(十八)数学分析2考试试题 、叙述题:(每小题6分,共18分) 1、牛顿-莱不尼兹公式 2、∑an收敛的 cauchy收敛原理 3、全微分 二、计算题:(每小题8分,共32分) tdt l、lm 2、求由曲线y=x2和x=y2围成的图形的面积和该图形绕x轴旋转而成的几何体的体 的收敛半径和收敛域,并求和 n 4、已知u=x,求 a2 三、(每小题10分,共30分) 1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数 2、讨论反常积分[ xe dx的敛散性 3、讨论函数列S()=yx2+n2x∈(=2+)的一致收敛性 四、证明题(每小题10分,共20分) 1、设xn>0,m>1-(n=1.2…),证明∑xn发散 xy 0 2、证明函数∫(x,y) 在(0,0)点连续且可偏导, 但它在该点不可微。 参考答案 1、设∫(x)在[a,b连续,F(x)是f(x)在[a,b上的一个原函数,则成立 f(xdx= F(6-F(a) 2、VE>03N>0,使得Vm>n>N,成立n1+an2+…+an<E
（十八）数学分析 2 考试试题 一、叙述题：（每小题 6 分，共 18 分） 1、 牛顿-莱不尼兹公式 2、 n=1 n a 收敛的 cauchy 收敛原理 3、 全微分 二、计算题：（每小题 8 分，共 32 分） 1、 4 0 2 0 2 sin lim x t dt x x → 2、求由曲线 2 y = x 和 2 x = y 围成的图形的面积和该图形绕 x 轴旋转而成的几何体的体 积。 3、求 =1 ( +1) n n n n x 的收敛半径和收敛域，并求和 4、已知 z y u = x ，求 x y u 2 三、（每小题 10 分，共 30 分） 1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数 2、讨论反常积分 + − − 0 1 x e dx p x 的敛散性 3、讨论函数列 ( , ) 1 ( ) 2 2 = + x − + n S x x n 的一致收敛性 四、证明题（每小题 10 分，共 20 分） 1、设 ( 1,2 ) 1 0, 1 +1 − n = x n x x n n n ，证明 n=1 n x 发散 2、证明函数 + = + = + 0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 在（0，0）点连续且可偏导， 但它在该点不可微。， 参考答案 一、1、设 f (x) 在 [a,b] 连续， F(x) 是 f (x) 在 [a,b] 上的一个原函数，则成立 f (x)dx F(b) F(a) b a = − 2、 0.N 0, 使得 m n N ，成立 + + + an+1 an+2 am
3、设DcR2为开集,z=f(x,y),(x,y)∈D是定义在D上的二元函数, f(x,y)为D中的一定点,若存在只与点有关而与Ax,△y无关的常数A和B,使得 △=Ax+BAy+o(△x2+y2)则称函数f在点P(x0,y)处是可微的,并称 AAx+B△y为在点P(x0,y)处的全微分 二、1、分子和分母同时求导 lim =lim xsIn x (8分) 3 2、、两曲线的交点为(0,0),(1,1)(2分) 所求的面积为:(√x-xM1(3分) 所求的体积为:n[(x-x3)3几(3分) 3、解:设f(x)=∑ lim (n+I)(n+ =1,收敛半径为1,收敛域 n(n+1)n→ n(n+1) [-1,1](2分) f(x)=∑ i(n+D)x h(1-x)(0<<1 f(x)=./0M=1+11-x)0<1)分) x=0级数为0,x=1,级数为1,x=-1,级数为1-21n2(3分) In (3分) a2u I-I 1、解 -X =x:lx+x(5分) axd 三、1、解、有比较判别法, Cauchy,D’ Alembert, Raabe判别法等(应写出具体的内容4分) (n+1) (+) =lm(1--)”=e-1(4分)由 D Alembert判别法知级数收敛(1分) 解:C”x-c“d=∫x“h+「xe“(2分,对∫xc“h,由于 xxpe-→1(x→+0)故p0时[xme收敛(4分):[xe'ax,由于 x2xc2→x→+∞)(4分)故对一切的x2cd收敛,综上所述D,积分
