第五章导数 合数学要求: 1.熟练掌握导数的四则运算法则; 2.熟练掌握反函数复合函数求导法则; 3.熟记基本初等函数与常见的初等函 数的导数表达式; 4.了解高阶导数的定义和高阶导数的 运算法则包括高阶导数的莱布尼兹 公式 5.掌握导数和微分的基本应用。 下页
1. 熟练掌握导数的四则运算法则; 2. 熟练掌握反函数复合函数求导法则; 3. 熟记基本初等函数与常见的初等函 数的导数表达式; 4. 了解高阶导数的定义和高阶导数的 运算法则,包括高阶导数的莱布尼兹 公式 5. 掌握导数和微分的基本应用。 第五章 导 数 教学要求： 下页
第五章导数与微分 §1导数概念 在第一章我们研究了函数,函数的概念刻画了因变量随自变量变化的依赖关系,但 是,对研究运动过程来说,仅知道变量之间的依赖关系是不够的,还需要进一步知道因 变量随自变量变化的快慢程度,比如我国的卫星发射技术已进入世界先进行列,并且即 将发射载人宇宙飞船,火箭升空过程中飞行速度的变化非常快,我们对它每时每刻的 行速度都必须准确的把握,才能确保火箭准时进入预定的轨道,可见研究物体每时每刻 的速度是很重要的,掌握速度变化规律是科学技术中的一个重要课题 下页
第 五 章 导数与微分 §1 导数概念 在第一章我们研究了函数，函数的概念刻画了因变量随自变量变化的依赖关系，但 是，对研究运动过程来说，仅知道变量之间的依赖关系是不够的，还需要进一步知道因 变量随自变量变化的快慢程度，比如我国的卫星发射技术已进入世界先进行列，并且即 将发射载人宇宙飞船，火箭升空过程中飞行速度的变化非常快，我们对它每时每刻的飞 行速度都必须准确的把握，才能确保火箭准时进入预定的轨道，可见研究物体每时每刻 的速度是很重要的，掌握速度变化规律是科学技术中的一个重要课题。 下页
变速运动物体的速度问题 在中学里我们学过平均速度△S平均速度只能使我们对物体在一段时间 内的运动大致情况有个了解,这不但对于火箭发射控制不够,就是对于比火箭 速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的,火车上坡、下坡、转弯、穿隧道 时速度都有一定的要求,至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的度,而且要掌握 火箭飞行速度的变化规律。 不过瞬时速度的概念并不神秘,它可以通过平均速度的概念来把握。根据牛 顿第一运动定理,物体运动具有惯性,不管它的速度变化多么快,在一段充分短 的时间内,它的速度变化总是不大的,可以近似看成匀速运动。通常把这种近似 代替称为“以匀代不匀”。设物体运动的路程是时间的函数S(1),则在t0到 t这段时间内的平均速度为 v s(t)-S( t一to 下页
变速运动物体的速度问题 在中学里我们学过平均速度 t s ， 平均速度只能使我们对物体在一段时间 内的运动大致情况有个了解， 这不但对于火箭发射控制不够，就是对于比火箭 速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道 时速度都有一定的要求， 至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的度，而且要掌握 火箭飞行速度的变化规律。 不过瞬时速度的概念并不神秘， 它可以通过平均速度的概念来把握。根据牛 顿第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短 的时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动。通常把这种近似 代替称为“以匀代不匀”。 设物体运动的路程是时间的函数 S(t)，则在 0 t 到 t 这段时间内的平均速度为 0 0 t t S(t) S(t ) v − − = 下页
可以看田t与t越接近,平均速度与l时刻的瞬时速度越接近,当 1)无限接近o时,平均速度v就发生了一个质的飞跃,平均速度转化为物体在 t0时刻的瞬时速度,即物体在t0时刻的瞬时速度为 S(t-s(t) v(to)=lim t→t t一t 按照这种思想和方法计算自由落体的瞬时度如下 因为自由落体运动的运动方程为: gt2,t∈[0,T], 按照上面的公式 v(t)=lim S-S gt-rgto lim lim(t+to=gt t→tt一t t→t t→0 2 这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式 下页
可以看出 t 与 0 t 越接近，平均速度 v 与 0 t 时刻的瞬时速度越接近，当 t 无限接近 0 t 时，平均速度 v 就发生了一个质的飞跃，平均速度转化为物体在 0 t 时刻的瞬时速度， 即物体在 0 t 时刻的瞬时速度为 0 0 t t 0 t t S(t) S(t ) v(t ) lim 0 − − = → （1） 按照这种思想和方法计算自由落体的瞬时度如下： 因为自由落体运动的运动方程为： g t , t [ 0 ,T ] 2 1 s 2 = ， 按照上面的公式 0 0 t t 0 2 0 2 t t 0 0 t t ( t t ) g t 2 g lim t t g t 2 1 g t 2 1 lim t t s s v(t) lim 0 0 0 = + = − − = − − = → → → 这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式。 0 t t t 下页
切线问题 设曲线的方程为f(x),L为过曲线上两点P(x0,y)与P(x,y)的割线, 则Ln的斜率为 f(x-f(x 0 如图(d51)当点P(x,y)沿着曲线趋近 P(x0,y)时,割线L就趋近于点P(x02y) 处的切线,k趋近于切线的斜率K,因此切 线的斜率应定义为 f(x-f(x K=lim (2) x→X X-X 0 上述的速度和切线的例子虽然各有其特殊内容 下页
