ut ed 第五节曲线的回凸性与拐点 曲线凹凸的定义 曲线凹凸的判定 、曲线的拐点及其求法
第五节 曲线的凹凸性与拐点 一、曲线凹凸的定义 二、曲线凹凸的判定 三、曲线的拐点及其求法
曲线凹凸的定义y B 问题:如何研究曲线的弯曲方向? M f(x)+f(x2) f(r) y=f(x)2 x1)于f(x2) fo x1汁x x111+x 0 xI x1+x2 x2x 图形上任意弧段位 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 于所张弦的上方 上一页下一页返回
问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 x y o y = f (x) 1 x 2 x 2 1 2 x + x ) 2 ( 1 2 x x f + 2 ( ) ( ) 1 2 f x + f x 1 x x2 x y o y = f (x) 2 1 2 x + x ) 2 ( 1 2 x x f + 2 ( ) ( ) 1 2 f x + f x x y o A B M N 一、曲线凹凸的定义
定义设f(x)在(a,b内连续如果对(a,b内任意 两点x,x2,恒有f(+x 2)f(x1)+f(x2) 2 那末称f(x)在(a,b内的图形是的; 如果对(a,b内任意两点x1,x2,恒有 +x2、∫(x1)+f(x2) 2 2 那末称f(x)在(a,b内的图形是凸的; 上一页下一页返回
( ) ( , ) ; , 2 ( ) ( ) ) 2 , , ( ( ) ( , ) , ( , ) 1 2 1 2 1 2 那末称 在 内的图形是凹的 两 点 恒 有 设 在 内连续 如果对 内任意 f x a b x x f x f x x x f f x a b a b + + ( ) ( , ) ; , 2 ( ) ( ) ) 2 ( ( , ) , , 1 2 1 2 1 2 那末称 在 内的图形是凸的 如果对 内任意两点 恒 有 f x a b x x f x f x f a b x x + + 定义
y=∫(x y=f(r)B 0 a b x 凹弧:曲线上任意一点切线都在曲线弧的下方。 凸弧:曲线上任意一点切线都在曲线弧的上方 上一页下一页回
x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B a b B A 凹弧：曲线上任意一点切线都在曲线弧的下方。 凸弧：曲线上任意一点切线都在曲线弧的上方
二、曲线凹凸的判定 y=∫(x y=f(r)B 0 a b x f(x)递增 y>0 递减y”0,则f(x)在|a,b上的图形是口的; (2)f"(x)<0,则∫(x)在[a,b上的图形是凸的 上一页下一页现回
x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 递增 a b B A y 0 f (x) 递减 y 0 定理1 (2) ( ) 0, ( ) [ , ] . (1) ( ) 0, ( ) [ , ] ; , ( , ) ( ) [ , ] , ( , ) 则 在 上的图形是凸的 则 在 上的图形是凹的 二阶导数 若 在 内 如 果 在 上连续 在 内具有 f x f x a b f x f x a b a b f x a b a b 二、曲线凹凸的判定
证明:1)任取两点x1,x2(x10 x,+x 51∈(x1, f∫(x1)-∫( +32)=f((x-,2)= X+r 352∈( xI+x x一x f(x2)-∫( )=∫(2)(x2 )=∫(2 上一页下一页返回
任取两点 , ( ) 证明：1） x1 x2 x1 x2 分析： 要证 2 ( ) ( ) ) 2 ( 1 2 1 x2 x x f x f f + + 即证 )] 0 2 )] [ ( ) ( 2 [ ( ) ( 1 2 2 1 2 1 + + − + − x x f x f x x f x f 2 ) ( ) 2 ) ( )( 2 ( ) ( ), 2 ( , 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 x x f x x f x x x f x f x x x − = + = − + − + 2 ) ( ) 2 ) ( )( 2 ( ) ( , ), 2 ( 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 x x f x x f x x x f x f x x x − = + = − + − +
两式相加为: If(x)-f("·2)+f(x2)-f( x,+x =f(2)-f(21) 即证:f(2)-f(5)>0(510 同理可证明2) 上一页下一页返回
两式相加为： 2 )] [ ( ) ( )] 2 )] [ ( ) ( 2 [ ( ) ( 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 x x f f x x f x f x x f x f − = − + + − + − 即证： ( ) ( ) 0 ( ) 2 1 1 2 f − f 事实上： ( ) ( ) ( ) ( , ) 2 1 1 2 f − f = f 而 f ( ) 0 同理可证明2）
例1判断曲线y=x3的凹凸性 解∵y'=3x2,y"=6x, 0.1 当xQ时,y”>0,∴曲线在[0,+∞)为凹的; 注意到,点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点 上一页下一页返回
例1 . 判断曲线 y = x 3 的凹凸性 解 3 , 2 y = x y = 6x, 当x 0时， y 0, 曲线 在(−,0]为凸的； 当x 0时， y 0, 曲线 在[0,+)为凹的； 注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点
、曲线的拐点及其求法 1定义设函数f(x)在区间上连续,我们把 y=f(x)的图形上凸弧与凹弧凹弧与凸弧) 的分界点叫做曲线的摸 注1:拐点处的切线必在拐点 处穿过曲线. 注2、拐点是用坐标,f(x0)来表示的, 不同于极值点的表示 上一页下一页返回
1 定义 注1:拐点处的切线必在拐点 处穿过曲线. . ( ) ( ) 的分界点叫做曲线的拐点 的图形上凸弧与凹弧（凹弧与凸弧） 设函数 在区间 上连续，我们把 y f x f x I = . 2 , ( )) 0 0 不同于极值点的表示 注 、拐点是用坐标（x f x 来表示的， 三、曲线的拐点及其求法
2拐点的必要条件 定理2如果f(x)在(x1-8,x+6)内存在二阶导 数,则点(x,f(x)是拐点的必要条件是∫"(x)=0 证:(x,f(x0))是拐点不妨设它是凹弧与凸 分界点,即对x∈(a,b)当x≤x时,图形是凹弧, 所以(x)递增;当x≥x时,图形是凸弧 所以(x)递减因此点x是函数(x)递增与 递减的分界点,也就是(x)极大值点 由可导函数取得极值的条件,∴∫"(x)=0 上一页下一页返回
定理 2 如果 f (x)在( , ) x0 − x0 + 内存在二阶导 数,则点( , ( )) 0 0 x f x 是拐点的必要条件是 ( 0 ) 0 " f x = . 证 2 拐点的必要条件 分界点 即 对 当 时，图形是凹弧， 是拐点 不妨设它是凹弧与凸弧的 0 0 0 ., ( , ) ( , ( ) ) , x a b x x x f x f (x) = 0. 所以f (x)递增；当x x0 时，图形是凸弧， 所以f (x)递减. 递减的分界点，也就是f (x)的极大值点. 因此点x0 是函数f (x)递增与 由可导函数取得极值的条件