ut ed 第五节对坐标的曲面积分 、基本概念 二、概念的引入 概念及性质 计算法 五、两类曲面积分之间的联系
第五节 对坐标的曲面积分 一、基本概念 二、概念的引入 三、概念及性质 四、计算法 五、两类曲面积分之间的联系
基本概念 观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧 上一页下一页返回
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 一、基本概念
曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面 典型双侧曲面 2 口 2 上一页下一页返回
n 曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面. 典 型 双 侧 曲 面
典型单侧曲面:莫比乌斯带 上一页下一页返回
典型单侧曲面: 莫比乌斯带 播放
曲面法向量的指向决定曲面的侧 决定了侧的曲面称为有向曲面 曲面的投影问题:在有向曲面∑上取一小块 曲面AS△S在xoy面上的投影(△S)x为 (△σ)y当cosy>0时 (△S)={-(A)当c0sy<0时 当cosy=0时 其中(Δσ)表示投影区域的面积 上一页下一页返回
曲面法向量的指向决定曲面的侧. 决定了侧的曲面称为有向曲面. 曲面的投影问题: , S在xoy面 在有向曲面Σ上取一小块 . 0 cos 0 ( ) cos 0 ( ) cos 0 ( ) = − = 当 时 当 时 当 时 x y x y S x y 其中( ) 表示投影区域的面积. xy 曲面 S 上的投影(S) xy为
、概念的引入 实例:流向曲面一侧的流量 (1)流速场为常向量ν,有向平面区域A,求单位 时间流过A的流体的质量Φ(假定密度为1) 流量 ①=Avc0s0 =4p·n0=p·A 上一页下一页返回
实例: 流向曲面一侧的流量. (1) 流速场为常向量 v ,有向平面区域 A,求单位 时间流过 A 的流体的质量 (假定密度为 1). A v 0 n A Av n v A Av = = = 0 cos 流量 二、概念的引入
(2)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1) 的速度场由 v(x,y,)=P(x,y, z)i+o(,v, z)j+R(,y,zk 给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数 P(x,y,),2(,y,),R(,,z) 都在Σ上连续,求在单位 时间内流向∑指定侧的流 体的质量Φ 上一页下一页返回
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1 ) 的速度场由 v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k ( , , ) = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) 给 出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函 数 P( x, y,z), Q( x, y,z), R( x, y,z) 都 在Σ上连续, 求在单位 时间内流向Σ指定侧的流 体的质量. x y z o
1.分割把曲面Σ分成小块△,(△同时也代表 第小块曲面的面积), 在△S,上任取一点 z△S (5;,m25) (2,1,9) 则该点流速为v 法向量为n 上一页下一页现回
x y z o • Si ( , , ) i i i i v ni 把曲面Σ分成n 小块 i s ( i s 同时也代表 第i小块曲面的面积), 在 i s 上任取一点 ( , , ) i i i , 1. 分割 则该点流速为 . i v 法向量为 . ni
v=ν(5;,m,5;) =P(5,1,5+Q(5,,5)+R(5,1,5), 该点处曲面∑的单位法向量 i= cos a, i+ cos B i+ cos y, k, 通过△s流向指定侧的流量的近似值为 △S;(i=1,2,…,n) 2求和通过Σ流向指定侧的流量①∑1△S i=1 上一页下一页返回
该点处曲面Σ的单位法向量 ni i i i j i k cos cos cos 0 = + + , 通过 i s 流向指定侧的流量的近似值为 v n S (i 1,2, ,n). i i i = ( , , ) ( , , ) ( , , ) , ( , , ) P i Q j R k v v i i i i i i i i i i i i i = + + = 2. 求和 通过Σ流向指定侧的流量 = n i i ni Si v 1
∑P(5,m,41)c0sa1+Q(5,n,5)os月 +R(5;,7,5)c0sy;AS ∑|P(5,m,4)△S)x+Q(5,m,5AS)x +R(5;,m7,9;)(AS)y 3.取极限λ→0取极限得到流量Φ的精确值 上一页下一页返回
i i i i i i i i i n i i i i i R S P Q + = + = ( , , )cos ] [ ( , , )cos ( , , )cos 1 i i i i x y yz i i i i x z n i i i i i R S P S Q S ( , , )( ) [ ( , , )( ) ( , , )( ) 1 + = + = 3.取极限 → 0取极限得到流量的精确值