(二十四)二年级(上)数学分析期末考试题 、叙述题:(每小题5分,共15分) 1正交多项式 2正项级数的比较判别法 3R上的基本列 、计算题:(每小题7分,共35分) dx的 cauchy主值 x In x 3”+(-2) (x+1)的收敛半径和收敛域 4、设二=x2+y2sn(xy),求函数的梯度 5、求u=√x2+y2+2在(1,1,1)点的全微分 讨论与验证题:(每小题10分,共30分) 1讨论∫(x,y)= y4+x2,(x,y)≠(0.0),(x,y)沿任何直线趋于(0,0)时的极 限和函数的二重极限 2讨论∑ 的敛散性 5nnn 3讨论函数项fn(x)=mx(1-x2)”(0≤x≤1)的一致收敛性。 四、证明题:(每小题10分,共20分) x=9为既约分数 1证明 Riemann函数R(x)={p 在[0,1]上可积 x为无理数 2设z=x(x>0,x≠1),证明它满足方程 az 1 az y ax In x ay 参考答案 1、设{gn(x)是定义在[ab上的多项式,若对任意的m和n,gn(x),gn(x)在 小上可且可0m 的正交多项式连续
1 (二十四)二年级（上）数学分析期末考试题 一、叙述题：（每小题 5 分，共 15 分） 1 正交多项式 2 正项级数的比较判别法 3 R n 上的基本列 二、计算题：（每小题 7 分，共 35 分） 1、 4 0 2 tan x xdx 2、计算 2 0.5 ln 1 dx x x 的 cauchy 主值 3、求 = + + − 1 ( 1) 3 ( 2) n n n n x n 的收敛半径和收敛域 4、设 sin( ) 2 2 z = x + y xy ，求函数的梯度 5、求 2 2 2 u = x + y + z 在（1，1，1）点的全微分 三、讨论与验证题：（每小题 10 分，共 30 分） 1 讨论 ,( , ) (0,0) ( ) ( , ) 4 2 2 2 + − = x y y x y x f x y ，（x，y）沿任何直线趋于（0，0）时的极 限和函数的二重极限 2 讨论 =2 ln 1 n q n n 的敛散性 3 讨论函数项 ( ) (1 ) (0 1) 2 f x = nx − x x n n 的一致收敛性。 四、证明题：（每小题 10 分，共 20 分） 1 证明 Riemann 函数 = = 为无理数 为既约分数 x p q x R x p 0 1 ( ) 在[0，1]上可积 2 设 z = x (x 0, x 1) y ，证明它满足方程 z y z x x z y x = + ln 1 参考答案 一、1、设 gn (x) 是定义在 [a,b] 上的多项式，若对任意的 m 和 n ，g (x) m ，g (x) n 在 [a,b] 上可积，且有 = = g x dx m n m n g x g x dx b a n b a m n ( ) 0 ( ) ( ) 2 则称 gn (x) 是 [a,b] 上 的正交多项式连续
2、设∑xn∑yn是两个正项级数,若存在常数A>0,成立xn≤Ayn,n=12…则 (1)当∑y收敛时,∑x也收敛(2)当∑x发散时,也∑y发散 3、如果R上的点列{x}满足:对于任意给定的E>0,存在正整数K,对任意的 k>K,成立x-x1,收敛(2分)。 3、lmfn(x)=0=f(x)(3分),取 2
2 2、设 = =1 1 , n n n n x y 是两个正项级数，若存在常数 A 0 ，成立 xn Ayn ,n =1,2 则 （1）当 n=1 n y 收敛时， n=1 n x 也收敛（2）当 n=1 n x 发散时，也 n=1 n y 发散 3、如果 n R 上的点列 xk 满足：对于任意给定的 0 ，存在正整数 K, 对任意的 k,l K ，成立 − l k x x ，则称 xk 为基本列。 二、1、 ln 2 2 1 4 32 tan sec 2 4 0 4 0 2 4 0 2 = − = − + x xdx x xdx xdx （7 分） 2、解： = 2 0.5 0 ln 1 ( ) dx x x cpv （7 分） 1、 ： 3 3 ( 2) lim = + − → n n n n n ，收敛半径为 1/3（4 分），由于 3 4 x = − 时，级数收敛， 3 2 x = − 级数发散，所以级数的收敛域为 ) 3 2 , 3 4 [− − （3 分） 4、： x z = 2 cos( ) 3 x + y xy y z = 2 sin( ) cos( ) 2 y xy + xy xy （4 分） (2 cos( ),2 sin( ) cos( )) 3 2 gradu = x + y x y y x y + x y x y （3 分） 