Pyre 第一章实数集与函数 白数学目标 1掌握函数的概念及表示方法; 2理解函数的单调性、有界性、奇 偶性、周期性等基本性质; 3理解复合函数、反函数、基本初 等函数、初等函数等概念。 下页
1 掌握函数的概念及表示方法； 2 理解函数的单调性、有界性、奇 偶性、周期性等基本性质； 3 理解复合函数、反函数、基本初 等函数、初等函数等概念。 第一章 实数集与函数 教学目标： 下页
第一章实数集与数 §1实数 数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数,因此先叙述一下实数的有关概 实数及其性质: 回顾中学中关于有理数和无理数的定义 有理数.能用互质分数2(nq为整数,q≠0)表示的数 有限十进小数或无限十进循环小数表示的数 若规定: a0a1a2…an=a0a1a2…(an-1)99…9 则有限十进小数都能表示成无限循环小数 例如:2001记为2000999…;0记为0.000 8记为-7.999 下页
第一章 实数集与函数 § 1 实 数 数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数，因此先叙述一下实数的有关概 念 一． 实数及其性质： 回顾中学中关于有理数和无理数的定义. 有理数： ( , 0) p q q p 能用互质分数 为整数， 表示的数； q 有限十进小数或无限十进循环小数表示的数 若规定： 0 1 2 0 1 2 . . ( 1)99 9 n n a a a a a a a a = − 则有限十进小数都能表示成无限循环小数。 例如：2.001 记为 2.000999 ；0 记为 0.000 ；− 8 记为 − 7.999 下页
实数大小的比较 定义1给定两个非负实数 an…,y=bobb2…b 其中a4,b为非负整数,0≤a4,b≤9。若由 1)a4=b,k=0,1,2,…则称x与y相等,记为x=y 2)若存在非负整数1,使得a4=b,(k=0,1,2,…,D,而a1>bn1, 则称x大于y(或y小于x),分别记为x>y(或y-y,则称y>x 实数的有理数近似表示 定义2设x=aa1a2…an…为非负实数,称有理数 x,=aa.a1a…a 下页
实数大小的比较 定义 1 给定两个非负实数 x = a0 .a1 a2 an , y = b0 .b1 b2bn 其中 k k a , b 为非负整数，0 , 9 k k a b 。若由 1） ak = bk , k = 0 , 1 , 2 , 则称 x 与 y 相等，记为 x = y 2） 若存在非负整数 l，使得 a b , (k 0 ,1 , 2 , ,l) k = k = ，而 l+1 l +1 a b ， 则称 x 大于 y （或 y 小于 x ），分别记为 x y （或 y x ）。 规定任何非负实数大于任何负实数；对于负实数 x , y ，若按定义 1 有 − x − y ，则称 y x 实数的有理数近似表示 定义 2 设 x = a0 .a1 a2 an 为非负实数，称有理数 n n x a a a a 0 1 2 = . 下页
为实数x的n位不足近似值,而有理数 称为x的n位过剩近似值。 对于负实数x=-aoa1a2…an x的n位不足近似值规定为:xn=-aoa1a2…a x的n位过剩近似值规定为:xn=-a0a4a2…an 比如√2=14142 则 14,1.41,1414,14142,…称为√2的不足近似值 1.5,142,1415,14143,…称为√的过剩近似值。 命题设x=ana2…,y=bbb2…为?个实数,则 x>y存在非负整数n,使得xn>jn 下页
为实数 x 的n 位不足近似值，而有理数 n n n x x 10 1 = + 称为 x 的n 位过剩近似值。 对于负实数 x = −a0 .a1 a2an x 的n 位不足近似值规定为： n n n x a a a a 10 1 . = − 0 1 2 − ； x 的n 位过剩近似值规定为： n a a a an x = − 0 . 1 2 比如 2 1.4142 = ，则 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 称为 2 的不足近似值； 1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, 称为 2 的过剩近似值。 命题 设 0 1 2 0 1 2 x a a a y b b b = = . , . 为? 个实数，则 , n n x y n x y 存在非负整数 使得 下页
例1设x,y为实数,x>y,证明:存在有理数r满足 证明由x>y→存在非负整数n,使得xn>,取r=x+y 则r显然为有理数,且 实数的一些主要性质 四则?算封闭性 2三?性(即有序性):任何两个实数a,b,必满足下述三个关系之一: b,b>c则有a>c 4 Archimedes性:Va,b∈R,b>a>0,彐n∈N,)ma>b 5稠密性:有理歉和无理数的稠密性,给出稠密性的定义. 6实数集的几何表示:数轴 a=b.◇VE>0. b 例 下页 Va>0. a<b+e a≤b
