(三十四)数学分析试题(二年级第一学期 一叙述题(每小题10分,共30分) 叙述第二类曲线积分的定 2叙述 Parseval等式的内容。 3叙述以2丌为周期且在[-丌,z]上可积函数f(x)的 Fourier系数、 Fourier级数及其 收敛定理。 二计算题(每小题10分,共50分) 1.求/=(x+y)ds,此处l为联结三点O(0,O),4(10),B(1)的直线段。 2.计算二重积分 =x2+y2)d 其中Ω是以y=x,y=x+a,y=a和y=3a(a>0)为边的平行四边形。 3.一页长方形白纸,要求印刷面积占Acm2,并使所留叶边空白为:上部与下部宽度 之和为hcm,左部与右部之和为rcm,试确定该页纸的长(y)和宽(x),使得它的总面积为 最小 4.计算三重积分 y+--)dxdydz 其中V是椭球体2b2c 5.计算含参变量积分 x(b>a>0)的值 三讨论题(每小题10分,共20分) au au 1已知l= arccos,-,试确定二阶偏导数与的关系 axay a 2讨论积分[x0sxt的敛散性 数学分析试题(二年级第一学期)答案 一叙述题(每小题10分,共30分 1设L为定向的可求长连续曲线,起点为A,终点为B。在曲线上每一点取单位切向 量r=(cosa,cosB,cosy),使它与L的定向相一致。设 f(x,y, z )=P(x,y, 3)i+O(x,y, =)j+R(x,y, =)k 是定义在L上的向量值函数,则称
1 （三十四）数学分析试题（二年级第一学期） 一 叙述题（每小题 10 分，共 30 分） 1 叙述第二类曲线积分的定义。 2 叙述 Parseval 等式的内容。 3 叙述以 2 为周期且在 [−, ] 上可积函数 f (x) 的 Fourier 系数﹑Fourier 级数及其 收敛定理。 二 计算题（每小题 10 分，共 50 分） 1．求 = + l I (x y)ds ，此处 l 为联结三点 O(0,0), A(1,0), B(1,1) 的直线段。 2．计算二重积分 I = (x + y )dxdy 2 2 。 其中 是以 y = x, y = x + a, y = a 和 y = 3a (a 0) 为边的平行四边形。 3．一页长方形白纸，要求印刷面积占 2 Acm ，并使所留叶边空白为：上部与下部宽度 之和为 h cm ，左部与右部之和为 r cm ，试确定该页纸的长 ( y) 和宽 (x) ，使得它的总面积为 最小。 4．计算三重积分 = + + V dxdydz c z b y a x I ( ) 2 2 2 2 2 2 。 其中 V 是椭球体 1 2 2 2 2 2 2 + + c z b y a x 。 5．计算含参变量积分 ( 0) 0 − + − − dx b a x e e ax bx 的值。 三 讨论题（每小题 10 分，共 20 分） 1 已 知 y x u = arccos ，试确定二阶偏导数 x y u 2 与 y x u 2 的关系。 2 讨论积分 dx x x x x p q + + cos 的敛散性。 数学分析试题（二年级第一学期）答案 一 叙述题（每小题 10 分，共 30 分） 1 设 L 为定向的可求长连续曲线，起点为 A ，终点为 B 。在曲线上每一点取单位切向 量 = (cos,cos ,cos ) ，使它与 L 的定向相一致。设 f (x, y,z) = P (x, y,z) i + Q (x, y,z) j + R (x, y,z) k 是定义在 L 上的向量值函数，则称
f.s=P(x,y, = Q(x,y, =)cos B+ R(x, y, =)cos rds 为∫定义在L上的第二类曲线积分(如果右面的第一类曲线积分存在)。 2.函数f(x)在[-x,n]可积且平方可积,则成立等式 ∑G2+b)=-f(xb 3若f(x)是以2x为周期且在[-丌,]上可积的函数,则 f(x) cos ndx(n=012…) bn f(x) sin ndx(n=1,2… 称为函数f(x)的 Fourier系数,以f(x)的 Fourier系数为系数的三角级数 (a 称为函数f(x)的 Fourier级数,记为 ∑( a coS x+ b sin nx) 收敛定理:设函数f(x)在[-丌,丌]上可积且绝对可积,且满足下列两个条件之一,则∫(x) 的 F级数在x收敛于f(x+)+/(x-) (1)f(x)在某个区间[x-6,x+O]d>0)上是分段单调函数或若干个分段单调函数 之和 (2)f(x)在x处满足指数为a∈(0,1的 Holder条件 二计算题(每小题10分,共50分) =(x+y)=+n+k 在直线段OA上y=0,d=dx得 (x +y)ds d x 在直线段AB上x=1,d=得 2