3、设 2 D R 为开集， z = f (x, y),(x, y) D 是定义在 D 上的二元函数， ( , ) 0 0 0 P x y 为 D 中的一定点，若存在只与点有关而与 x,y 无关的常数 A 和 B，使得 ( ) 2 2 z = Ax + By + o x + y 则称函数 f 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 处是可微的，并称 Ax + By 为在点 ( , ) 0 0 0 P x y 处的全微分 二、1、分子和分母同时求导 3 1 6 2 sin lim sin lim 5 4 0 6 0 2 0 2 = = → → x x x x t dt x x x （8 分） 2、 、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2 分） 所求的面积为： 3 1 ( ) 1 0 2 − = x x dx （3 分） 所求的体积为： 10 3 ( ) 1 0 5 − = x x dx （3 分） 3、 解：设 = + = 1 ( 1) ( ) n n n n x f x ， 1 ( 1) 1 ( 1)( 2) 1 lim = + + + → n n n n n ，收敛半径为 1，收敛域 [-1，1]（2 分） ln(1 ),(0 1), 1 1 ( 1) ( ) 1 2 1 ' = − − − + = = − x x n x x x f x n n ln(1 ),(0 1) 1 ( ) ( ) 1 0 ' − − = = + x x x x f x f t dt x (3 分） x=0 级数为 0，x=1，级数为 1，x=-1，级数为 1-2ln2（3 分） 4、解： y u = z x x z y ln （3 分） = x y u 2 zx x x x z y z y 1 ln 1 + − (5 分） 三、1、解、有比较判别法，Cauchy,D’Alembert,Raabe 判别法等（应写出具体的内容 4 分） 1 1 ) 1 1 lim (1 ! ( 1) ( 1)! lim − → + → = + = − + + e n n n n n n n n n n （4 分）由 D’Alembert 判别法知级数收敛（1 分） 2、解： + − − − − + − − = + 1 1 1 0 1 0 1 x e dx x e dx x e dx p x p x p x （2 分），对 − − 1 0 1 x e dx p x ，由于 1( 0) 1 1 → → + − − − x x e x p p x 故 p>0 时 − − 1 0 1 x e dx p x 收敛（4 分）； + − − 1 1 x e dx p x ，由于 0( ) 2 1 → → + − − x x e x p x （4 分）故对一切的 p + − − 1 1 x e dx p x 收敛，综上所述 p>0，积分
