ut ed 第九节/连续函数的性质 连续函数的运算性质 二闭区间上连续函数的性质 小结与思考判断题
第九节 连续函数的性质 一 连续函数的运算性质 二 闭区间上连续函数的性质 三 小结与思考判断题
、连续函数的运算性质 1、四则运算的连续性 定理1若函数f(x),g(x)在点x处连续, 则f(x)±8(x),f(x)8(x,f(x)(g(x)≠0) g(x) 在点x0处也连续 例如,Simx,c0sx在(-∞,+∞)内连续, 故tanx,cotx,secx,cscx在其定义域内连续 上一页下一页返回
定理1 在点 处也连续. 则 若函数 在点 处连续 0 0 0 ( ( ) 0) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ), ( ) , x g x g x f x f x g x f x g x f x g x x 例如, sin x,cos x在(−,+)内连续, 故 tan x,cot x,sec x,csc x 在其定义域内连续. 1、四则运算的连续性 一、连续函数的运算性质
2、反函数与复合函数的连续性 定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数 例如,y=sinx在 上单调增加且连续, 22 故y= arcsinx在-1,也是单调增加且连续 同理y= arccos在-1,单调减少且连续 y= arctan,y= arc cotx在-,+o上单调且连续 反三角函数在其定义域内皆连续 上一页下一页返回
定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数. 例如, ] , 2 , 2 sin 在[ 上单调增加且连续 y = x − 故 y = arcsin x 在[−1,1]上也是单调增加且连续. 同理 y = arccos x 在[−1,1]上单调减少且连续; y = arctan x, y = arccot x 在[− ,+ ]上单调且连续. 反三角函数在其定义域内皆连续. 2、反函数与复合函数的连续性
定理3若imq(x)=a,函数∫(u)在点连续, 则有im∫|q(x)=∫(a)=∫img(x) 证∵∫(u)在点u=a连续, VE>0,彐m>0,使当u-a0,彐8>0,使当0<x-x<6时, 上一页下一页返回
定理3 lim [ ( )] ( ) [lim ( )]. lim ( ) , ( ) 0 0 0 f x f a f x x a f u a x x x x x x → → → = = = 则有 若 函数 在点 连续, 证 f (u)在点u = a连续, ( ) ( ) . 0, 0, , 恒有 成立 使当 时 − − f u f a u a lim ( ) , 0 x a x x = → 又 0, 0, 0 , 对于 使当 x − x0 时
恒有g(x)-a=-a0,3δ>0,使当0x0 上一页下一页返回
恒有(x) − a = u − a 成立. 将上两步合起来: 0, 0, 0 , 使当 x − x0 时 f (u) − f (a) = f[(x)]− f (a) 成立. lim [ ( )] ( ) 0 f x f a x x = → [lim ( )]. 0 f x x x → =
意义1极限符号可以与函数符号互换; 2变量代换=φ(x)理论依据 例1求lm In(1+x) x→0 解原式= limIn(1+x) x→0 In lim(1+x)=Ine=1 x→>0 上一页下一页返回
意义 1.极限符号可以与函数符号互换; 2.变量代换(u = (x))的理论依据. 例1 . ln(1 ) lim 0 x x x + → 求 = 1. x x x 1 0 = limln(1+ ) 原式 → ln[lim(1 ) ] 1 0 x x = + x → = lne 解
例2求lm x→>0x 解令e-1=y,则x=ln(1+y 当x→0时,y→0. 原式=lim.J=lim y→0ln(1+y)y>0 In(1+y 同理可得mNna 上一页下一页返回
例2 . 1 lim 0 x e x x − → 求 解 e 1 y, x 令 − = 则 x = ln(1 + y), = 1. ln(1 ) lim 0 y y y + = → 原式当x → 0时, y → 0. y y y 1 0 ln(1 ) 1 lim + = → 同理可得 ln . 1 lim 0 a x a x x = − →
定理4设函数u=(x)在点x=x连续,且 q(x)=u,而函数y=∫(u)在点l=L连续, 则复合函数y=∫|q(x)在点x=x也连续 注意定理4是定理3的特殊情况 例如,=在(-∞,0)(0,+)内连续 y=sinu在(-∞,+∞)内连续, y=sin-在(-0,0)∪(0,+∞内连续 上一页下一页返回
则复合函数 在点 也连续. 而函数 在点 连续 设函数 在点 连续, 且 0 0 0 0 0 [ ( )] ( ) , ( ) , ( ) y f x x x x u y f u u u u x x x = = = = = = = 定理4 注意 定理4是定理3的特殊情况. 例如, ( , 0) (0, ) , 1 = 在 − + 内连续 x u y = sinu 在(−, + )内连续, ( , 0) (0, ) . 1 = sin 在 − + 内连续 x y
3、初等函数的连续性 1)三角函数及反三角函数在它们的定义域内是 连续的 (2)指数函数y=a(a>0,a≠1) 在(-0,+)内单调且连续 (3)对数函数y=logx(a>0,a≠1) 在(0,+∞)内单调且连续; 上一页下一页返回
三角函数及反三角函数在它们的定义域内是 连续的. （1） y = a (a 0, a 1) 指数函数 x 在(−,+)内单调且连续; （2） y = log x (a 0, a 1) 对数函数 a 在(0,+)内单调且连续; （3） 3、初等函数的连续性
(4)y=x=auloga →y=a",u= ulog x 在(0,+∞)内连续,讨论不同值, (均在其定义域内连续) 定理5基本初等函数在定义域内是连续的 定理6一切初等函数在其定义区间内都是连 续的 定义区间是指包含在定义域内的区间 上一页下一页返回
定理5 基本初等函数在定义域内是连续的. 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连 续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. y = x a x a log = , u y = a u log x. = a 在(0, + )内连续, 讨论不同值, (均在其定义域内连续 ) （4）