平分其与有穷远交点处切线 平行的弦. (XY, ZP)= –1. (iv) 抛物线没有共轭直径, 将被一直径平分的弦的方向称为该 直径的共轭方向