2 = L f ds + + L P(x, y,z)cos Q(x, y,z)cos R(x, y,z)cosds 为 f 定义在 L 上的第二类曲线积分（如果右面的第一类曲线积分存在）。 2．函数 f (x) 在 [−, ] 可积且平方可积，则成立等式 ( ) − = + + = a b f x dx a n n n ( ) 1 2 2 1 2 2 2 0 。 3 若 f (x) 是以 2 为周期且在 [−, ] 上可积的函数，则 − = a f x nxdx n ( ) cos 1 (n = 0,1,2, ) − = b f x nxdx n ( )sin 1 (n = 1,2, ) 称为函数 f (x) 的 Fourier 系数，以 f (x) 的 Fourier 系数为系数的三角级数 = + + 1 0 ( cos sin ) 2 n an nx bn nx a 称为函数 f (x) 的 Fourier 级数，记为 = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ( ) ~ n an nx bn nx a f x 。 收敛定理：设函数 f (x) 在 [−, ] 上可积且绝对可积，且满足下列两个条件之一，则 f (x) 的 Fourier 级数在 x 收敛于 2 f (x+) + f (x−) 。 （1） f (x) 在某个区间 [x − , x + ]( 0) 上是分段单调函数或若干个分段单调函数 之和。 （2） f (x) 在 x 处满足指数为 (0,1] 的 Holder 条件。 二 计算题（每小题 10 分，共 50 分） 1。解 I x y ds x y ds l OA AB BO = ( + ) = + + ( + ) 。 在直线段 OA 上 y = 0, ds = dx 得 2 1 ( ) 1 0 + = = OA x y ds xdx 在直线段 AB 上 x = 1, ds = dy 得
在直线段BO上y=x,d=√2dx得 (x+ y)ds= 2dx=√2 所以 )dxd x+ 3.解由题意,目标函数与约束条件分别为S=xy与x>r,y>h,(x-r)(y-h)=A作 Lagrange函数L=xy+和(x-r)(y-h)-1则有 L =y+(y-h)=0, L,=x+A(x-r)=0 (x-r)(y-h)-A=0. 由此解得 y 于是有 +h 并且易知它是极小值点 4.解由于 I=22dxdyd=+k2-dxdyds+[== 其中 这里D表示椭球面 1 b2(1 它的面积为
3 2 3 ( ) (1 ) 1 0 + = + = AB x y ds y dy 在直线段 BO 上 y = x, ds = 2dx 得 ( ) 2 2 2 1 0 + = = BO x y ds x dx 所以 I = 2 + 2 。 2．解 − + = + = a a y y a x y dxdy dy x y dx a 3 2 2 2 2 4 ( ) ( ) 14 . 3．解 由题意，目标函数与约束条件分别为 S = xy 与 x r, y h, (x − r)(y − h) = A. 作 Lagrange 函数 L = xy + [(x − r)(y − h) − A], 则有 = − − − = = + − = = + − = ( )( ) 0. ( ) 0, ( ) 0, L x r y h A L x x r L y y h y x 由此解得 , 1 . 1 , 1 = − + + = + = r h Ah y r x 于是有 , h. r Ah r y h Ar x = + = + 并且易知它是极小值点. 4．解 由于 dxdydz c z dxdydz b y dxdydz a x I V V V = + + 2 2 2 2 2 2 ， 其中 − = D a a V dx dydz a x dxdydz a x 2 2 2 2 ， 这里 D 表示椭球面 2 2 2 2 2 2 1 a x c z b y + − 或 1 (1 ) (1 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 − + − a x c z a x b y 。 它的面积为
