ut ed 第二节向量及其线性运算 、向量的概念 二、向量的加减法 三、数与向量的乘积 四、向量的坐标
第二节 向量及其线性运算 一、向量的概念 二、向量的加减法 三、数与向量的乘积 四、向量的坐标
、向量的概念 向量:既有大小又有方向的量 向量表示:或M1M2 以M,为起点,M,为终点的有向线段 向量的模:向量的大小.|d或|M1M2 单位向量:模长为1的向量.d或M1M2 零向量:模长为0的向量.0 上一页下一页返回
向量：既有大小又有方向的量. 向量表示： 以M1 为起点，M2 为终点的有向线段. M1 M2 a M1M2 模长为1的向量. M1M2 0 0 a 零向量：模长为0的向量. 0 | a | M1M2 向量的模：向量的大小. | | 单位向量： 或 或 或 一、向量的概念
自由向量:不考虑起点位置的向量 相等向量:大小相等且方向相同的向量 b 负向量:大小相等但方向相反的向量.-a 向径:空间直角坐标系中任一点M与原点 构成的向量OM 上一页下一页返回
自由向量：不考虑起点位置的向量. 相等向量：大小相等且方向相同的向量. 负向量：大小相等但方向相反的向量. a − 向径： a b a − a 空间直角坐标系中任一点 与原点 构成的向量. OM M
二、向量的加减法 加法:a+b= (平行四边形法则) (平行四边形法则有时也称为三角形法则) 特殊地:若db分为同向和反向 Ha+b c=a|-|b1 上一页下一页返回
[1] 加法： a b c + = a b c （平行四边形法则） 特殊地：若 a ‖ b a b c | c | | a | | b | = + 分为同向和反向 b a c | c | | a | | b | = − （平行四边形法则有时也称为三角形法则） 二、向量的加减法
向量的加法符合下列运算规律: (1)交换律:+b=b+l (2)结合律:a+b+=(a+b)+C=a+(b+C (3)a+(-a)=0 2]减法a-b=a+(-b)bc b …a+b C=l+(-b) b b 上一页下一页现回
向量的加法符合下列运算规律： （1）交换律： a b b a. + = + （2）结合律： a b c a b c + + = ( + ) + a (b c). = + + （3） ( ) 0. a + −a = [2] 减法 a b a ( b) − = + − a b b − b c − a b c a b = − = + (− ) a b + a b a − b
向量与数的乘法 设是一个数,向量与λ的乘积规定为 (1)4>0,A与d同向,|an|=2|l (2)元=0,An=0 (3)<0,M与反向,|M=||a 2 上一页下一页返回
设 是一个数，向量a 与 的乘积 a 规定为 (1) 0, a 与a 同向，| a | | a | = (2) = 0, 0 a = (3) 0, a 与a 反向，| a | | | | a | = a a 2 a 2 1 − 三、向量与数的乘法
数与向量的乘积符合下列运算规律: (1)结合律:(ud)=以(a)=(4p) (2)分配律:(4+)=An+d (+b)=孔l+b 两个向量的平行关系 定理设向量a≠0,那末向量b平行于a的充 分必要条件是:存在唯的实数,使b=An 上一页下一页返回
数与向量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律： ( a) ( a) = a = () （2）分配律： a a a ( + ) = + a b a b ( + ) = + . 0 b a a b a = 分必要条件是：存在唯一的实数 ， 使 定 理 设向量 ，那末向量 平行于 的 充 两个向量的平行关系
证充分性显然; 必要性设团a取=同, 当b与同向时取正值 当b与反向时元取负值,即有b=Aa 此时与G同向且A=al=l=b 的唯一性.设b=A,又设b=p, 两式相减,得(4-)a=0,即况-Al=0, a≠0,故-=0,即A= 上一页下一页现回
证 充分性显然； 必要性 a b ‖ 设 , a b 取 = 当b 与a同向时 取正值， 当b 与a 反向时 取负值， b a. 即有 = 此时b 与 a同向. a a 且 = a a b = b . = 的唯一性. 设 b a， = 又设b a， = 两式相减，得 ( ) 0， − a = 即 − a = 0， a 0， 故 − = 0， 即 =
设a表示与非零向量a同方向的单位向量, 按照向量与数的乘积的规定, 上式表明:一个非零向量除以它的模的结果是 个与原向量同方向的单位向量 上一页下一页返回
设a 表示与非零向量 a同方向的单位向量， 0 按照向量与数的乘积的规定， 0 a | a | a = . | | 0 a a a = 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量
例1试用向量方法证明:对角线互相平分的 四边形必是平行四边形 证∵AM=MC BM=MD B Ad=AMt MD= mc t BM=bc AD与BC平行且相等,结论得证 上一页下一页返回
例1 试用向量方法证明：对角线互相平分的 四边形必是平行四边形. 证 AM = MC BM = MD AD = AM + MD = MC + BM =BC AD 与 BC 平行且相等, 结论得证. A B D C M a b