收敛 3、解:S()=1x2+收敛于(4分)D|5,(x)-=0所以函数列 一致收敛性(6分) 四、证明题(每小题10分,共20分) 1、证明:互x.x_x2、12n-2 n-1+(n>2)(6分) 发散,由比较判别法知级数发散(4分) n=n-1 2、证明:04-x=√xy(4分)lmn xy=0所以函数在(0,0) (x,y)→+(0,0) 点连续,(3分)又im-=0,∫2(0,0),f,(0,0)存在切等于0,(4分)但 →0△x AxAy不存在,故函数在(0,0)点不可微(3分) (Ax,Ay)+(00)△x2+△y (十九)数学分析2考试题 叙述题:(每小题5分,共10分) 1、叙述反常积分上f(x)dx,a为奇点收敛的 cauchy收敛原理 2、二元函数f(x,y)在区域D上的一致连续 、计算题:(每小题8分,共40分) noon+1 n+2 =a(t-sin 1) 2、求摆线 y=al-cos0te[02]与x轴围成的面积 3、求(cp)1+x2 dx 4、求幂级数∑(x-) 的收敛半径和收敛域 讨论与验证题:(每小题10分,共30分) 1、f(x,y2x,,求lmmf(x,y) lim lim y(xy):加m0f(x,y)是否存在? (x,y)+(0,0)
收敛 3、解： 2 2 1 ( ) n S x x n = + 收敛于 x （4 分） lim sup ( ) 0 ( , ) − = − + → S x x n x n 所以函数列 一致收敛性（6 分） 四、证明题（每小题 10 分，共 20 分） 1、证明： 1 1 1 2 3 2 2 1 3 1 2 4 2 3 − = − − = − n n n x x x x x x x x n n n ,( 2) 1 1 2 − x n n xn （6 分） =2 −1 1 n n 发散，由比较判别法知级数发散（4 分） 2、证明： 0 | | | | 2 2 xy x y xy + （4 分） ( , ) (0,0) 2 2 lim x y xy x y + → =0 所以函数在（0，0） 点 连 续 ，（ 3 分 ） 又 0 0 lim 0 = x→ x ， (0,0), (0,0) x y f f 存 在 切 等 于 0 ，（ 4 分 ） 但 2 2 ( , ) (0,0) lim x y x y x y + → 不存在，故函数在（0，0）点不可微（3 分） （十九）数学分析 2 考试题 一、叙述题：(每小题 5 分，共 10 分） 1、 叙述反常积分 f x dx a b a ( ) , 为奇点收敛的 cauchy 收敛原理 2、 二元函数 f (x, y) 在区域 D 上的一致连续 二、计算题：（每小题 8 分，共 40 分） 1、 ) 2 1 2 1 1 1 lim ( n n n n + + + + → + 2、求摆线 [0,2 ] (1 cos ) ( sin ) = − = − t y a t x a t t 与 x 轴围成的面积 3、求 + − + + dx x x cpv 2 1 1 ( ) 4、求幂级数 = − 1 2 ( 1) n n n x 的收敛半径和收敛域 5、 ( , ) y x u = f xy ， 求 x y u 2 三、讨论与验证题：（每小题 10 分，共 30 分） 1、 x y x y f x y + − = 2 ( , ) ，求 lim lim ( , ),lim lim ( , ) 0 0 0 0 f x y f x y x→ y→ y→ x→ ； lim ( , ) ( , ) (0,0) f x y x y → 是否存在？
为什么? 2、讨论反常积分如x的敛散性 3、讨论、n3(√2+(-1)”) 的敛散性。 3 四、证明题:(每小题10分,共20分) 1、设f(x)在[ab连续,f(x)≥0但不恒为0,证明[f(x)dtx>0 2、设函数u和v可微,证明grad(u)= gradu+ gradu 参考答案 1、vE>038>0,使得v0038>0,使得 x1-x2|<6xx2∈D,成立(x)-f(x2)<E 1、由于一在[0,1]可积,由定积分的定义知(2分) lim +…+一)=lm dx= hn 2(6 →n+1n+2 l- n 分 4、、所求的面积为:a(-cosx)2dr=3m2(8分) A 1+x 5、解:(cp)2dx=m dx=丌(3分) 4、解:lmq=1,r=1(4分) 由于x=0,x2时,级数均收敛,所以收敛域为[0,2](4分) 5.解x一产(3分)0=+y+-/(5分) 三、1、解 lim ==1 lim lim lin 0(5分)由于沿y=kx趋于(0,0) pu y-o xt y x+y 极限为—所以重极限不存在(5分) 1+k +oo arctan x arctan x arctan x arctan x 2、解 dx d x(2分), dx,由于
