第三章变换群与几何学 、二维射影变换的特例 1、仿射变换 保持l:x3=0不变的射影变换叫做射影仿射变换,形如 x1=a1x1+a12x2+a1 2=a21x1+c22x2+a23x3 343≠0,p≠0 (3.2) x 作用于射影仿射平面(拓广平面上) 将(3.2)式化为非齐次,去掉无穷远直线,得仿射变换 x+b,y+ ≠0 ly=a2 x+by+c2 lAE 33) 作用于一般仿射平面上 若(3.3)中矩阵A为正交阵,则为正交变换,其齐次坐标表达式 称为射影正交变换 、群与变换群
第三章 变换群与几何学 一、二维射影变换的特例 1、仿射变换 保持l∞：x3=0不变的射影变换叫做射影仿射变换, 形如 0, 0 (3.2) 3 3 3 3 3 3 3 ' 3 2 1 1 2 2 2 2 3 3 ' 2 1 1 1 1 2 2 1 3 3 ' 1 = = + + = + + a A x a x x a x a x a x x a x a x a x 作用于射影仿射平面(拓广平面上). 将(3.2)式化为非齐次, 去掉无穷远直线, 得仿射变换 | | 0 (3.3) ' ' 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 = = + + = + + a b a b A y a x b y c x a x b y c 作用于一般仿射平面上. 若(3.3)中矩阵A为正交阵, 则为正交变换, 其齐次坐标表达式 称为射影正交变换. 二、群与变换群
第三章变换群与几何学 平面上的几个变换群 射K={平面上全体射影变换} 射影变换群K 平K={平面上全体射影仿射变换}—射影仿射变换群K 面 KM={平面上全体射影正交变换}—射影正交变换群KM 仿4={平面上全体仿射变换}——仿射变换群4 射 面M{平面上全体正交变换}—正交变换群M 上述5个变换群之间显然有下列关系 K→KA→KM在射影平面P上 A→M在仿射平面PA上
第三章 变换群与几何学 三、平面上的几个变换群 K={平面上全体射影变换} KA={平面上全体射影仿射变换} KM={平面上全体射影正交变换} A={平面上全体仿射变换} M={平面上全体正交变换} 射 影 平 面 仿 射 平 面 射影变换群K 射影仿射变换群KA 射影正交变换群KM 仿射变换群A 正交变换群M 上述5个变换群之间显然有下列关系： K KA KM A M 在射影平面P上 在仿射平面PA上
第三章变换群与几何学 四、 Klein变换群观点 定义36设S为一个非空集合,G为S上的一个变换群称S为空 间,S的元素称为点,S的子集称为图形,G称为空间S的主变换群 研究空间S中图形所决定的在G的每一个元素的作用下保持不变 的性质(不变性)和数量(不变量)的科学称为一门几何学(S,O) S的子集(图形)在G下被分成 若干等价类,属于同一等价类的 图形具有相同的G性质(G给S赋 予空间结构) 几何学(SG) 注:显然,在S上给定不同的变换群G,则得到不同的几何学
第三章 变换群与几何学 四、Klein变换群观点 定义3.6 设S为一个非空集合, G为S上的一个变换群.称S为空 间, S的元素称为点, S的子集称为图形, G称为空间S的主变换群. 研究空间S中图形所决定的在G的每一个元素的作用下保持不变 的性质(不变性)和数量(不变量)的科学称为一门几何学(S,G). S G S的子集(图形)在G下被分成 若干等价类, 属于同一等价类的 图形具有相同的G性质(G给S赋 予空间结构) 注：显然, 在S上给定不同的变换群G, 则得到不同的几何学. 几何学(S, G)
第三章变换群与几何学 四、 Klein变换群观点 定义37如果(SG)为一个几何学,H为G的子群则称几何学 (SH为几何学(SG)的一个绝对子几何学,简称子几何学 GH 几何学(SG) S 子几何学(S,H 设∑地0为S的子集,H为G的子群,且对任意的g∈H,都有 g(Σ)Σ,又H为Σ上的一个变换群,且H≌H.则称(CΣ,H)为(SG) 的一个以(S,H为伴随绝对子几何学的相对子几何学,并称B=SΣ 为的绝对形 例如:PA=P\lncP,A=K4cK;V∈K4,x(P\l)=P\lm G 几何学(SG) S H 子几何学(S,H H ∑ 相对子几何学(Σ,H)
第三章 变换群与几何学 四、Klein变换群观点 设Σ≠Ø 为S的子集, H为G的子群, 且对任意的g∈H, 都有 g(Σ)=Σ , 又HΣ为Σ上的一个变换群, 且HΣ≌H. 则称(Σ, HΣ )为(S,G) 的一个以(S,H)为伴随绝对子几何学的相对子几何学, 并称B=S\Σ 为的绝对形. 定义3.7 如果(S,G)为一个几何学, H为G的子群. 则称几何学 (S,H)为几何学(S,G)的一个绝对子几何学, 简称子几何学. H G S 几何学(S,G) 子几何学(S,H) H G 几何学(S,G) 子几何学(S,H) HΣ S Σ 相对子几何学(Σ, HΣ ) 例如: PA P l P A KA K KA P l P l \ , ; , ( \ ) \ . = =