z(b11-=2) 于是 - dxdydz 同理可得 adxdyd==-rabc , dxdyd=,mbe。 所以 1=3--nabc=-rabco 5.计算含参变量积分 0dx(b>a>0)的值 -ax -bx 解因为三 =[e-d,所以 d=af,e-”d。注意到en 在域:x≥0,a≤y≤b上连续。又积分[e”对a≤y≤b是一致收敛的。事实上 当x≥0,a≤ysb时,0<e<e,但积分e收敛。故积分ed是 致收敛的。于是,利用对参数的积分公式,即得 从而得 三讨论题(每小题10分,共20分) 1当0<x≤y时,u= arccos,|-= arccos a 2
4 ( 1 )( 1 ) (1 ) 2 2 2 2 2 2 a x bc a x c a x b − − = − 。 于是 dx abc a x x a bc dxdydz a x a a V 15 4 (1 ) 2 2 2 2 2 2 = − = − 。 同理可得 dxdydz abc b y V 15 4 2 2 = ， dxdydz abc c z V 15 4 2 2 = 。 所以 I abc abc 5 4 ) 15 4 = 3( = 。 5．计算含参变量积分 ( 0) 0 − + − − dx b a x e e ax bx 的值。 解 因为 e dy x e e b a xy ax bx − − − = − ，所以 dx dx e dy x e e b a xy ax bx + − + − − = − 0 0 。注意到 xy e − 在域： x 0, a y b 上连续。又积分 e dx xy + − 0 对 a y b 是一致收敛的。事实上， 当 x 0, a y b 时， xy ax e e − − 0 ，但积分 e dx ax + − 0 收敛。故积分 e dx xy + − 0 是一 致收敛的。于是，利用对参数的积分公式，即得 dx e dy dy e dx xy b a b a xy + − + − = 0 0 。 从而得 a b y d y d x d y e d x x e e b a b a xy ax bx ln 0 0 = = = − + − + − − 。 三 讨论题（每小题 10 分，共 20 分） 1 当 0 x y 时， y x u = arccos y x = arccos 。 y x x u − = − 1 1 2 x y 1 = 2 ( ) 1 x y − x − ， y y x u − = − 1 1 − 2 3 2y x 2 ( ) 2 y y x x − =
a-u axd ayax 4vxvy2(y-x) 4y(y-x)2 4x(y-x) 于是,当01,则当x充分大时x x?+r/丌),故 x cOSx dx收敛。 若max(p,q)≤1,则恒有 ≥0,故函数 在x≥丌上是递增的。于是 V正整数n,有 x X+x x+x =常数>0 +∞ x cos x 故不满足 Cauchy收敛准则,因此 dx发散 (三十五)数学系二年级《数学分析》期末考试题
5 x y u 2 2 3 4 ( ) 1 x y − x = ， y x u 2 4 ( ) 1 2 x y y − x = + 2 3 4y( y x) x − 2 3 4 ( ) 1 x y − x = ， 于是，当 0 x y 时， x y u 2 = y x u 2 。 当 0 x y 时， y x u = arccos y x = arccos 。 2．首先注意到 ( ) 2 (1 ) (1 ) p q p q p q x x p x q x x x x + − + − = + 。 若 max( p,q) 1 ，则当 x 充分大时 0 + p q x x x ，从而当 x 充分大时函数 p q x x x + 是递 减的，且这时 x→+ lim p q x x x + = 0。 