例 1 设 x , y 为实数， x y ，证明：存在有理数 r 满足 x r y 证明 由 x y 存在非负整数n ，使得 n n x y ，取 2 n n x y r + = 则 r 显然为有理数，且 x x r y y n n 实数的一些主要性质 1 四则? 算封闭性: 2 三? 性( 即有序性 ): 任何两个实数 a , b ，必满足下述三个关系之一： a b , a = b , a b 3 实数大小由传递性，即a b b c , 则有 a c. 4 Achimedes 性: a,b R, b a 0, n N, na b. 5 稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义. 6 实数集的几何表示： 数轴: 例 , 0, . 0, a < b + a b a b a b = − 下页
二.绝对值与不等式 a,a≥0 绝对值定义:|a= -a,a0 ≤a+ 5. abf ab 6 b≠0 下页
二. 绝对值与不等式 绝对值定义： , 0 | | , 0 a a a a a = − 从数轴上看的绝对值就是到原点的距离： -a 0 a 绝对值的一些主要性质 | | | | 0 0 | | 0 - < < ; | | , 0 4 . 5. | | | | | | | | 6. , 0 | | a a a a a a a a h h a h a h h a h h a b a b a b ab a b a a b b b = − = = − − + = = 1. 当且仅当 时 2 . -| | | | 3. | | 下页
性质4(三角不等式)的证明: 性质4(三角不等式)的证明: 由性质2 a≤a≤a,-|b|≤b≤|b 两式相加 (a+|b)≤a+b≤|a+|b 由性质3上式等价于|ab|sa|+|b 把上式的b换成-b得|a-b|≤a+|b 由此可推出 Lf(x)-AkE A-E<f(x)<A+8 A|=E<|f(x)|<|A|-E 下页
性质4（三角不等式）的证明： 性质 4（三角不等式）的证明： 由性质2 -|a| a |a|, -|b| b |b| 两式相加 -(|a|+|b|) a+b |a|+|b| 由性质 3 上式等价于 |a+b| |a|+|b| 把上式的 b 换成 -b 得 |a-b| |a|+|b| 由此可推出 − − − − + | | | ( ) | | | | ( ) | ( ) A f x A f x A A f x A 下页
三.几个重要不等式 (1)a2+b2≥2ab ≤1.|sinx|s|x (2)对va1,a2,…,an∈R+,记 a1+a,+…+a M(a1) (算术平均值) (a C (几何平均值) H(a1) 22∑了(湖平均值 有均值不等式:H(a)≤G(a1)≤M(a)等号当且仅当a1=a2=…=an时成立 (3) Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过) 对x>0,由二项展开式 1+x)”=1+nx+n(n-1) n(n-1)n-2) X+·+x 下页 有:(1+h)”>上式右端任何一二项
三. 几个重要不等式: （1） 2 , 2 2 a + b ab sin x 1. sin x x . （2）对 , , , , 1 2 + a a an R 记 , 1 ( ) 1 1 2 = = + + + = n i i n i a n n a a a M a (算术平均值) ( ) , 1 1 1 2 n n i i n G ai a a an a = = = (几何平均值) . 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 2 1 1 = = = = + + + = n i i n n i i i a n a a a n a n H a (调和平均值) 有均值不等式: ( ) ( ) ( ), H ai G ai M ai 等号当且仅当a1 = a2 = = an 时成立. （3） Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) 对 x 0, 由二项展开式 2 3 ( 1) ( 1)( 2) (1 ) 1 , 2! 3! n n n n n n n x nx x x x − − − + = + + + + + 有: (1 )n + h 上式右端任何一项. 下页
2数集。确界原理 区间与邻域: 区间: {xa<x<b}称为开区间,记作(a,b) {x≤x≤b}称为闭区间,记作[a,b 下页
a b a b §2 数集. 确界原理 一 区间与邻域: 区间 ： 记作 (a,b) {x a x b} 记作[a,b] 称为开区间, 称为闭区间, { x a x b} 下页
{xa≤x<b}称为半开区间,记作[an,b) b {xa<x≤b}称为半开区间,记作(ab1 无限区间 [a,+∞)={xa≤x} 0 下页
a b a b o a {x a x b} 称为半开区间, 记作[a,b) { x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b] 无限区间 [a,+) ={x a x} 下页