试卷号:GJ.03 南京师范大学考试试卷 《高等几何》,2003级期中考试,2005年11月9日 班别 学号06030姓名 题号 三四五六总分 得分 的打判断题.请判断下列各陈述是否正确,正确的打“√”,错误 “×”.(20分) 1.设ABCD为一个四面体,点X在BC上,一直线通过分别交AB AC于PQ.另一直线通过x分别交DB,DC于R,S.则PR与Qs的交点在 上 () 2.一维射影变换2+X+1=0恰有一个不变元素,参数为=-3 () 3.因为共点四直线的交比可以由这四条直线的斜率表示,所以直 线的斜率是射影不变量. () 4.设(A,B,C,D,E,F)(B,C,D,A,E,F)则E,F为由AC;B→D所确定 的对合的不变元素. () 5.令直线t上三点A(31),B(,),C(-1,-)依次对应于直线上的三 点A(2,-3),B(6,-7),C(1,4),则由此可唯一确定到的一个一维射影对 应. () 6.设A,B,C,D为共线四点,则(AB,CD)=-1(AB,CD)=(AB,DC () 7.设一维基本形上的一个对应使得对应元素A+AB与A+XB的 参数满足方程2XX+6+X+3=0,则φ为射影变换. () 8.不在边上的任一点与完全四线形三双对顶的连线是属于同一对 合的三对对应直线 () 9.用 Desargues定理可以证明:三角形的三条中线共点,所以三角形 的重心是射影不变的 () 10.直线2x1+5x2-x3=0上的无穷远点为(2,-5,0) ()
1 ✁✂✄ GJ.031 ☎✆✝✞✟✠✡☛☛☞ ✌✍✎✏✑✒✓ 2003 ✔✕✖✗✘ ✓ 2005 ✙ 11 ✚ 9 ✛ ✜✢ ✣✂ 06030 ✤✥ ✦✂ ✧ ★ ✩ ✪ ✫ ✬ ✭✮ ✯✮ ✰✱✲✳✴✵✶✷✸✹✺✻✼✽✾✿❀❁ ✓❀❁ ❂❃ ❄√ ❅✓❆❇ ❂❃ ❄ × ❅✵ (20 ✮ ) 1. ❈ ABCD ❉ ✧❊ ✪❋● ✓❍ X ■ BC ❏✓✧❑▲▼◆ X ✮✢❖ AB, AC P P, Q. ◗ ✧❑▲▼◆ X ✮✢❖ DB, DC P R, S. ❘ P R ❙ QS ❂❖❍■ AD ❏ ✵ ( ) 2. ✧❚❯❱❲❳ 2λ + λ 0 + 1 = 0 ❨ ❩✧❊❬❲❭❪✓❫❴❉ λ = − 1 3 . ( ) 3. ❵❉❛❍✪❑▲❂❖❜❝❞❡❢ ✪❣❑▲❂❤✐❥❦✓❧ ❞❑ ▲❂❤✐✾❯❱❬❲♠✵ ( ) 4. ❈ (A, B, C, D, E, F)∧(B, C, D, A, E, F). ❘ E, F ❉ ❡ A ↔ C; B ↔ D ❧❁♥ ❂♦♣ ❂❬❲❭❪✵ ( ) 5. q ❑▲ l ❏ ✩❍ A(3, 1), B(0, 5), C(−1, − 1 3 ) rs♦tP ❑▲ l 0 ❏ ❂✩ ❍ A0 (2, −3), B0 (6, −7), C 0 (1, 4) ✓❘ ❡✉❝✈✧❁♥ l ✇ l 0 ❂✧❊✧❚❯❱♦ t✵ ( ) 6. ❈ A, B, C, D ❉❛▲✪❍ ✓❘ (AB, CD) = −1 ⇔ (AB, CD) = (AB, DC). ( ) 7. ❈ ✧❚①②③❏ ❂✧❊♦t ϕ ④ ✯♦t❭❪ A + λB ❙ A + λ 0B ❂ ❫❴⑤⑥⑦⑧ 2λλ0 + 6λ + λ 0 + 3 = 0, ❘ ϕ ❉ ❯❱❲❳✵ ( ) 8. ❬ ■⑨❏ ❂⑩✧❍ ❙❶❷ ✪▲③✩❸♦❹❂❺▲✾❻P ❼ ✧♦ ♣ ❂✩♦♦t❑▲✵ ( ) 9. ❽ Desargues ♥❾❝❞❿ ➀✄✩➁③ ❂✩❣ ➂▲ ❛ ❍ ✓❧ ❞✩➁③ ❂➃➄✾❯❱❬❲❂✵ ( ) 10. ❑▲ 2x1 + 5x2 − x3 = 0 ❏ ❂➅➆➇❍ ❉ (2, −5, 0). ( )
判别下述命题是否有对偶命题,如果有,请写出;如果没有, 请简要说明原因.(10分) 1.设有变动的三点形ABC.如果其边BC,CA,AB分别通过共线的三 个定点PQ,R,而且顶点B,C分别在定直线pq上,则顶点A也在一条定 直线r上 2.如果两个完全四点形的五对对应边的交点在同一直线上,则其 第六对对应边的交点也在此直线上,且其四对对应顶点的连线交于一 3.设B,P2,P为直线l上的通常点,P。为l上的无穷远点,则P为 线段PP2的中点台(BP2,PP)=-1 4.在两条直线1,l2上各取定相异三点A1,B1,C1和A2,B2C2,则B B2C1,C1A2×C2A1,A1B2×A2B1三点共线 5.设点列l(P)上的对合的两个不变点中一个为无穷远点Px,一个 为通常点Q,则至少存在一对对应点其连线以Q为中点
2 ➈ ✱✲➉➊➋➌✴➍➎➏➐➑➌✴✓➒➓➏✓➔→➣↔➒➓↕➏✓ ➔➙➛➜➝➞➟✵ (10 ➠) 1. ❈ ❩❲➡❂✩❍③ ABC. ➢➤➥⑨ BC, CA, AB ✮✢▼◆❛ ▲❂✩ ❊♥❍ P, Q, R, ➦ ➧❹❍ B, C ✮✢ ■ ♥❑▲ p, q ❏✓❘ ❹❍ A ➨■ ✧❣♥ ❑▲ r ❏ ✵ 2. ➢➤➩❊ ❶❷ ✪❍③ ❂✫♦♦t⑨ ❂❖❍■ ❼ ✧❑▲❏✓❘➥ ➫✬♦♦t⑨ ❂❖❍➨■✉❑▲❏✓➧ ➥ ✪♦♦t❹❍❂❺▲❖P ✧ ❍✵ 3. ❈ P1, P2, P ❉ ❑▲ l ❏ ❂▼➭❍ ✓ P∞ ❉ l ❏ ❂➅➆➇❍ ✓❘ P ❉ ▲➯ P1P2 ❂➂❍ ⇔ (P1P2, P P∞) = −1. 4. ■➩❣❑▲ l1, l2 ❏ ✻➲♥➳➵✩❍ A1, B1, C1 ➸ A2, B2, C2, ❘ B1C2 × B2C1, C1A2 × C2A1, A1B2 × A2B1 ✩❍ ❛ ▲✵ 5. ❈ ❍✺ l(P) ❏ ❂♦♣ ❂ ➩ ❊❬❲❍➂✧❊ ❉➅➆➇❍ P∞, ✧❊ ❉ ▼➭❍ Q, ❘➺➻➼■ ✧♦♦t❍ ➥ ❺▲❞ Q ❉ ➂❍✵
注:对于以下各题,如果你能够给出多于一种的正确解答,或者你 能够发现题目中的错误予以改正并正确解答,将会得到额外奖励分 三、计算题.已知四点A(1,2,-1),B(-1,1,2,C(3,0,-5),D(1,8,-1).求这四 点的交比(AB,CD)、(16分) 四、证明题.如图,在四边形ABCD中,ABⅹCD=E, AC xBD=F, AD x BC=R,M为直线EF上任一点, CM xAB=P, BMXCD=Q.求证: P,Q,R三点共线,(16分)