第三章变换群与几何学 四、 Klein变换群观点 射影几何 射影仿射几何 射影欧氏几何 P K (P, KA (P, KM) (PA,A (PA,M 仿射几何→「欧氏几何 →绝对子几何关系 K→KA→KM 相对子几何关系 伴随关系 变换群关系 A→M 绝对形:L=P\PA
第三章 变换群与几何学 四、Klein变换群观点 射影几何 (P,K) 射影仿射几何 (P,KA) 射影欧氏几何 (P,KM ) 仿射几何 欧氏几何 (PA, A) (PA,M ) 绝对子几何关系 相对子几何关系 伴随关系 绝对形： l∞=P\PA. K KA KM A M 变换群关系
第三章变换群与几何学 五、几种几何学的比较 、射影几何学 空间射影平面P 主变换群射影变换群K 研究内容 图形在射影变换下 的不变性质和数量 基本射影不变性 同素性,关联性 交比 在射影平面上做演绎推理、对偶变换 其余所有射影不变性
第三章 变换群与几何学 五、几种几何学的比较 1、射影几何学 空间 射影平面P 主变换群 射影变换群K 研究内容 图形在射影变换下 的不变性质和数量 同素性, 关联性 交比 其余所有射影不变性 在射影平面上做演绎推理、对偶变换 基本射影不变性
第三章变换群与几何学 五、几种几何学的比较 2、仿射几何学 空间射影仿射平面P 射影仿射几何学主变换群射影仿射变换群K4 可用对偶原则 研究内容图形在射影仿射变换 下的不变性质和数量 空间仿射平面PA 仿射几何学 主变换群仿射变换群A 不可用对偶原则研究内容图形在仿射变换下 的不变性质和数量 注:通常也直接将仿射几何学作为射影几何学的子几何学
第三章 变换群与几何学 五、几种几何学的比较 2、仿射几何学 空间 射影仿射平面P 主变换群 射影仿射变换群KA 研究内容 图形在射影仿射变换 下的不变性质和数量 注：通常也直接将仿射几何学作为射影几何学的子几何学. 射影仿射几何学 空间 仿射平面PA 主变换群 仿射变换群A 研究内容 图形在仿射变换下 的不变性质和数量 仿射几何学 可用对偶原则 不可用对偶原则
第三章变换群与几何学 五、几种几何学的比较 2、仿射几何学 空间 仿射平面PA 主变换群仿射变换群A 仿射几何学 研究内容图形在仿射变换下 的不变性质和数量 绝对形无穷远直线 仿射几何—射影几何的以射影仿射几何为伴随子几何的 相对子几何学仿射几何—首先包括射影几何的所有研究内容 定理3.10仿射变换保持平行性不变. 注:平行性是最基本的仿射不变性
第三章 变换群与几何学 五、几种几何学的比较 2、仿射几何学 空间 仿射平面PA 主变换群 仿射变换群A 研究内容 图形在仿射变换下 的不变性质和数量 仿射几何学 绝对形 无穷远直线 仿射几何——射影几何的以射影仿射几何为伴随子几何的 相对子几何学. 仿射几何——首先包括射影几何的所有研究内容. 定理3.10 仿射变换保持平行性不变. 注：平行性是最基本的仿射不变性
第三章变换群与几何学 五、几种几何学的比较 2、仿射几何学 定义3.8设P1,P2为通常直线上的两个相异的点,P为该直线上 任一通常点.定义 PP (P2P) (36) PP 为P1,P2,P的简单比,或称单比称P1,P2为基点,P为分点 由(P1P2P)=(P1P2PP)立即可见 定理3.11单比是仿射不变量 注:单比是最基本的仿射不变量 平行性平行线段的比,两三角形面积之比 仿射不变性 线段的中点,三角形的重心,梯形, 单比平行四边形
第三章 变换群与几何学 五、几种几何学的比较 2、仿射几何学 定义3.8 设P1 , P2为通常直线上的两个相异的点, P为该直线上 任一通常点. 定义 注：单比是最基本的仿射不变量. ( ) (3.6) 2 1 1 2 P P PP PP P = 为P1 , P2 , P的简单比, 或称单比. 称P1 , P2为基点, P为分点. 由(P1P2P)=(P1P2 , PP∞)立即可见 定理3.11 单比是仿射不变量. 仿射不变性 平行性 单比 平行线段的比, 两三角形面积之比, 线段的中点, 三角形的重心, 梯形, 平行四边形, ……
第三章变换群与几何学 五、几种几何学的比较 3、欧氏几何学 欧氏几何—仿射几何的子几何.欧氏几何—首先包括仿 射几何的所有研究内容 定理3.12正交变换保持两点间的距离不变 注:距离是最基本的正交不变性.由此,一切刚体性质都是欧 氏几何的研究对象 结论:子几何学的研究内容比原几何学丰富 4、判定一个几何性质(量)是某种几何学的研究对象 检验其是否可以由该几何学的基本不变性在这个几何空间中 经过演绎推理得到(即能够证明其仅与某几何学的基本不变性有 关)
第三章 变换群与几何学 五、几种几何学的比较 3、欧氏几何学 欧氏几何——仿射几何的子几何. 欧氏几何——首先包括仿 射几何的所有研究内容. 定理3.12 正交变换保持两点间的距离不变. 注：距离是最基本的正交不变性. 由此, 一切刚体性质都是欧 氏几何的研究对象. 结论：子几何学的研究内容比原几何学丰富. 4、判定一个几何性质(量)是某种几何学的研究对象 检验其是否可以由该几何学的基本不变性在这个几何空间中 经过演绎推理得到(即能够证明其仅与某几何学的基本不变性有 关)