5、 2 2 2 x y z x ux + + = 2 2 2 x y z y uy + + = 2 2 2 x y z z uz + + = （4 分） ( ) 3 1 du = dx + dy + dz （3 分） 三、1、解、由于沿 y = kx 趋于（0，0）时， 1 ( ) lim 4 2 2 2 ( , ) (0,0) = + − → y x y x x kx ，，而沿 y = x 2 趋于 （0，0）时极限为 0，所以重极限不存在（5 分） 2、 函数 x x q ln 1 非负递减，（3 分）且 = = − + + − + ln ln | 1 | 1 (1 )ln 1 ln 2 1 2 2 x p p p x x x dx p p ，（5 分） 由此仅 p 1 ，收敛（2 分）。 3、 lim f (x) 0 f (x) n n = = → （3 分），取
xn=fn(xn)-f(xn)=(1-)→1(m→m),所以函数列不一致收敛(7分) 四、证明题(每小题10分,共20分) 1证明:由 Riemann函数的性质,VE>0在[0,1上使得R(x)>的点至多只有有限 个(3分)不妨设是k个,记为0=P1<…<Pk=1作[0,1的分点0=x0<…<x2k=1=1 使满足P∈x-x1x1-x-22k”1,2,…k,由于 ∑A=∑O21Ax2m1+∑2Axy”,而在右边的第一个和式中,有AxyH<2且 O2s1,在第三个和式中有m5且∑Axy<1,因此得到∑oAx,<E,所以函数 可积(7分) = x Inx(6分) hnx=z(4分) y a In x ay y (二十五)一年级《数学分析Ⅱ》期末考试题 单项选择题(从给出的四个答案中,选出一个最恰当的答案填入括号内,每小题2分, 共20分) 1、函数∫(x)在[a,b]上可积的必要条件是() A连续 B有界 C无间断点 D有原函数 2、函数f(x)是奇函数,且在[-a,a]上可积,则() A f()dx=2o/()dx B f(x)ax=o c f(x)dx=-2.(x)dx d f(x)dx=2f(a) 3、下列广义积分中,收敛的积分是() Sin x 4、级数∑an收敛是∑an部分和有界的() A必要条件 B充分条件 C充分必要条件 D无关条件 5、下列说法正确的是(
3 n xn 1 = ) 1( ) 1 ( ) ( ) (1 − = − 2 → n → n f x f x n n n n ，所以函数列不一致收敛（7 分） 四、证明题（每小题 10 分，共 20 分） 1 证明：由 Riemann 函数的性质， 0 在[0,1]上使得 2 ( ) R x 的点至多只有有限 个,(3 分）不妨设是 k 个，记为 0 1 ' ' = p1 pk = 作[0,1]的分点 0 = x0 x2k−1 =1， 使满足 i k k p x x x x i i i i i , 1,2, 2 [ , ], 1 1 ' − − − = ，由于 − = − = + + − = = + 1 0 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 k j k j j j j j k i i i x x x ，而在右边的第一个和式中，有 k x j 2 2 1 + 且 2 j+1 1 ，在第二个和式中有 2 2 j 且 1 1 1 2 − = k j j x ，因此得到 = n i i i x 1 ，所以函数 可积（7 分） 2 证明： −1 = y yx x u ， x x y u y = ln （6 分） x x z x yx y x y z x x z y x y y = + = + − ln ln 1 ln 1 1 （4 分） （二十五）一 年 级《数学分析Ⅱ》期末考试题 一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题 2 分， 共 20 分） 1、 函数 f (x) 在 [a,b] 上可积的必要条件是（ ） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2、函数 f (x) 是奇函数，且在 [−a, a] 上可积，则（ ） A = − a a a f x dx f x dx 0 ( ) 2 ( ) B ( ) = 0 − a a f x dx C = − − a a a f x dx f x dx 0 ( ) 2 ( ) D f (x)dx 2 f (a) a a = − 3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A 1 0 1 dx x B + 1 1 dx x C + 0 sin xdx D − 1 1 3 1 dx x 4、级数 n=1 n a 收敛是 n=1 n a 部分和有界的（ ） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 5、下列说法正确的是（ ）
