太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）齐次方程

ut ed 第三节齐次方程 、齐次方程 二、可化为齐次方程的方程 、小结

第三节 齐次方程 一、齐次方程 二、可化为齐次方程的方程 三、小结

、齐次方程 定义形如,=f(·)的微分方程称为齐次方程 dx 解法作变量代换u y=ru, utx, L 代入原式 u+x f(u), du f(u)u 可分离变量的方程 上一页下一页现回

解法 , x y 作变量代换 u = 即 y = xu, , dx du u x dx dy 则 = + 代入原式 f (u), dx du u + x = . ( ) x f u u dx du − 即 = 可分离变量的方程 ( ) x y f dx dy 定义 形如 = 的微分方程称为齐次方程. 一、齐次方程

du 当fu)-l≠0时,得∫ f(u)-u Inc1 即x=c(),(g(a)=∫ f(u)-u 代入,—得通解x=Cex, 当彐m0,使∫(a0)-u0=0,则a=u是新方程的解, 代回原方程,得齐次方程的解y=x. 上一页下一页返回

当 f(u) − u  0时, ln , ( ) 1 C x f u u du  = − 得 , (u) x Ce 即 =  − （ = ） f u u du u ( ) ( ) 将 代入, x y u = , ( ) x y x Ce  得通解 = , 0 当 u ( ) 0, 0 0 使 f u − u = 则 是新方程的解, 0 u = u 代回原方程 , . 0 得齐次方程的解 y = u x

例1求解微分方程 (x2+2y2 dx-xydy=0 解方程化成 2+ lx x y 小y dh 则 =u+x L+x-=2u+ dx 上一页下一页返回

例 1 求解微分方程 2 0. 2 2 （x + y ）dx − xydy = x x y y dx dy 1 解 方程化成 = 2 + u, x y 令 = . dx dy u x dx dy 则 = + u u dx du u x 1 + = 2 +

L 分离变量 L 1+L 积分 In(1+u=Inx+-Inc 2 2 1+u=C 方程的通解为:x2+y2=Cx 上一页下一页返回

dx x du u u 1 1 2 = + 分离变量 u x lnC 2 1 ln(1 ) ln 2 1 2 积分 + = + 2 2 即 1 + u = Cx . 2 2 4 方程的通解为： x + y = Cx

例2求解微分方程Q+e)ydk+(y-x)=0 解Q+e)= 令=,则=u+y 1+e“)(a+y)=l-1 1+e 分离变量 小y u+e 上一页下一页返回

1 + ( − ) = 0. − e ydx y x dy y x 例 2 求解微分方程 （＋ ） 解 1 + = − 1, − y x dy dx e y x （ （ ） , , dy du u y dy dx u y x 令 = 则 = + 1 ( + ) = − 1 − u dy du u y u （＋e ） dy y du u e e u u 1 1 = − + ＋ 分离变量

积分1n(a+e“)=-lny+lnC 即 (ute )y=c 方程的通解为:x+ye"=C. 上一页下一页返回

u e y C u 积分 ln( + ) = − ln + ln u e y C u 即 （ + ） = x ye C. y x 方程的通解为： + =

例3抛物线的光学性质 实例:车灯的反射镜面—旋转抛物面 解如图设旋转轴ax轴 光源在(0,0),L:y=y(x) R 设M(x,y)为上任一点, Mm为切线,斜率为y, N MN为法线,斜率为-1, ∠OMN=∠NMR, 上一页下一页返回

例 3 抛物线的光学性质 实例: 车灯的反射镜面---旋转抛物面 解 如图 设旋转轴ox轴 光源在(0,0), L : y = y( x) x y o M T N R L 设M( x, y)为上任一点， MT为切线, 斜率为 y  , , 1 y MN  为法线, 斜率为 − OMN = NMR

tan∠OMN=tan∠NWR J 由夹|tan∠OMN=yx R 角正 x切公 式得 tan∠NMR= 得微分方程 2 yy t 2xy-y +1 上一页下一页返回

2 0, 2 yy  + xy  − y = 得微分方程 ( ) 1. 2  = −  + y x y x 即 y tanOMN = tanNMR,            =  − −  −  = y NMR xy y x y y OMN 1 tan 1 1 由夹 tan 角正 切公 式得 x y o M T N R L

令m=,得 1±√1+L u+x L d x 分离变量 2 (1+n2)±√1+ 2 tdt 令1+u2 r(t±1) 积分得lnt土1=ln,即n2+1=±1, 上一页下一页返回

， x y 令u = , 1 1 2 u u dx du u x −  + 得 + = 分离变量 , (1 ) 1 2 2 x dx u u udu = − +  + ， 2 2 令 1 + u = t , ( 1) x dx t t tdt = −  积分得 ln 1 ln , x C t  = 1 1, 2 + =  x C 即 u