ut ed 第二节不定积分的计算 分项积分法唱 凑微分法(第一类换元积分法) 换元积分法 四分部积分法 五小结
第二节 不定积分的计算 一 分项积分法 二 凑微分法（第一类换元积分法） 三 换元积分法 四 分部积分法 五 小结
、分项积分法 定理1设函数∫1(x)与f2(x)的原函数存 在,k1、k2为非零常数,则 ∫[kf(x)+k2(x)=k1∫f(x)+k1(x) 上一页下一页返回
一、分项积分法 ( ) f 1 x ( ) f 2 x 1 k 2 k 定理1 设函数 与 的原函数存 在， 、 为非零常数，则 1 1 + 2 2 = 1 1 + 2 [k f (x) k f (x)]dx k f (x)dx k f 2 (x)dx ——（ 1 ）
证明:[4∫f,(x)+k2∫(x)d Ik∫f(x)d+1k了f(x)d =k∫f(x)+k∫(x)l k,(x)+h,f() 这表示,(1)式右端是kf1(x)+k2f(x)的 原函数,且含有一个任意常数,因此(1)式右 端是kf1(x)+k2f(x)的不定积分 上一页下一页返回
证明： ' 2 2 1 1 [k f (x)dx k f (x)dx] + ' 2 2 ' 1 1 [k f (x)dx] [k f (x)dx] = + ' 2 2 ' 1 1 k [ f (x)dx] k [ f (x)dx] = + ( ) ( ) =k1 f 1 x + k2 f x 这表示，（1）式右端是 的 原函数，且含有一个任意常数，因此（1）式右 端是 的不定积分. ( ) ( ) k1 f 1 x + k2 f x ( ) ( ) k1 f 1 x + k2 f x
例1求积公,3 2 Daue 1+x 3 解 1+x 3 dx-2 1+x 3arctanx-2arcsinx+c 例2求积分外广2x2+1 x(x+ 上一页下一页返回
例1 求积分 解 dx x x ) 1 2 1 3 ( 2 2 − − + dx x x ) 1 2 1 3 ( 2 2 − − + dx x dx x − − + = 2 2 1 1 2 1 1 3 = 3arctan x − 2arcsin x +C 例2 求积分 dx x x x + + ( 1) 2 1 2 2 2
解 2x2+1 x(x"+ (x2+1)+x x2(x2+1) =+2 +arctan +c 上一页下一页返回
解 dx x x x + + ( 1) 2 1 2 2 2 dx x dx x + = + 1 1 1 2 2 dx x x x x + + + = ( 1) ( 1) 2 2 2 2 x C x = − + arctan + 1
例3求 2 解 2 (x+1)x-1)h dxf I x2+1 x2+1 =-x=xtarctanx +c 3 上一页下一页返回
例3 求 dx x x ( + 1) 2 4 解 dx x x ( + 1) 2 4 dx x dx x x x + + + + − = 1 1 1 ( 1)( 1) 2 2 2 2 = x − x + arctan x +C 3 1 3
例4求|tan2xd 解 tan xdx (secfx-1)de secxdx=dx =tanx-x+c 上一页下一页返回
例4 求 解 xdx 2 tan (sec x 1)dx 2 = − xdx 2 tan = xdx − dx 2 sec = tan x − x +C
例5求[sin(cos+sin)x 2 解 x2x2 sin-(cos-+sin ∫ -cosr sInx+ asin xdx+ 2-2/c0h (cosx+x+sin x)+C 2 上一页下一页返回
例5 求 dx x x x ) 2 sin 2 (cos 2 sin + 解 dx x x x ) 2 sin 2 (cos 2 sin + dx x x ) 2 1 cos sin 2 1 ( − = + = xdx + dx − cos xdx 2 1 2 1 sin 2 1 = (−cos x + x + sin x) +C 2 1
例6求 SIn cos 2 sInxtcos x 解 dx 2 2=∫ 2 sin cos x sIn cos x 十 d cos SIn =tanx-cotx+c 上一页下一页返回
例6 求 dx x x 2 2 sin cos 1 解 dx x x x x dx x x + = 2 2 2 2 2 2 sin cos sin cos sin cos 1 dx x dx x = + 2 2 sin 1 cos 1 = tan x − cot x +C
说明:以上几例的被积函数都需要进行恒等变形, 才能把所求的积分化为基本积分表中已有的形式 再分项积分求出不定积分 上一页下一页返回
说明：以上几例的被积函数都需要进行恒等变形， 才能把所求的积分化为基本积分表中已有的形式， 再分项积分求出不定积分