又因 A xdx cos = sin A 1 （对任何 A ），故 dx x x x x p q + + cos 收敛。 若 max( p,q) 1 ，则恒有 0 + p q x x x ，故函数 p q x x x + 在 x 上是递增的。于是， 正整数 n ，有 dx x x n x x n p q + + 4 2 2 cos 2 2 dx x x n x n p q + + 4 2 2 2 2 4 + p q = p q + 8 2 = 常数 0， 故不满足 Cauchy 收敛准则，因此 dx x x x x p q + + cos 发散。 （三十五）数学系二年级《数学分析》期末考试题
(满分12分,每小题6分)解答题:叙述以下概念的定义 1二元函数f(x,y)在区域D上一致连续 2二重积分 (满分16分,每小题8分)验证或讨论题: 1f(x八≈x-y求 limlim f(x,y)和 lim lim f(x,y)·极限lmf(x,y)是否 xt y 存在?为什么? x x-+y-≠ 0 2f(x,y)= 验证函数f(x,y)在点(0,0)处连续 偏导数存在,但不可微 三.(满分48分,每小题6分)计算题: 1设函数f(u,y)可微,z=f(x,xy).O202 2f(x,yz)=x+xy2+y-2,l为从点P(2,-1,2)到点P(-1,1,2)的方向 求f(B) 3设计一个容积为4m3的长方体形无盖水箱,使用料最省 axydxdy, D: y=3x,y=2x, xy=1,xy=3 5求积分=x-x2 In 6』e”d,其中D是以点(0,0)、(1,1)和(0,1)为顶点的三角形域 7计算积分∫(2x+sn,)+nsh,其中L为沿曲线 1从 点(0,0)到点(h2,1)的路径 8V:x2+y2≤2x,x2+y2≤2≤2(x2+y2).∑为V的表面外侧.计算积分 (x'+y4+=dyd= +(x+y'-cos -)dEdx+(x+y-== )dxdy 四.(满分24分,每小题8分)证明题:
6 一 （ 满分 1 2 分，每小题 6 分）解答题：叙述以下概念的定义: 1 二元函数 f (x, y) 在区域 D 上一致连续 . 2 二重积分. 二． （ 满分 1 6 分，每小题 8 分）验证或讨论题： 1 ( , ) . 2 x y x y f x y + − = 求 lim lim ( , ) 0 0 f x y x→ y→ 和 lim lim ( , ) 0 0 f x y y→ x→ . 极限 lim ( , ) 0 0 f x y y x → → 是否 存在 ? 为什么 ? 2 + = + = + 0 , 0. , 0 , ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 验证函数 f (x, y) 在点 ( 0 , 0 ) 处连续 , 偏导数存在 , 但不可微 . 三． （ 满分 4 8 分，每小题 6 分）计算题： 1 设函数 f (u,v) 可微 , z = f ( x , xy ) . 求 2 2 x z 和 2 2 y z . 2 f (x, y,z) x xy yz , l 2 2 = + + 为从点 ( 2 , 1, 2 ) P0 − 到点 ( 1,1, 2 ) P1 − 的方向. 求 ( ) P0 f l . 3 设计一个容积为 3 4m 的长方体形无盖水箱 , 使用料最省 . 4 D xydxdy, , 2 , 1, 3 2 1 D : y = x y = x x y = x y = . 5 求积分 dx x x x I − = 1 0 8 2 ln . 6 − D y e dxdy 2 ，其中 D 是以点 ( 0 , 0 ) 、(1,1) 和 ( 0 ,1) 为顶点的三角形域. 7 计算积分 + + L dy x y dx y x 2 cos 2 ) 2 (2 sin . 其中 L 为沿曲线 = −1 x y e 从 点 ( 0 , 0 ) 到点 ( ln2 ,1) 的路径 . 8 V : + 2 , + 2( + ). 2 2 2 2 2 2 x y x x y z x y 为 V 的表面外侧.计算积分 x y z dydz x y z dzdx x y z )dxdy 2 3 ( ) ( cos ) ( 3 2 2 3 2 + + + + − + + − . 四． （ 满分 2 4 分，每小题 8 分）证明题：