切线问题 设曲线的方程为 f (x) ，Lp 为过曲线上两点 ( , ) 0 0 0 P x y 与 P(x, y) 的割线， 则 Lp 的斜率为 0 0 p x x f(x) f(x ) k − − = 如图 (d51) 当点 P(x, y) 沿着曲线趋近 ( , ) 0 0 0 P x y 时，割线 Lp 就趋近于点 ( , ) 0 0 0 P x y 处的切线， p k 趋近于切线的斜率 K ，因此切 线的斜率应定义为 0 0 x x x x f(x) f(x ) K lim 0 − − = → （2） 上述的速度和切线的例子虽然各有其特殊内容 o x y y = f (x) T 0 x x N M 下页
2切线问题割线的极限位置—切线位置 1.251.51.7522.252.52.753
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 播放 下一页 上一页
导数的定义 上述的速度和切线的例子虽然各有其特殊内容,但如果撇开它们具体的物理 意义,单从数量关系上看它们有共同的本质,两者都表示函数因变量随自变量变 化的快慢程度,即都反映了函数的变化率 li f(x)-f(x0) (X0 0 定义1、设函数y=f(x)在点x的某邻域内有定义,若极限 f(x)-f(x0) lim x→X X-X 存在,则称函数∫在点x可导,并称该极限为函数f在点x处的导数, d f(xo), y'I 0 X=Xo 等. 若上述极限不存在,则称f在点x0不可导。 下页
二、导数的定义 上述的速度和切线的例子虽然各有其特殊内容，但如果撇开它们具体的物理 意义，单从数量关系上看它们有共同的本质，两者都表示函数因变量随自变量变 化的快慢程度，即都反映了函数的变化率 0 0 x x x x f(x) f(x ) lim 0 − − → （3） 定义 1、设函数 y = f (x)在点 0 x 的某邻域内有定义，若极限 0 0 x x x x f(x) f(x ) lim 0 − − → 存在，则称函数 f 在点 0 x 可导，并称该极限为函数 f 在点 0 x 处的导数， 0 0 0 0 x x x x x x | dx df | , dx dy f (x ) , y | , = = = 等. 若上述极限不存在，则称 f 在点 0 x 不可导。 下页
注:令x=x0+Ax,y=f(x0+△x)-f(x),则(3)式可改写为 △=1(x+△x)=f"(x0 (4) →>0△x △ 所以,导数是函数增量△y与自变量增量△x之比坐的极限,这个增量比称 为函数关于自变量的平均变化率(又称差商),而导数f(x0)则为∫在x0处关于 x的变化率,它能够近似描绘函数y=f(x)在点x0附近的变化性态。 例1求函数f(x)=x2在点x=1处的导数,并求曲线在点(1,1)处的 切线方程。 解:由定义求得 f(1)=1im f(1+△x)-f(1) 7mn(1+△x) Ax0 △x Ax>0 △x 7im2△x+P lim(2+△x)=2 Ax>0 △x △x0 下页
注：令 x = x0 + x ， ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x ，则（3）式可改写为 f ( x ) Δ x f(x Δx) f(x ) lim Δ x Δ y lim 0 0 0 Δ x 0 Δ x 0 = + − = → → （4） 所以，导数是函数增量△y 与自变量增量△x 之比 x y 的极限，这个增量比称 为函数关于自变量的平均变化率（又称差商），而导数 ( ) 0 f x 则为 f 在 0 x 处关于 x 的变化率，它能够近似描绘函数 y = f (x) 在点 0 x 附近的变化性态。 例 1 求函数 2 f (x) = x 在点 x = 1 处的导数，并求曲线在点（1，1）处的 切线方程。 解：由定义求得 Δ x ( 1 Δx) 1 lim Δ x f(1 Δx) f(1) f (1) lim 2 Δ x 0 Δ x 0 + − = + − = → → lim( 2 Δx) 2 Δ x 2Δx Δ x lim Δ x 0 2 Δ x 0 = + = + = → → 下页
由此知道抛物线y=x2在点(1,1)处 的切线斜率为 k=f'(1)=2 所以切线方程为 y-1=2(x-1) 即 2x-1 例2求函数y=1在xn≠0处 的导数 解根据导数的定义 lim 40+4 X li △X Ax-)0△xx0(x0+△x lir Ax→0x0(x0+△x) 0 下页
由此知道抛物线 2 y = x 在点（1，1）处 的切线斜率为 k = f(1)= 2 所以切线方程为 y −1 = 2(x− 1 ) 即 y = 2x −1. 例 2 求函数 x y 1 = 在 x0 0 处 的导数 解 根据导数的定义 2 0 0 0 Δx 0 0 0 0 0 Δx 0 0 0 Δx 0 0 x 1 x (x Δx) 1 lim Δxx (x Δx) x x Δx lim Δx x 1 x Δx 1 f (x ) lim = − + − = + − − = − + = → → → 下页
例3证明函数f(x)=x在点x0=0处不可导 证:因为 f(x)-f(0) X> X-0 1,x0x-0 不存在,所以f(x)在x=0处不可导 不可导点 下页
例3 证明函数 f(x)=|x| 在点 x 0 0 = 处不可导. 证: 因为 − = = − − 1 , x 0 1 , x 0 x x x 0 f(x) f(0) 极限 x 0 f(x) f(0) lim x 0 − − → 不存在，所以 f (x)在 x = 0 处不可导. 例4 证明 函数 = = 0 , x 0 , x 0 x 1 xsin f(x) 在 x = 0 处不可导 证明 由于极限 x 0 f(x) f(0) lim x 0 − − → ， 不存在,所以f(x)在 x = 0处不可导. y o 1/π 1/π x 1 |x| x y o 不可导点 不可导点 下页