为什么？ 2、讨论反常积分 + 0 arctan dx x x p 的敛散性。 3、讨论 = + − 1 3 3 ( 2 ( 1) ) n n n n n 的敛散性。 四、证明题：（每小题 10 分，共 20 分） 1、 设 f（x）在[a,b]连续， f (x) 0 但不恒为 0，证明 ( ) 0 b a f x dx 2、 设函数 u 和 v 可微，证明 grad(uv)=ugradv+vgradu 参考答案 1、 0. 0, 使得 0 1 2 ，成立 − − 2 1 ( ) a a f x dx 2 、 设 2 D R 为点集， m f : D → R 为 映 射 ， 0. 0, 使 得 x1 − x2 , x1, x2 D ，成立 ( ) − ( ) 1 2 f x f x 二、1、由于 1+ x 1 在[0，1]可积，由定积分的定义知（2 分） ) 2 1 2 1 1 1 lim ( n n n n + + + + → + = ln 2 1 1 ) 1 1 2 1 1 1 1 1 ( 1 lim 1 0 = + = + + + + + → dx x n n n n n n （6 分） 4、 、所求的面积为： 2 2 0 2 a(1 cos x) dx 3a − = （8 分） 5、 解： = + + = + + →+ − + − A A A dx x x dx x x cpv 2 2 1 1 lim 1 1 ( ) (3 分） 4、解： 1 1 lim 2 = → n n x ，r=1（4 分） 由于 x=0，x=2 时，级数均收敛，所以收敛域为[0，2]（4 分） 5、解： y u = 1 2 2 y x f x − f （3 分） 2 11 22 3 2 1 2 y x f xy f y f f x y u = + + − （5 分） 三、1、解、 lim lim lim 1,lim lim lim 0 2 0 2 0 0 0 2 0 0 = = + − = = + − → → → → → → y y x y x y x x x y x y x y x y x y （5 分）由于沿 y = kx 趋于（0，0） 极限为 1+ k 1 所以重极限不存在（5 分） 2、解： + + = + 1 1 0 0 arctan arctan arctan dx x x dx x x dx x x p p p （2 分），对 1 0 arctan dx x x p ，由于
arctan →1(x→+0)故2时 rotan x dx收敛(4分); 广:, 由于 x"mnx→x(x→+)(4分)故Dx收敛,综上所述12,积分收 3、解:mnm2+(-1)T=y2+1 30(4分),f(x)atx2f(x)dr>0(4分) 2、证明:以二元函数为例 grad(uv)=(u,v+v u,u,v+v,u=(u v, u, v)+v, u,v, u)=v(u,, u,)+uv,,v,)=gradu+ ugradv (10分) (二十)数学分析2考试题 五、叙述题:(每小题5分,共15分) 、定积分 2、连通集 3、函数项级数的一致连续性 六、计算题:(每小题7分,共35分) 1、si(hx)dx 2、求三叶玫瑰线r=asn30b∈[0,x]围成的面积 cos 的上下极限 4、求幂级数X(x+1) 2的和 5、=f(xy)为可微函数,求(如)2+(4)2在极坐标下的表达式 七、讨论与验证题:(每小题10分,共30分) x≠0,y≠0 1、已知∫(x,y)= (x+y)sn-cos 求Imf(x,y),问 x=0或y=0 limlim f(x,y) limlim f(x,y)是否存在?为什么?