1 f(,y) 证明极限mf(x,y)不存 y 2设函数以(x,y)和v(x,y)可微.证明grad(un)= u grad+ v gradu 3设函数∫在有界域D上续.试证明:若在D内任区域D'cD上 都有∫/(xy)dh=0,则在D上f(x,y)=0 (三十六)二年级《数学分析》考试题 计算题 1求极限lim sin x+y (x,y)+(0,0) tx ty (x+2y)sin x+ x2+y2≠0 2 f(x,y) =0 求f2(0,0)和f,(0,0) 3.设函数f(u2)有连续的二阶偏导数,二=f(xy,x2+y).求、a a 和 4f(x,y,-)=x+y2+3,点P(1,1,1),方向1:(2,-2,1).求 gradf() 和f∫沿的方向导数f(P) 5曲线L由方程组 2x2+3y2+z2=9 确定·求曲线L上点P0(1,-1,2)处的切线和法平面方程 6求函数∫(x,y)=xy在约束条件一+-=1之下的条件极值.(无须验证驻点 满足极值充分条件) 证明题 1f(x,y)=x.试证明在点(0,0)处f(x,y)的两个累次极限均存在,但
7 1 x y y f x y + = 2 ( , ) . 证明极限 lim ( , ) 0 0 f x y y x → → 不存在 . 2 设函数 u(x, y) 和 v(x, y) 可微 . 证明 grad(uv) = u gradv + v gradu . 3 设函数 f 在有界闭区域 D 上连续. 试证明: 若在 D 内任一子区域 D D 上 都有 = D f (x, y)dxdy 0, 则在 D 上 f (x, y) 0 . （三十六）二年级 《数学分析》考试题 一 计算题 : 1 求极限 1 1 sin( ) lim 2 2 2 2 ( , ) (0,0) + + − + → x y x y x y . 2 + = + + + = 0 , 0. , 0 , 1 ( 2 )sin ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 求 ( 0 , 0 ) x f 和 ( 0 , 0 ) y f . 3. 设函数 f (u,v) 有连续的二阶偏导数 , ( , ) 2 2 z = f xy x + y . 求 x z 、 y z 和 x y z 2 . 4 2 3 f (x, y,z) = x + y + z , 点 (1,1,1) P0 , 方向 l : ( 2 , − 2 ,1) . 求 ( ) gradf P0 和 f 沿 l 的方向导数 ( ) P0 f l . 5 曲线 L 由方程组 = + + + = 3 2 3 9 , 2 2 2 2 2 2 z x y x y z 确定 . 求曲线 L 上点 (1, 1, 2 ) P0 − 处的切线和法平面方程 . 6 求函数 f (x, y) = xy 在约束条件 1 1 1 + = x y 之下的条件极值 . ( 无须验证驻点 满足极值充分条件 ) 二. 证明题 : 1 4 2 2 ( , ) x y x y f x y + = . 试证明在点 ( 0 , 0 ) 处 f (x, y) 的两个累次极限均存在 , 但
二重极限却不存在 ≠0 2f(x,y)={√x2+y 证明函数f(x,y)在点(0,0)处连续 偏导数存在,但却不可微 3设z=h√x2+y2,验证该函数满足 Laplace方程 a-2 a-z 4设函数∫(x,y)在点(0,0)的某邻域有定义,且满足条件|f(x,y)≤x2+y 试证明f(x,y)在点(0,0)可微 (三十七)数学系二年级《数学分析》考试题 (满分12分,每小题6分)解答题:叙述以下概念的定义 1二元函数f(x,y)在区域D上一致连续 2二重积分 (满分16分,每小题8分)验证或讨论题: 1f(x,y)= 求 lm lim f(x,y)和 lim lim f(x,y).极限imf(x,y)是否 存在?为什么? X+1≠ 0 2f(x,y)= 验证函数∫(x,y)在点(0,0)处连续 0, 偏导数存在,但不可微 (满分48分,每小题6分)计算题 1设函数f()可微,==f(x,xy).求02=a2 2f(x,y,)=x+xy2+y2,l为从点P(2,-1,2)到点P(-1,1,2)的方向 求f(B) 3设计一个容积为4m3的长方体形无盖水箱,使用料最省 [xydxdy, D: y=3x,y=2x,xy=l,xy=3
