第七章实数的完备性 教学目标 1理解确界定理、区间套定理、 柯西收敛准则,有限覆盖定 理、聚点定理、致密性定理 单调有界定理及其相互推 证、应用。 2培养严密的逻辑推理能力
第七章 实数的完备性 数 学 分 析 教学目标： 1 理解确界定理、区间套定理、 柯西收敛准则，有限覆盖定 理、聚点定理、致密性定理 、单调有界定理及其相互推 证、应用。 2 培养严密的逻辑推理能力
第七章实数的完备性 s1关于实数集完备性的基本定理 区间套定理与柯西收敛准则 定义1区间套:设{[an,bn]}是一闭区间序列.若满足条件 i)对Vn,有[an1,bn]c[an,bn],即 an≤an0,(n→∞).即当n→>∞时区间长度趋于零 则称该闭区间序列为闭区间套,简称为区间套 区间套还可表达为
第七章 实数的完备性 §1 关于实数集完备性的基本定理 一 区间套定理与柯西收敛准则 定义 1 区间套: 设{[ , ]} an bn 是一闭区间序列. 若满足条件 ⅰ） 对 n , 有 [ , ] an +1 bn +1 [ , ] an bn , 即 an an+1 bn+1 bn , 亦即 后一个闭区间包含在前一个闭区间中; ⅱ） − → 0, bn an (n → ) . 即当n → 时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 . 区间套还可表达为:
b,<b, 我们要提请大家注意的是,这里涉及两个数列{an}和{bn},其 中{an}递增,{bn}递减 例如{[--,-]}和{[0,-]}都是区间套.但 1+-]} (0,-]}和{[--,1+-]}都不是 区间套定理
, a1 a2 an bn b2 b1 − → 0, bn an (n → ) . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列{ } an 和 { } bn , 其 中{ } n a 递增,{ } n b 递减. 例如 ]} 1 , 1 {[ n n − 和 ]} 1 {[ 0 , n 都是区间套. 但 ]} 2 , 1 ( 1 ) {[1 n n n + − + 、 ]} 1 { ( 0 , n 和 ]} 1 , 1 1 {[ n n − + 都不是. 一 区间套定理
定理7.1(区间套定理)设{[an,bn]}是一闭区间套.则在实数系 中存在唯一的点ξ,使对Vn有ξ∈[an,bn].简言之,区间套必有 唯一公共点 二聚点定理与有限覆盖定理 定义设E是无穷点集.若在点ξ(未必属于E)的任何邻域内 有E的无穷多个点,则称点为E的一个聚点 数集E={-}有唯一聚点0,但0∈E; 开区间(0,1)的全体聚点之集是闭区间[0,1];
定理 7.1(区间套定理) 设{[ , ]} n n a b 是一闭区间套. 则在实数系 中存在唯一的点 , 使对 n 有 [ , ] n n a b . 简言之, 区间套必有 唯一公共点. 二 聚点定理与有限覆盖定理 定义 设 E 是无穷点集. 若在点 (未必属于 E )的任何邻域内 有 E 的无穷多个点, 则称点 为 E 的一个聚点. 数集 E = } 1 { n 有唯一聚点 0 , 但 0 E ; 开区间 ( 0 ,1 )的全体聚点之集是闭区间[ 0 ,1];
定理7.2( Weierstrass)任一有界数列必有收敛子列 2.聚点原理: Weierstrass聚点原理 Th6每一个有界无穷点集必有聚点 1.列紧性:亦称为 weierstrass收敛子列定理. 四. Cauchy收敛准则 数列收敛的充要条件: 1.基本列:回顾基本列概念.基本列的直观意义.基本列 亦称为 Cauchy列 例1验证以下两数列为 Cauchy列 (1)xn=0.9sn0.9+0.92siny09+…+0.9sin0.9 n+1 2n-1
定理 7.2 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列. 2. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理. Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点. 1. 列紧性: 亦称为 Weierstrass 收敛子列定理. 四． Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件 : 1. 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列 亦称为 Cauchy 列. 例1 验证以下两数列为 Cauchy 列 : ⑴ n n n x 0.9sin 0.9 0.9 sin 0.9 0.9 sin 0.9 2 = + ++ . ⑵ 2 1 ( 1 ) 5 1 3 1 1 1 − − = − + − + + n a n n