1( 0) 1 arctan → → + − x x x x p p 故 p1 + 1 arctan dx x x p 收敛，综上所述 1<p<2，积分收 敛 3、解： 1 3 2 1 3 [ 2 ( 1) ] lim 3 + = + − →+ n n n n n 所以级数收敛（10 分） 四、证明题（每小题 10 分，共 20 分） 1、证明：由 f (x) 0 但不恒为 0，至少有一点 [ , ] x0 a b f（x）在[a,b]连续（2 分），存 在包含 x0 的区间 [c,d] [a,b] ，有 f (x) 0 （4 分）， ( ) ( ) 0 d c b a f x dx f x dx （4 分） 2、证明：以二元函数为例 grad uv u v v u u v v u u v u v v u v u v u u u v v vgradu ugradv ( ) = ( x + x , y + y ) = ( x , y ) + ( x , y ) = ( x , y ) + ( x , y ) = + （10 分） （二十）数学分析 2 考试题 五、叙述题：（每小题 5 分，共 15 分） 1、定积分 2、连通集 3、函数项级数的一致连续性 六、计算题：（每小题 7 分，共 35 分） 1、 e x dx 1 sin(ln ) 2、求三叶玫瑰线 r = asin 3 [0,] 围成的面积 3、求 5 2 cos 2 1 n n n xn + = 的上下极限 4、求幂级数 = + 1 2 ( 1) n n n x 的和 5、u = f (x, y) 为可微函数， 求 2 2 ( ) ( ) y u x u + 在极坐标下的表达式 七、讨论与验证题：（每小题 10 分，共 30 分） 1、已知 = = + = 0 0 0 0, 0 1 cos 1 ( )sin ( , ) 2 2 x y x y x y x y f x y 或 ，求 lim ( , ) ( , ) (0,0) f x y x y → ，问 lim lim ( , ),lim lim ( , ) 0 0 0 0 f x y f x y x→ y→ y→ x→ 是否存在？为什么？
2、讨论反常积分 dx的敛散性 3、讨论fn(x) x∈[0,1的一致收敛性 1+n+x 八、证明题:(每小题10分,共20分) 1、设f(x)在[a,+∞)上单调增加的连续函数,f(0)=0,记它的反函数f(y), 证明(x女+(0)h≥ab(a>0.b>0) 2、设正项级数∑xn收敛,证明级数∑x2也收敛 参考答案 、1、设有定数I,VE>03δ>0,使得对任意的分法 a=x003N()>0,使得Vm>n>N,成立an+an2+…+am<E Is sin(h x)dr=xsin h cos(n x)dr=esin l-e 1+1-sin(h x)c (5分) sin(In x)dx=(esn1- ecos 1+1)(2分) 由对称性知,所求的面积为:6×2[2sin230=a,-(7分) 7、解:上极限为0.5,下极限为ˉcos-"(7分) 4、解:lm=,r=2(3分) 收敛域为(-3,1),级数的和为 (4分), 5、解:设极坐标方程为 x=rcos0,y=rsin 0=u cos+u, sin 8 rsin gu arcos euu (5分)()2+()2=()2 )2(2分
2、讨论反常积分 + 0 + 1 dx x x p q 的敛散性。 3、讨论 [0,1] 1 ( ) + + = x n x nx f x n 的一致收敛性。 八、证明题：（每小题 10 分，共 20 分） 1、 设 f（x）在[a,+∞）上单调增加的连续函数， f (0) = 0 ，记它的反函数 f --1（y）， 证明 ( ) ( ) ( 0, 0) 0 1 0 + − f x dx f y dy ab a b a b 2、 设正项级数 n=1 n x 收敛，证明级数 =1 2 n n x 也收敛 参考答案 一、1、设有定数 I， 0. 0, 使得对任意的分法 a = x0 x1 xn = b 和任意的点 [ , ] i i 1 i x x − ，只要 = max( ) 1 i i n x ，成立 − = n i i i f x I 1 ( ) 2、 S 的任意两点 x，y 之间，都存在 S 中的一条道路 r，则称 S 为连通集 3、 0.N( ) 0, 使得 m n N ，成立 + + + an+1 an+2 am 二、1、 = − = − + − e e e e x dx x x x dx e e x dx 1 1 1 1 sin(ln ) sin ln | cos(ln ) sin 1 cos1 1 sin(ln ) （5 分） ( sin 1 cos1 1) 2 1 sin(ln ) 1 = − + x dx e e e （2 分） 6、 由对称性知，所求的面积为： 4 sin 3 2 6 2 2 0 2 2 a d a = （7 分） 7、 解：上极限为 0.5，下极限为 5 4 cos 2 1 (7 分） 4、解： 2 1 2 1 lim = → n n n ，r=2（3 分） 收敛域为（-3，1），级数的和为 1− x 1 （4 分）， 5、解： 设极坐标方程为 x = r cos , y = rsin x u = ux cos + uy sin x uy r u r u = − sin + cos （5 分） 2 2 ( ) ( ) y u x u + = 2 2 2 ( ) 1 ( ) + u r r u （2 分）