8 二重极限却不存在 . 2 + = + = + 0 , 0. , 0 , ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 证明函数 f (x, y) 在点 ( 0 , 0 ) 处连续, 偏导数存在 , 但却不可微 . 3 设 ln , 2 2 z = x + y 验证该函数满足 Laplace 方程 0 2 2 2 2 = + y z x z . 4 设函数 f (x, y) 在点 ( 0 , 0 ) 的某邻域有定义 , 且满足条件 2 2 | f (x, y) | x + y . 试证明 f (x, y) 在点 ( 0 , 0 ) 可微 . （三十七）数学系二年级《数学分析》考试题 一 （ 满分 1 2 分，每小题 6 分）解答题：叙述以下概念的定义: 1 二元函数 f (x, y) 在区域 D 上一致连续 . 2 二重积分. 二． （ 满分 1 6 分，每小题 8 分）验证或讨论题： 1 ( , ) . 2 x y x y f x y + − = 求 lim lim ( , ) 0 0 f x y x→ y→ 和 lim lim ( , ) 0 0 f x y y→ x→ . 极限 lim ( , ) 0 0 f x y y x → → 是否 存在 ? 为什么 ? 2 + = + = + 0 , 0. , 0 , ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 验证函数 f (x, y) 在点 ( 0 , 0 ) 处连续 , 偏导数存在 , 但不可微 . 三． （ 满分 4 8 分，每小题 6 分）计算题： 1 设函数 f (u,v) 可微 , z = f ( x , xy ) . 求 2 2 x z 和 2 2 y z . 2 f (x, y,z) x xy yz , l 2 2 = + + 为从点 ( 2 , 1, 2 ) P0 − 到点 ( 1,1, 2 ) P1 − 的方向. 求 ( ) P0 f l . 3 设计一个容积为 3 4m 的长方体形无盖水箱 , 使用料最省 . 4 D xydxdy, , 2 , 1, 3 2 1 D : y = x y = x x y = x y =
5求积分I ln 6e"axd,其中D是以点(0,0)、(1,1)和(0,1)为项点的三角形域 7计算积分j(2x+smn)+cos,其中L为沿曲线y=ce2-1从 点(0,0)到点(h2,1)的路径 8:x2+y2≤2x,x2+y2≤x≤2(x2+y2).∑为V的表面外侧计算积分 (x'+y2+=)dyd=+(x2+y'-cos =)d=dx+(x+y2 ) dxdy 四.(满分24分,每小题8分)证明题 I f(, y) 证明极限imf(x,y)不存在 设函数(x,y)和v(x,y)可微·证明 grad(uv)=u grady +v gradu 3设函数∫在有界区域D上连续,试证明:若在D内任区域DcD上 都有‖f(x,y)ddy=0,则在D上f(x,y)=0 三十八)二年级《数学分析Ⅱ》考试题 计算下列偏导数或全微分(共18分,每题6分): 1设f(x,y)=xy+ ax Oy axa 2设z=S( Xcos),求全微分d; 3求由方程x+2y+-2√xz=0所确定的隐函数的偏导数 求函数z=xe2y在点P(1,1)处从P(1,1)到Q(2,-1)方向的方向导数。(12 分)
9 5 求积分 dx x x x I − = 1 0 8 2 ln . 6 − D y e dxdy 2 ，其中 D 是以点 ( 0 , 0 ) 、(1,1) 和 ( 0 ,1) 为顶点的三角形域. 7 计算积分 + + L dy x y dx y x 2 cos 2 ) 2 (2 sin . 其中 L 为沿曲线 = −1 x y e 从 点 ( 0 , 0 ) 到点 ( ln2 ,1) 的路径 . 8 V : + 2 , + 2( + ). 2 2 2 2 2 2 x y x x y z x y 为 V 的表面外侧.