∑a和∑b,收敛,∑a,bn也收敛 B∑a和∑b发散,∑(an+b)发散 C∑an收敛和∑b发散,∑(an+b)发散 D∑an收敛和∑b发散,∑anbn发散 6、∑an(x)在[ab]收敛于a(x),且an(x)可导,则() A∑an(x)=a(x) Ba(x)可导 ∑:00a()一孩收数,则0(0必连续 7、下列命题正确的是( A∑an(x)在[a,b]绝对收敛必一致收敛 B∑an(x)在[ab]一致收敛必绝对收敛 C若m|an(x)0,则∑an(x)在[ab必绝对收敛 D∑an(x)在[ab条件收敛必收敛 8、S(-2n+ x2n+1的和函数为() A b sIn c arctan x D cOSx 9、函数z=l(x+y)的定义域是( A(x, D)lx>0,y>0 B(x,y)ly>-x (x,y)Ilx+y>o) (x,y)lx+y
4 A n=1 n a 和 n=1 n b 收敛， n=1 anbn 也收敛 B n=1 n a 和 n=1 n b 发散， = + 1 ( ) n an bn 发散 C n=1 n a 收敛和 n=1 n b 发散， = + 1 ( ) n an bn 发散 D n=1 n a 收敛和 n=1 n b 发散， n=1 anbn 发散 6、 ( ) 1 a x n n = 在 [a,b] 收敛于 a(x) ，且 a (x) n 可导，则（ ） A ( ) ( ) ' 1 ' a x a x n n = = B a(x) 可导 C = = b a n b a an (x)dx a(x)dx 1 D =1 ( ) n n a x 一致收敛，则 a(x) 必连续 7、下列命题正确的是（ ） A ( ) 1 a x n n = 在 [a,b] 绝对收敛必一致收敛 B ( ) 1 a x n n = 在 [a,b] 一致收敛必绝对收敛 C 若 lim | ( ) |= 0 → a x n n ，则 ( ) 1 a x n n = 在 [a,b] 必绝对收敛 D ( ) 1 a x n n = 在 [a,b] 条件收敛必收敛 8、 = + + − 0 2 1 2 1 1 ( 1) n n n x n 的和函数为（ ） A x e B sin x C arctan x D cos x 9、函数 z = ln( x + y) 的定义域是（ ） A (x, y)| x 0, y 0 B (x, y) | y −x C (x, y) | x + y 0 D (x, y)| x + y 0
10、函数f(x,y)在(x0,y0)可导与可微的关系() A可导必可微 B可导必不可微 C可微必可导 D可微不一定可导 、计算题:(每小题6分,共30分) 1、.f(x)x=4,求[x/(2x2+1)dhx 2、计算 2+2x+x 3、计算∑x”的和函数,并求∑ 4、设= arctan+y,求2xo2yaxy 5、计算mn-y x t y 三、讨论与验证题:(每小题10分,共20分) 2、讨论f(x,y)={x2+y (x,y)≠(0.0) 在(00)点的可导性、连续性和可微 (x,y)=(0,0) 性 3、讨论∑(-1 的敛散性 四、证明题:(每小题10分,共30分) 1、设Sn(x)=,2,证明{S2(x)}在(-∞,+∞)上一致收敛 2、设z=e”,证明它满足方程 y 4、设f(x)在0连续,证明∫(mxk=万∫/(smx,并求 T xsin x 0 1+cos x 参考答案 、1、B2、B3、A4、B5、C6、D7、D8、C9、B10、C
5 10、函数 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 可导与可微的关系（ ） A 可导必可微 B 可导必不可微 C 可微必可导 D 可微不一定可导 二、计算题：（每小题 6 分，共 30 分） 1、 = 9 1 f (x)dx 4 ，求 + 2 0 2 xf (2x 1)dx 2、计算 + 0 + + 2 2 2 1 dx x x 3、计算 =1 1 n n x n 的和函数，并求 = − 1 ( 1) n n n 4、设 xy x y z − + = 1 arctan ，求 x y z y z x z 2 2 2 2 2 , , 5、计算 2 2 2 0 0 lim x y x y y x + → → 三、讨论与验证题：（每小题 10 分，共 20 分） 2、 讨论 = = + 