三、1、解、由于sn+cos-有界,x2+y2为无穷小,lmf(x,y)=0(5分) (x,y)+(0,0 lim lim(x+ y)sin -cos-=limlim x sin-coS -+lim y sin-cos- imx2 sIn-cOs-极限不存在,my2sn-cos极限存在,故整体极限不存在,同理 lim lim f(x,y)不存在(5分) xtro rs dx(2分),对 0x+x 由于xmpq) →1(x→+0)故mm(pq)+∞)(4分)故 x+x max(p, q)>1 dx收敛,综上所述mim(p,q)1时,积分收 x+x 敛(2分) 解:m(x)=x=/()(3分)m甲(x)-(x)=139+”+10 所以函数列一致收敛(7分) 四、证明题(每小题10分,共20分) 1证明:当b=f(o时,/(x)+/(地h=mb(a>0b>0)(4分) 当b>f(a)时,[f(x)ax+广(y)>amb(a>0,b>0)(3分) 当bab(a>0b>0)(3分) 2、证明:由于收敛∑xn,故mxn=0(2分),于是,总存在彐n使得n≥m时, 有0≤xn<1,从而,当n≥m时,有0≤x2<xn(5分),由于级数∑xn收敛,当然∑x 收敛,故级数∑x2收敛,从而∑x2也收敛(3分)
三、1、解、由于 x y 1 cos 1 sin 有界， 2 2 x + y 为无穷小， = → lim ( , ) ( , ) (0,0) f x y x y 0 （5 分） ) 1 cos 1 lim sin 1 cos 1 lim (lim sin 1 cos 1 lim lim ( )sin 2 0 2 0 0 2 2 0 0 x y y x y x x y x y x→ y→ x→ y→ y→ + = + ， 而 x y x y 1 cos 1 lim sin 2 →0 极限不存在， x y y y 1 cos 1 lim sin 2 →0 极限存在，故整体极限不存在，同理 lim lim ( , ) 0 0 f x y y→ x→ 不存在（5 分） 2、解： + + + + + = + 1 1 0 0 1 1 1 dx x x dx x x dx x x p q p q p q （2 分），对 + 1 0 1 dx x x p q ， 由 于 1( 0) min( , ) 1 → → + + x x x x p q p q 故 min( p,q) 1 时 + 1 0 1 dx x x p q 收敛（ 4 分 ）； + 1 + 1 dx x x p q ，由于 1( ) max( , ) 1 → → + + x x x x p q p q （ 4 分）故 max( p,q) 1 + 1 + 1 dx x x p q 收敛，综上所述 min( p,q) 1， max( p,q) 1 时，积分收 敛（2 分） 3、解： lim f (x) x f (x) n n = = → （3 分）， 0 1 lim sup ( ) ( ) lim sup 2 = + + + − = → → x n n n n x x x f x f x 所以函数列一致收敛（7 分） 四、证明题（每小题 10 分，共 20 分） 1 证明：当 b = f (a) 时， ( ) ( ) ( 0, 0) 0 1 0 + = − f x dx f y dy ab a b a b （4 分） 当 b f (a) 时， ( ) ( ) ( 0, 0) ( ) 0 1 0 + − f x dx f y dy ab a b a f a （3 分） 当 b f (a) 时， ( ) ( ) ( 0, 0) 0 1 ( ) 0 1 + − − f x dx f y dy ab a b f b b （3 分） 2、证明：由于收敛 n=1 n x ，故 lim = 0 → n n x （2 分），于是，总存在 0 n 使得 n n0 时， 有 0 xn 1 ，从而，当 n n0 时，有 n n x x 2 0 （5 分），由于级数 n=1 n x 收敛，当然 = 0 n n n x 收敛，故级数 = 0 2 n n n x 收敛，从而 =1 2 n n x 也收敛（3 分）