解一11xmn-xn|=10.9sin0.9…+09si"0.91≤ ≤0.9n++…+0.9丌+P0,为使|xnp-xn|<E,易见只要n+110 g0.9 于是取N 1)”+2(-1) 2n+12n+3 2n+12n+3 2(n+p
解 ⑴ − = + + + + + + + | | | 0.9 sin 0.9 0.9 sin 0.9 | n 1 n 1 n p n p n p n x x + + + + 0.9 0.9 n 1 n p 0.9 n +1 ++ 0.9 n+ p + 1 1 10 0.9 1 0.9 0.9 + + = − = n n ; 对 0，为使 | − | n+ p n x x ，易见只要 lg 0.9 10 lg 1 n + . 于是取 N = . ⑵ 2( ) 1 ( 1) 2 3 ( 1) 2 1 ( 1) | | 2 3 1 + − − + + + − + + − − = + + + + + n n n p a a n n n p n p n 2( ) 1 ( 1) 2 3 1 2 1 1 1 + − − + + + − + = + n n n p p
当p为偶数时,注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个 括号均为正号,有 2n+12n+3 2(n+p) 2n+12n+3 2n+52n+7 2(n+p)-32(n+p)-1 又 2n+12n+3 2(n+p)-1 2n+1(2n+32n+5
当 p 为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个 括号均为正号 , 有 = + − + − + − + 2( ) 1 1 2 3 1 2 1 1 n n n p 0 2( ) 1 1 2( ) 3 1 2 7 1 2 5 1 2 3 1 2 1 1 + − − + − + + + − + + + − + = n p n p n n n n , 又 = + − + − + − + 2( ) 1 1 2 3 1 2 1 1 n n n p − + − + − + = 2 5 1 2 3 1 2 1 1 n n n
2(m+p)-52(n+p)-3)2(n+p)-1 2n+1 当p为奇数时, 2n+12n+3 2(n+p)-1 2n+12n+3 2(n+p)-52(n+p) ≥0 2(n+p)-1 2n+12n+3 2(n+p)
+ − − + − − + − − 2( ) 1 1 2( ) 3 1 2( ) 5 1 n p n p n p 2 1 1 + n . 当 p 为奇数时, = + − + − + − + 2( ) 1 1 2 3 1 2 1 1 n n n p 0 2( ) 1 1 2( ) 3 1 2( ) 5 1 2 3 1 2 1 1 + − + + − − + − + + + − + = n p n n n p n p = + − + − + − + 2( ) 1 1 2 3 1 2 1 1 n n n p
2n+1(2n+32n+5 2(n+p)-32(mn+p) n+ 综上,对任何自然数p,有 … (-1) 2n+12n+32(mn+p)-12n+1n Cauchy列的否定: 例1x,=∑·验证数列{xn}不是Cacy列 证对n,取p=n,有
2 1 1 2( ) 1 1 2( ) 3 1 2 5 1 2 3 1 2 1 1 + + − − + − − − + − + − + = n n n n n p n p . 综上 , 对任何自然数 p , 有 2 1 1 2( ) 1 ( 1) 2 3 1 2 1 1 0 1 + + − − + + + − + + n n n p n p n 1 . …… Cauchy 列的否定: 例1 = = n k n k x 1 1 . 验证数列{ }n x 不是 Cauchy 列. 证 对n , 取 p = n , 有
∴·十 ntp n+1n+2 n+n 2n 2 因此,取E0 1. Cauchy收敛原理: Th4数列{an}收敛◇{an}是 Cauchy列 (要求学生复习函数极限、函数连续的 Cauchy准则,并以 Cauchy收 敛原理为依据,利用ine归并原则给出证明) 五.致密性定理: 六.阳ine- Borel有限复盖定理 复盖:先介绍区间族G={l2,A∈A}
2 1 2 1 2 1 1 1 | | = + + + + + + + − = n n n n n n x x n p n . 因此, 取 2 1 0 = ,…… 1. Cauchy 收敛原理: Th 4 数列{ an }收敛 { an }是 Cauchy 列. ( 要求学生复习函数极限、函数连续的 Cauchy 准则，并以 Cauchy 收 敛原理为依据，利用 Heine 归并原则给出证明 ) 五. 致密性定理: 六. Heine–Borel 有限复盖定理: 1. 复盖: 先介绍区间族G = { I , }