差分方程模型
差分方程模型
差分方程模型 1市场经济中的蛛网模型 2减肥计划——节食与运动 3差分形式的阻滞増长模型 4按年龄分组的种群增长
差分方程模型 1 市场经济中的蛛网模型 2 减肥计划——节食与运动 3 差分形式的阻滞增长模型 4 按年龄分组的种群增长
1市场经济中的蛛网模型 供大于求价格下降 减少产量 现象一 介数量与价格在振荡」J 增加产量〈价格上涨供不应求 描述商品数量与价格的变化规律 题商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定
1 市场经济中的蛛网模型 供大于求 价格下降 减少产量 现 象 问 题 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定 增加产量 价格上涨 数量与价格在振荡 供不应求 描述商品数量与价格的变化规律
蛛网模型 第k时段商品数量;yx第k时段商品价格 消费者的需求关系需求函数yk=f(x)减函数 生产者的供应关系供应函数x1=h(y)增函数 yk=g(k+ 与g的交点Pxm)~平衡点 三 xk+1Xk+2…=x0,yk+1yk+2,…=yo
蛛网模型 xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格 ( ) k k 消费者的需求关系 需求函数 y = f x 减函数 g x0 y0 P0 f x y 0 生产者的供应关系 供应函数 增函数 f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0, xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0 ( ) k 1 k x = h y + ( ) k = k +1 y g x
蛛网模型y=f(x)x1=M)y=8(x 设x1偏离xo x1>y1>x2→>y2>x3> k→>x0,yk→>y xk x o, yk x yo P→P2→P3)…→>P0PP2→>P)…冷P P是稳定平衡点 P是不稳定平衡点 线斜率 K g x
x y 0 f g y0 x0 P0 设x1偏离x0 x1 → y1 → x2 → y2 → x3 →" P1 → P2 → P3 → " → P0 0 0 x x , y y k → k → ( ) k k y = f x ( ) k 1 k x = h y + ( ) k = k+1 y g x 0 0 x x , y y k ×→ k →× 蛛网模型 P1 → P2 → P3 → " →× P0 P0是稳定平衡点 P0是不稳定平衡点 P1 P2 P3 P4 K f > K g x y 0 y0 x0 P0 f g x1 x2 y P2 1 P1 y2 P3 P4 x3 y3 K f < K g 曲线斜率
方程模型在P点附近用直线近似曲线 yk=f(xk) 2 yk-yo=-a(x-xo)(a>0) Xkl=h(k)> xkl-xo=B(k-Do)(B>0 xX X=-aBx-r)X k+1 k+1 6=(-CB)(x1-x) 1(a>1/=x→P不稳定K>Kg 方程模型与蛛网模型的一致α=Kr1/B=K
方程模型 在P0点附近用直线近似曲线 ( ) k k y = f x ( ) ( 0) yk − y0 = −α xk − x0 α > ( ) k 1 k x = h y + ( ) ( 0) xk+1 − x0 = β yk − y0 β > ( ) 1 0 0 x x x x k + − = −αβ k − ( ) ( ) 1 0 1 0 x x x x k k + − = −αβ − 0 x x αβ K g αβ > 1 (α >1/β) 0不稳定 β = Kg 1/ 方程模型与蛛网模型的一致 α = K f
结果解释考察a,B的含义 x第k时段商品数量;yk第k时段商品价格 Dx -yo==a(xk-xo a~商品数量减少1单位,价格上涨幅度 k+1 fo=B(k-yo) β~价格上涨1单位,(下时段)供应的增量 a~消费者对需求的敏感程度a小,有利于经济稳定 B~生产者对价格的敏感程度B小,有利于经济稳定 日aβ<1经济稳定
结果解释 考察α , β 的含义 xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格 ( ) 0 0 y y x x k − = −α k − α ~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度 ( ) 1 0 0 x x y y k + − = β k − β ~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量 α ~ 消费者对需求的敏感程度 α小, 有利于经济稳定 β ~ 生产者对价格的敏感程度 β 小, 有利于经济稳定 αβ < 1 经济稳定
结果解释经济不稳定时政府的干预办法M 1.使a尽量小,如a=0 需求曲线变为水平y 以行政手段控制价格不变 0 2使尽量小,如β=0 供应曲线变为竖直 靠经济实力控制数量不变 0
结果解释 经济不稳定时政府的干预办法 x y 0 y0 g f 1. 使 α 尽量小，如 α=0 以行政手段控制价格不变 需求曲线变为水平 x y 0 x0 g f 2. 使 β 尽量小，如 β =0 供应曲线变为竖直 靠经济实力控制数量不变
模型的推广 生产者管理水平提高 k+1 h(yk) 广产者根据当前时段和前一时 Vk tyk 段的价格决定下一时段的产量。 k 设供应函数为x1-x0=[(y+y)/2-y 需求函数不变y4-y=-(x-x0) =2x,4,+aBx+aBx,=2 (1+aB)xo,k=1, 2 二阶线性常系数差分方程 x为平衡点研究平衡点稳定,即k>,x-x0的条件
模型的推广 生产者管理水平提高 ( ) k 1 k x = h y + ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ + = − + 2 1 1 k k k y y x h • 生产者根据当前时段和前一时 段的价格决定下一时段的产量。 [( )/ 2 ] 1 0 1 0 x x y y y 设供应函数为 k + − = β k + k − − ( ) 0 0 y y x x 需求函数不变 k − = −α k − 2xk +2 +αβxk +1 +αβxk = 2(1+αβ )x0 , k = 1,2," 二阶线性常系数差分方程 x0为平衡点 研究平衡点稳定，即k→∞, xk→x0的条件
模型的推广 2x12+/Bx1+/Bx=2(1+B)x 方程通解x=c11+C2n2(c1,c2由初始条件确定) λ1,x特征根,即方程2+aB+aB=0的根 平衡点稳定,即k),xx的条件:12< aB±√aB)-80B 1.2 4 平衡点稳定条件a/B<2 比原来的条件C<1放宽了
模型的推广 2 1 0 2x x x 2(1 )x k + +αβ k + +αβ k = +αβ 方程通解 k k k x c c = 1λ 1 + 2λ 2 (c1, c2由初始条件确定) λ1, 2~特征根，即方程 2 0 的根 2 λ +αβλ +αβ = 1 平衡点稳定，即k→∞, x λ 1 , 2 < k→x0的条件: 4 ( ) 8 2 1,2 αβ αβ αβ λ − ± − = 2 1,2 αβ λ = 平衡点稳定条件 αβ < 2 比原来的条件 αβ < 1 放宽了