3 ➽✄➾➚➪➶➹➘✓➴➷➬➮➱✃❐❒➚❮❰ÏÐÑÒÓ✓ÔÕ➬ ➮➱Ö×➘ ØÙÏÚÛÜ➪ÝÐÞÐÑÒÓ✓ßàáâãäåæç✵ è✱éê✴✵ëì ✪❍ A(1, 2, −1), B(−1, 1, 2), C(3, 0, −5), D(1, 8, −1). í ❢ ✪ ❍❂❖❜(AB, CD).(16 ✮ ) î✱ï➝✴✵➢ ð✓■ ✪ ⑨ ③ ABCD ➂ ✓ AB × CD = E, AC × BD = F, AD × BC = R, M ❉ ❑▲ EF ❏ ⑩✧❍ ✓ CM × AB = P, BM × CD = Q. í❿✄ P, Q, R ✩❍ ❛ ▲✵ (16 ✮ )
五、作图题,已知P,P;Q,Q为点列l(P)上的一个非抛物型射影变换 p的两对对应点,E为p的一个不变点,求作φ的另一个不变点F.(作 图并写出作法和证明.16分) 1-00D,0 ZpF PI o
4 ñ ✱òó✴✵ëì P, P0 ; Q, Q0 ❉ ❍✺ l(P) ❏ ❂✧❊ôõö÷❯❱❲❳ ϕ ❂ ➩ ♦♦t❍ ✓ E ❉ ϕ ❂✧❊❬❲❍ ✓í ø ϕ ❂ ◗ ✧❊❬❲❍ F. (ø ð ùúûøü➸ ❿ ➀✵ 16 ✮ )
六、探索题.已知射影平面上的一个图形,描述如下:1,x,y,2为过 O的相异直线,S1,S2,S3,O为直线l上相异的点,过点S3的直线分别交直 线x,y于A1,B1;A2,B2;A3,B3S2与B1,B2,B3的连线分别交直线z于C1,C2,C3 连A11,A2C2,A3C3的直线l,l2,l3共点于S1.请根据此图至少构造出一个 几何证明题,并给出证明(提示:比如设B为直线y上的动点 或 设l为过点S1的动直线 )、2分,按所枃造的题目之正确性、难 度评分;按正确构造题目的个数评奖励分)
5 ý✱þÿ✴✵ëì❯❱❋ ❏ ❂✧❊ ð ③ ✓✁✽ ➢ ✹ ✄ l, x, y, z ❉ ◆ O ❂➳➵❑▲✓S1 , S2, S3, O ❉ ❑▲ l ❏ ➳➵ ❂❍ ✓◆❍ S3 ❂❑▲✮✢❖❑ ▲ x, y P A1, B1; A2, B2; A3, B3; S2 ❙B1, B2, B3 ❂❺▲✮✢❖❑▲ z P C1, C2, C3, ❺ A1C1, A2C2, A3C3 ❂❑▲ l1, l2, l3 ❛ ❍ P S1. ✶✂✄✉ ð➺➻☎✆ û✧❊ ✝✞❿ ➀✦ ✓ù✟ û❿ ➀ (✠ ❦✄❜ ➢❈ B ❉ ❑▲ y ❏ ❂➡❍ ✓ · · · ; ✡ ❈ li ❉ ◆❍ S1 ❂➡❑▲✓ · · · ; · · ·).(22 ✮ ✓☛ ❧☎✆ ❂✦ ☞✌❀❁✍✱✎ ✏✑✮↔☛❀❁☎✆✦ ☞❂❊ ❴✑✒✓✮ )
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