0 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) 2 2 x y x y x y x y f x y 在 (0,0) 点的可导性、连续性和可微 性 3、 讨论 = + − 2 2 1 2 sin ( 1) n n n n n x 的敛散性 四、证明题：（每小题 10 分，共 30 分） 1、设 2 2 1 ( ) n x x S x n + = ，证明 {S (x)} n 在 (−,+) 上一致收敛 2、设 y x z = e ，证明它满足方程 = 0 + y z y x z x 4、 设 f (x) 在 [0,1] 连 续 ， 证 明 = 0 0 (sin ) 2 xf (sin x)dx f x dx ，并求 + 0 2 1 cos sin dx x x x 参考答案 一、1、B 2、B 3、A 4、B 5、C 6、D 7、D 8、C 9、B 10、C
fo xf(2、h力J(u)h=2(3分) d x= lin 丌 2+2 4 3、解:令f(x)=∑x”,由于级数的收敛域[-11)(2分),f(x)=∑x 01 d=h(1-x)(2分),令 ∑ (-1) =hn 2 解:两边对x求导z (3分) 2x a 0(3分) 5、解:0 Kx(5分) =0(1分) x +y 由于x-2,x2时,级数均不收敛,所以收敛域为(-2,2)(3分) 三、1、解、fx(0,0)=lm f(0+△x)-f(0,0) im=0,同理f,(00)=0(4分), △x →0△x 又但沿直线y=mx趋于(0,0),imf(x,y)= ,所以lim x不存在, 1+m (x,y)+(0,0)x2+ 也即函数在(0,0)点不连续,(4分),因而函数在(0,0)点也不可微(2分) 2、解:由于m(-D2x 2sim2x(3分),即2sn2x1级数发散(7分) 所以原级数发散(2分) 四、证明题(每小题10分,共20分) 1、证明:因为S(x)→>S(x)=0(2分,因为Sn(x)-S(x)= 分),VE>0,取N=,当n>N时,|Sn(x)-S(x)≤<E,对一切x∈(-m2+∞) 2 成立,所以{Sn1(x)}在(一∞,+∞)上一致收敛(4分)
6 二 、 1 、 + = + + 2 0 2 2 2 0 2 (2 1) (2 1) 2 1 x f (2x 1)dx f x d x （ 3 分）令 2 1 2 u = x + ， + = = 9 1 2 0 2 ( ) 2 2 1 xf (2x 1)dx f u du （3 分） 2、 + 0 + + 2 2 2 1 dx x x = 4 (1 ) lim arctan(1 ) 1 (1 ) 1 lim 0 0 2 + = + = →+ + + → A A A A d x x x （6 分） 3、解：令 f (x) = =1 1 n n x n ，由于级数的收敛域 [−1,1) （2 分）， ( ) ' f x = x x n n − = = − 1 1 1 1 ， f (x) = ln(1 ) 1 1 0 dt x t x = − − （2 分），令 x = −1 ，得 ln 2 ( 1) 1 = − n= n n 4、解：两边对 x 求导 2 1 1 x z x + = , 2 1 1 y z y + = （3 分） , 0 (1 ) 2 , (1 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + − = + − = x y z y y y z x x x z （3 分） 5、解： x x y x y + 0 | | 2 2 2 （5 分） lim 0 2 2 2 0 0 = + → → x y x y y x （1 分） 由于 x=-2，x=2 时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3 分） 三、1、解、 0 0 lim (0 ) (0,0) (0,0) lim 0 0 = = + − = → x → x f x f f x x x ，同理 f y (0,0) = 0 （4 分）， 又但沿直线 y = mx 趋于（0，0）， 2 0 1 lim ( , ) m m f x y y mx x + = = → ，所以 2 2 ( , ) (0,0) lim x y xy x y → + 不存在， 也即函数在（0，0）点不连续，（4 分），因而函数在（0，0）点也不可微（2 分） 2、解：由于 x n x n n n n n 2 2 1 | 2sin 2 sin lim | (−1) = + → （3 分），即 2sin 1 2 x 级数绝对收敛 2sin 1 2 x = 条件收敛， 2sin 1 2 x 级数发散（7 分） 所以原级数发散（2 分） 四、证明题（每小题 10 分，共 20 分） 1、证明：因为 Sn (x) → S(x) = 0 （2 分），因为 n x n x S x S x n 2 1 1 ( ) ( ) 2 2 + − = ，（4 分）， 0 ，取 = 2 1 N ，当 n N 时， − n S x S x n 2 1 ( ) ( ) ，对一切 x (−,+) 成立，所以 {S (x)} n 在 (−,+) 上一致收敛（4 分）
