ut ed 第五节隐函数的求导法则 一、一个方程的情形 方程组的情形 三、由方程组确定的反函数的求导 公式
第五节 隐函数的求导法则 一、一个方程的情形 二、方程组的情形 三、由方程组确定的反函数的求导 公式
个方程的情形 1.F(x,y)=0 隐函数存在定理1设函数F(x,y)在点P(x2y)的 某一邻域内具有连续的偏导数,且F(x02y0)=0 F(x02y)≠0,则方程F(x,y)=0在点P(x0,y0)的 某一邻域內恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数y=f(x),它满足条件y=∫(x),并 有 隐函数的求导公式 上一页下一页现回
1.F(x, y) = 0 隐函数存在定理1 设函数 在点 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且 则方程 在点 的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数y = f (x)，它满足条件 并 有 . 隐函数的求导公式 F(x, y) ( , ) 0 0 P x y F(x0 , y0 ) = 0 ( , ) 0, F y x0 y0 F(x, y) = 0 ( , ) 0 0 P x y ( ), 0 x0 y = f y x F F dx dy = − 一、一个方程的情形
例1验证方程x2+y2-1=0在点0)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且=0时y=1 的隐函数y=∫(x)并求这函数的一阶和二阶导 数在x=0的值 解令F(x,y)=x2+y2-1 则F=2x,F=2y, F(0,1)=0,F,(O,1)=2≠0, 依定理知方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且=0时y=1的 函数y=∫(x) 上一页下一页返回
解 令 ( , ) 1 2 2 F x y = x + y − 则 F 2x, x = F 2 y, y = F(0,1) = 0, (0,1) = 2 0, F y 例１ 验证方程 在点 的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且 时 的隐函数 ，并求这函数的一阶和二阶导 数在 的值. 1 0 2 2 x + y − = (0,1) x = 0 y =1 x = 0 y = f (x) 依定理知方程 在点 的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且 时 的 函数 ． 1 0 2 2 x + y − = (0,1) x = 0 y =1 y = f (x)
函数的一阶和二阶导数为 y 小y 0 x=0 y-t dy y-xy 2 3 2 0 上一页下一页现回
函数的一阶和二阶导数为 y x F F dx dy = − , y x = − 0, 0 = dx x= dy 2 2 2 y y xy dx d y − = − 2 y y x y x − − = − , 1 3 y = − 1. 0 2 2 = − x= dx d y
例2已知In√x2+y2= arctan,求 解令F(x,y)=ln、x2+py2- arctan xt y 则F(x,y)=-2 F,(x,y)=x2 r + y r t y 小yF J 上一页下一页返回
. 解 令 ( , ) ln arctan , 2 2 xy F x y = x + y − 则 ( , ) , 2 2 x y x y F x y x ++ = ( , ) , 2 2 x y y x F x y y +− = yx FF dx dy = − . y x x y −+ = − 例 2 已知 ln 2 2 arctan , 求 xy x + y = dx dy
2F(x,y,x)=0 隐函数存在定理2 设函数F(x,y,z)在点P(x,y)的 某一邻域内具有连续的偏导数,且F(x02y2x0)=0 Fx02y,z0)≠0,则方程F(x,y,)=0在点 P(x0’υ3x)的某一邻域内恒能唯一确定一个 单值连续且具有连续偏导数的函数z=∫(x,) 它满足条件x=f(x,y)并有: z az F dy F 上一页下一页返回
2.F(x, y,z) = 0 隐函数存在定理2 设函数 在点 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且 则方程 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个 ，它满足条件 F(x, y,z) ( , , ) 0 0 0 P x y z F(x0 , y0 ,z0 ) = 0 ( , , ) 0, F z x0 y0 z0 F(x0 , y0 ,z0 ) = 0 ( , , ) 0 0 0 P x y z 单值连续且具有连续偏导数的函数 z = f (x, y) ( , ) 0 0 0 z = f x y 并有： z x F F x z = − z y F F y z = −
例3设x2+y2+z2-4z=0,求2 解令F(x,yz)=x2+y2+x2-4乙 则F=2x,F=2x-40=-=x ax F 2 22(2-x)+x(2-x)+x ax (2-z) (2-z)2 (2-z)2+x (2-z) 上一页下一页返回
解 令 ( , , ) 4 , 2 2 2 F x y z = x + y + z − z 则 F 2x, x = F = 2z − 4, z , 2 z x FF xz zx − = − = 2 2xz 2 (2 ) (2 ) z xz z x − − + = 2 (2 ) 2 (2 ) z z x z x − − − + =. (2 ) (2 ) 3 2 2 z z x − − + = 例3 设 ，求 . 2 2xz 4 0 2 2 2 x + y + z − z =
思路:把看成x,的函数对求偏导数? 例4设z=∫(x+y+1z),求Oxa 把x看成乙,y的函数对y求偏导数得 ay 把y看成x,z的函数对求偏导数得 解令Ⅱ=x+y+乙,V=xyz, 则z=f(u,) 上一页下一页现回
解 令 u = x + y + z, v = xyz, 则 z = f (u,v), 思路：把z看成x, y的函数对x求偏导数得 ， x z 把x看成z, y的函数对y求偏导数得 ， y x 把y看成x,z的函数对z求偏导数得 . z y 例4 设 ，求 ， ， . x z y x z y z = f (x + y + z, xyz)
把x看成x,y的函数对x求偏导数得 z az z fn(1+∞)+∫,(yz+xy) y ax 整理得 dz +yzf 把x看成z,y的函数对y求偏导数得 ax 0= fn(x+1)+f·(x+yz∞ 上一页下一页返回
把z看成x, y的函数对x求偏导数得 x z (1 ) x z fu = + ( ), x z f yz xy v + + 整理得 x z , 1 u v u v f xyf f yzf − − + = 把 x 看成 z, y 的函数对 y 求偏导数得 0 ( +1) = y x f u ( ), y x f xz yz v + +
整理得 ax f, +xzf dyfi+ yf 把y看成x,z的函数对z求偏导数得 +1)+f,(xy+xz) z 整理得9=1-fn- dz f +xzf 上一页下一页返回
整理得 , u v u v f yzf f xzf + + = − y x 把y 看成x,z 的函数对 z 求偏导数得 1 ( +1) = z y f u ( ), z y f xy xz v + + 整理得 z y . 1 u v u v f xzf f xyf + − − =