计算积分 x y z dydz x y z dzdx x y z )dxdy 2 3 ( ) ( cos ) ( 3 2 2 3 2 + + + + − + + − . 四． （ 满分 2 4 分，每小题 8 分）证明题： 1 x y y f x y + = 2 ( , ) . 证明极限 lim ( , ) 0 0 f x y y x → → 不存在 . 2 设函数 u(x, y) 和 v(x, y) 可微 . 证明 grad(uv) = u gradv + v gradu . 3 设函数 f 在有界闭区域 D 上连续. 试证明: 若在 D 内任一子区域 D D 上 都有 = D f (x, y)dxdy 0, 则在 D 上 f (x, y) 0 . （三十八） 二年级《数学分析Ⅱ》考试题 一 计算下列偏导数或全微分（共 18 分，每题 6 分）： 1 设 y x f (x, y) = xy+ ，求 x f ， y f ， x y f 2 ； 2 设 z = sin( x cos y) ，求全微分 dz ； 3 求由方程 x + 2y + z −2 xyz = 0 所确定的隐函数的偏导数 x z ， y z 。 二 求函数 y z xe 2 = 在点 P(1,1) 处从 P(1,1) 到 Q(2,−1) 方向的方向导数。（12 分）
三(14分)设 XXvSIn x2+y2≠O fox, y) 1求f2(0O),f,(020) 2证明:f(x,y)在点(0,0)处可微。 四求曲面3x2+2y2-2-1=0在点P(1,1,2)处的切平面和法线方程。(16分) 五证明:半径为R的圆的内接三角形面积最大者为正三角形。(14分) 六(14分)计算下列重积分: Jx2yxd其中D为直线x=-1x=1,x=2及曲线y=x2围成的区 域 xxh其中9为由曲面z=x2+y2,三个坐标平面及平面 x+y=1围成的区域 七(12分)求函数f(x,y,z)=xy+在约束条件x+y+2=0及 x2+y2+2=1下的最大值和最小值 三十九)二年级《数学分析Ⅱ》考试题 一(15分)设x,y为欧氏空间中的任意两个向量,证明“平行四边形定理” 二计算下列极限:(10分) x+y|2+|x-y2=2(x12+|y|2) log( x+ (x,y)>(1,0) x-+1 (x,1)—>(O,O) (10分)设隐函数y(x)由方程 y=2 x arctan(x≠O) 定义,求y及y”。 三计算下列偏导数:(10分)
10 三 （14 分）设 + = + = + 0, 0. , 0; 1 sin ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 1 求 (0,0) x f ， (0,0) y f ； 2 证明： f (x, y) 在点（0，0）处可微。 四 求曲面 3 2 2 1 0 2 2 x + y − z − = 在点 P(1,1,2) 处的切平面和法线方程。（16 分） 五 证明：半径为 R 的圆的内接三角形面积最大者为正三角形。（14 分） 六 （14 分）计算下列重积分 ： 1、 D x ydxdy 2 其中 D 为直线 x = −1, x =1, x = 2 及曲线 2 y = x 围成的区 域。 2 、 xdxdydz 其 中 为由曲面 2 2 z = x + y ， 三 个 坐 标 平 面及 平 面 x + y = 1 围成的区域。 七 （ 12 分 ） 求 函 数 2 f (x, y,z) = xy+ z 在 约 束 条 件 x + y + z = 0 及 1 2 2 2 x + y + z = 下的最大值和最小值。 （三十九）二年级《数学分析Ⅱ》考试题 一（15 分）设 x, y 为欧氏空间中的任意两个向量，证明“平行四边形定理”： 二 计算下列极限：（10 分） 1 ( , ) (1,0) 2 2 log( ) lim x y x e y x y + + → ； 2 2 4 lim ( ) 2 2 ( , ) (0,0) x y x y x + y → ； 二 （10 分）设隐函数 y(x) 由方程 定义，求 y' 及 y'' 。 三 计算下列偏导数：（10 分） || || || || 2(|| || || || ) 2 2 2 2 x + y + x − y = x + y x y y = 2x arctan (x 0)