(7分)则 0(3分) ax 证明:令x=x-1 「。smx)=丁J(x-)(sm(x-)h=x丁mnld-Jmv(sm0)h得证(7分) I xsin x sIn x dx -dx (3分) 01+cos x 2J01+cosx (二十六)一年级《数学分析Ⅱ》期末考试题 单项选择题(从给出的四个答案中,选出一个最恰当的答案填入括号内,每小题2分, 共20分) 2、函数f(x)在[a,b上可积的充要条件是() AV>0,彐a>0和8>0使得对任一分法Δ,当λ(A)0,o>0,δ>0使得对某一分法Δ,当λ(△)0,38>0使得对任一分法Δ,当(A)0,∞>0,彐δ)0使得对任一分法Δ,当λ(Δ)<δ时,对应于o:≥c的那些区间△x 长度之和∑Δx<G 2、函数f(x)连续,则在[a,b]上 f()d=( A f(2x) B 2f(2x) C 2f(x) D 2f(2x)-f(x) 3、 D发散 4、 lm an≠0,则∑an( A必收敛 B必发散 C必条件收敛 D敛散性不定 5、若级数∑b是级数∑an的更序级数,则() A∑an和∑b同敛散 B∑b,可以发散到+∞
7 2、 y e x z y x 1 = ， 2 y x e y z y x = − ，（7 分）则 0 1 2 = − = + y x ye y xe y z y x z x y x y x （3 分） a) 证明：令 x = − t = − − − = − 0 0 0 0 x f (sin x)dx ( t) f (sin( t))dt f (sin t)dt t f (sin t)dt 得证（7 分） 1 cos 8 sin 1 cos 2 sin 2 0 2 0 2 = + = + dx x x dx x x x （3 分） （二十六）一年级《数学分析Ⅱ》期末考试题 一 单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题 2 分， 共 20 分） 2、 函数 f (x) 在 [a,b] 上可积的充要条件是（ ） A >0, >0 和>0 使得对任一分法，当（）0,>0, >0 使得对某一分法，当（）0,>0 使得对任一分法，当（）0, >0， >0 使得对任一分法，当（）<时，对应于i的那些区间xi 长度之和∑xi< 2、函数 f (x) 连续，则在[a,b]上 x f t dt dx d 2 1 ( ) =（ ） A f (2x) B 2 f (2x) C 2 f (x) D 2 f (2x) − f (x) 3、 = − 1 1 2 1 dx x （ ） A -2 B 2 C 0 D 发散 4、 lim 0 → n n a ，则 n=1 n a ( ) A 必收敛 B 必发散 C 必条件收敛 D 敛散性不定 5、若级数 n=1 n b 是级数 n=1 n a 的更序级数，则（ ） A n=1 n a 和 n=1 n b 同敛散 B n=1 n b 可以发散到+∞
C若∑an绝对收敛,∑b也收敛D若∑an条件收敛,∑b也条件收敛 6、∑an(x)在[ab]一致收敛,且an(x)可导(r=1,2…),那么() Af(x)在[ab]可导,且∫(x)=∑an(x) Bf(x)在[ab]可导,但f(x)不一定等于∑an(x) C∑an(x)点点收敛,但不一定一致收敛 D∑an(x)不一定点点收敛 7、函数项级数∑an(x)在D上一致收敛的充要条件是() Ave>0,3N(e)>0,使mn>N有ln(x)+…an1(x)0,yN(e)>0,使ymnN有an:(x)+…an(x)0,3N(e)>0,使mnN有{an(x)+…an(x)<E 8、∑(x-1)”的收敛域为() A(-1,1) B(0,2] C[0,2) D[-1,1) 9、重极限存在是累次极限存在的( A充分条件 B必要条件 C充分必要条件 D无关条件 af(x,y) ,)=( ∫(x+Ax,yo+△y)-f(x0,y) lim f(xo+Ax, yo)-f(ro, yo) C lim f(x+Ax,yo +Ay)-f(xo + Ar,yo) f(o+Ax,yo) Ax→0 △r→0
8 C 若 n=1 n a 绝对收敛， n=1 n b 也收敛 D 若 n=1 n a 条件收敛， n=1 n b 也条件收敛 6、 ( ) 1 a x n n = 在 [a,b] 一致收敛，且 a (x) n 可导（n=1,2…），那么( ) A f（x）在 [a,b] 可导，且 = = 1 ' ' ( ) ( ) n f x a n x B f（x）在 [a,b] 可导，但 ( ) ' f x 不一定等于 =1 ' ( ) n a n x C =1 ' ( ) n a n x 点点收敛，但不一定一致收敛 D =1 ' ( ) n a n x 不一定点点收敛 7、函数项级数 ( ) 1 a x n n = 在 D 上一致收敛的充要条件是（ ） A >0, N（）>0，使m>n> N 有 + + ( ) ( ) 1 a x a x n m B >0, N>0，使m>n> N 有 + + ( ) ( ) 1 a x a x n m C >0, N（）>0，使m>n> N 有 + + ( ) ( ) 1 a x a x n m D >0, N（）>0，使m>n> N 有 + + ( ) ( ) 1 a x a x n m 8、 = − 1 ( 1) 1 n n x n 的收敛域为（ ） A (-1，1) B (0，2] C [0，2） D [-1，1） 9、重极限存在是累次极限存在的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 10、 = ( , ) 0 0 | ( , ) x y x f x y （ ） A x f x x y y f x y x + + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 B x f x x y f x y x + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 C x f x x y y f x x y x + + − + → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 D x f x x y x + → ( , ) lim 0 0 0
二计算题:(每小题6分,共30分) xcosx+1 2、计算由曲线y=x+1,y=0,xy=2和x=e2围成的面积 3、求e-x的幂级数展开 4、已知二=f(x+y,xy),f(u,v)可微,求 5、求f(x,y) 在(0,0)的累次极限 x+ y 三、判断题(每小题10分,共20分) 3、讨论∑血cos的敛散性 4、判断 的绝对和条件收敛性 四、证明题(每小题10分,共30分) 1、设f(x)是[-aa1上的奇函数,证明f(xtx=0 2、证明级数y=∑,满足方程y+=y 5、证明S为闭集的充分必要条件是S是开集。 参考答案 1、D2、B3、D4、B5、C6、D7、A8、C9、D10、B 二、1、解: I sin x cosx+ dx sin x cosx -dx+ 2dx(2分)由于 sin x cosx 为 11+x 1+ I sin x cos x 奇函数 x=0(2分) 2dtx= arctan x I=(2分)所以积分值为(1 分) 2、解:两曲线的交点为(1,2)(2分) 所求的面积为:1/2×2d=6(4分) 3解:由于e2=1+x+x+…x+…(3分),e=1-x2+x+.+-1)"x2n (3分)
9 二 计算题：（每小题 6 分，共 30 分） 1、 dx x x x − + 1 + 1 2 1 sin cos 1 2、计算由曲线 y = x +1, y = 0, xy = 2 和 2 x = e 围成的面积 3、求 2 x e − 的幂级数展开 4、 已知 z = f (x + y, xy), f (u,v) 可微，求 x y z 2 5、 求 x y x y f x y + − ( , ) = 在（0，0）的累次极限 三、判断题（每小题 10 分，共 20 分） 3、 讨论 =3 ln cos n n 的敛散性 4、 判断 =1 + 2 n 1 n n x x 的绝对和条件收敛性 四、证明题（每小题 10 分，共 30 分） 1、设 f (x) 是 [−a, a] 上的奇函数，证明 ( ) = 0 − a a f x dx 2、证明级数 = = 0 4 (4 )! n n n x y 满足方程 y = y (4) 5、 证明 S 为闭集的充分必要条件是 c S 是开集。 参考答案 一、1、D 2、B 3、D 4、B 5、C 6、D 7、A 8、C 9、D 10、B 二、1、解： dx x x x − + 1 + 1 2 1 sin cos 1 = + + − dx x 1 x x 1 2 1 sin cos dx x − + 1 1 2 1 1 （2 分）由于 2 1 sin cos x x x + 为 奇函数 dx x x x − + 1 1 2 1 sin cos =0（2 分） dx x − + 1 1 2 1 1 = 2 arctan | 1 1 x − = （2 分）所以积分值为 2 （1 分） 2、解：两曲线的交点为（1，2）（2 分） 所求的面积为：1/222+ 6 2 2 1 = e dx x （4 分） 3、解：由于 = + + + + 2! ! 1 2 n x x e x n x （3 分）， + − = − + + − ! ( 1) 2! 1 4 2 2 2 n x x e x n n x （3 分）
4、解 G+∫S+x(3分)32=n++(x+y)2+xy2(3 分) 5、解:lm y y 1,(3分)lim x-y=lim 1(3分) y-90x-0x+y) 三、1、解:由于 In cos (6分),又收敛(2分) 所以原级数收敛(2分) 2、解:当|xk1时,有 x,所以级数绝对收敛(4分), 当|x}1时 原级数发散(2分) 当xp1时,有21+x=,1,由上讨论知级数绝对收效(4分) 四、证明题(每小题10分,共30分) 1、证明:Jf(x)=f(x)+∫。/(x)(1)(4分) (x)x=-。(-0d(-)=-J。()t(2)(4分) 将式(2)代入(1)得证(2分) 2、证明:所给级数的收敛域为(-∞+∞),在收敛域内逐项微分之,得 4n-3 4n-4 (8分)代入得 证(2分) 3、证明:必要性若S为闭集,由于S的一切聚点都属于S,因为,对于任意的x∈S x不是S的聚点,也就是说,存在x的邻域O(x,O)使得O(x,)∩S≠p,即O(x,δ)cS 因此S是开集 充分性对任意的x∈S,由于S是开集,因此存在x的邻域O(x,6)使得O(x,)cS 即x不是S的聚点。所以如果S有聚点,它就一定属于S. 量,求证:
10 4、解： x z = f f y 1 + 2 y z = f f x 1 + 2 （3 分） 11 2 12 22 2 f f (x y) f xyf x y z = + + + + （3 分） 5、解： lim lim 1 0 0 0 = − − = + − → → → y y x y x y x y y ，（3 分） lim lim 1 0 0 0 = = + − → → → x x x y x y y x y （3 分） 三、1、解：由于 2 2 2 ln cos ~ n n （6 分），又 =1 2 1 n n 收敛（2 分） 所以原级数收敛（2 分） 2、解：当 | x | 1 时，有 n x n x x x | | 1 2 + ，所以级数绝对收敛（4 分）， 当 | x |= 1 时， 2 1 1 2 = + x n x x ，原级数发散（2 分） 当 | x | 1 时，有 = = + = 1 + 1 2 2 ) 1 1 ( ) 1 ( n 1 n n n n n x x x x ，由上讨论知级数绝对收敛（4 分） 四、证明题（每小题 10 分，共 30 分） 1、证明： = + − − a a a a f x dx f x dx f x dx 0 0 ( ) ( ) ( ) （1）（4 分） = − − − = − − a a a f x dxx t f t d t f t dt 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) （2）（4 分） 将式（2）代入（1）得证（2 分） 2 、 证 明 ： 所 给 级 数 的 收 敛 域 为 (−,+) ， 在 收 敛 域 内 逐 项 微 分 之 ， 得 = − − = 1 4 1 ' (4 1)! n n n x y = − − = 1 4 2 '' (4 2)! n n n x y = − − = 1 4 3 ''' (4 3)! n n n x y = − − = 1 4 4 (4) (4 4)! n n n x y （8 分）代入得 证（2 分） 3、证明：必要性 若 S 为闭集，由于 S 的一切聚点都属于 S，因为，对于任意的 c x S 。 x 不是 S 的聚点，也就是说，存在 x 的邻域 O(x, ) 使得 O(x, ) S ，即 c O(x, ) S ， 因此 S c 是开集。 充分性 对任意的 c x S ，由于 S c 是开集，因此存在 x 的邻域 O(x, ) 使得 c O(x, ) S ， 即 x 不是 S 的聚点。所以如果 S 有聚点，它就一定属于 S. 量，求证：