《数学分析》试题库：一年级《数学分析Ⅱ》期末考试题

二十七)一年级《数学分析Ⅱ》期末考试题 单项选择题(从给出的四个答案中,选出一个最恰当的答案填入括号内,每小题2分, 共20分) 1函数f(x)在[a,b]上可积的必要条件是( A连续 有界 C无间断点 D有原函数 2、函数f(x)是奇函数,且在[-a,a]上可积,则() A f(x)dx=2.f(x)dx b f(x)dx=0 cJf(x)k=-2」(x)DJ“/(x)x=2a 3、下列广义积分中,收敛的积分是() A dx dx c sin xdx db 4、级数∑an收敛是∑an部分和有界的( A必要条件 B充分条件 C充分必要条件 D无关条件 5、下列说法正确的是( A∑an和∑b收敛,∑anb也收敛 B∑an和∑b发散,∑(an+bn)发散 C∑an收敛和∑b发散,∑(an+b)发散 D∑an收敛和∑b发散,∑ab发散 6、∑an(x)在[a,6收敛于a(x),且an(x)可导,则( ∑a(x)=a(x) Ba(x)可导 c∑∫an(x)=J(x)D∑ax)-致收敛,则ax)必连续 7、下列命题正确的是()

1 （二十七） 一年级《数学分析Ⅱ》期末考试题 一 单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题 2 分， 共 20 分） 1 函数 f (x) 在 [a,b] 上可积的必要条件是（ ） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2、函数 f (x) 是奇函数，且在 [−a, a] 上可积，则（ ） A   = − a a a f x dx f x dx 0 ( ) 2 ( ) B ( ) = 0 − a a f x dx C   = − − a a a f x dx f x dx 0 ( ) 2 ( ) D f (x)dx 2 f (a) a a = − 3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A  1 0 1 dx x B  + 1 1 dx x C  + 0 sin xdx D − 1 1 3 1 dx x 4、级数   n=1 n a 收敛是   n=1 n a 部分和有界的（ ） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 5、下列说法正确的是（ ） A   n=1 n a 和   n=1 n b 收敛，   n=1 anbn 也收敛 B   n=1 n a 和   n=1 n b 发散，   = + 1 ( ) n an bn 发散 C   n=1 n a 收敛和   n=1 n b 发散，   = + 1 ( ) n an bn 发散 D   n=1 n a 收敛和   n=1 n b 发散，   n=1 anbn 发散 6、 ( ) 1 a x n  n  = 在 [a,b] 收敛于 a(x) ，且 a (x) n 可导，则（ ） A ( ) ( ) ' 1 ' a x a x n  n =  = B a(x) 可导 C   =  = b a n b a an (x)dx a(x)dx 1 D   =1 ( ) n n a x 一致收敛，则 a(x) 必连续 7、下列命题正确的是（ ）

A∑an(x)在[ab]绝对收敛必一致收敛 B∑an(x)在[ab]一致收敛必绝对收敛 C若lmn|an(x)=0,则∑an(x)在[ab]必绝对收敛 D∑an(x)在[a,6]条件收敛必收敛 8、∑(-1y1x2m的和函数为() n+ c arctan x D cOSx 9、函数z=h(x+y)的定义域是() (x,y)|x>0,y>0}B{(xy)y>-x (x,y)|x+y≠ 10、函数f(x,y)在(x0,y)可导与可微的关系() A可导必可微 B可导必不可微 C可微必可导 D可微不一定可导 、计算题:(每小题6分,共30分) 1、「,f(x)=4,求「(2x2+1)d 2、计算 dx 3、计算∑x”的和函数,并求y(-1) 4、设z 求 5、计算im 三、讨论与验证题:(每小题10分,共20分)

2 A ( ) 1 a x n  n  = 在 [a,b] 绝对收敛必一致收敛 B ( ) 1 a x n  n  = 在 [a,b] 一致收敛必绝对收敛 C 若 lim | ( ) |= 0 → a x n n ，则 ( ) 1 a x n  n  = 在 [a,b] 必绝对收敛 D ( ) 1 a x n  n  = 在 [a,b] 条件收敛必收敛 8、   = + + − 0 2 1 2 1 1 ( 1) n n n x n 的和函数为（ ） A x e B sin x C arctan x D cos x 9、函数 z = ln( x + y) 的定义域是（ ） A (x, y)| x  0, y  0 B (x, y) | y  −x C (x, y) | x + y  0 D (x, y)| x + y  0 10、函数 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 可导与可微的关系（ ） A 可导必可微 B 可导必不可微 C 可微必可导 D 可微不一定可导 二、计算题：（每小题 6 分，共 30 分） 1、  = 9 1 f (x)dx 4 ，求  + 2 0 2 xf (2x 1)dx 2、计算  + 0 + + 2 2 2 1 dx x x 3、计算   =1 1 n n x n 的和函数，并求   = − 1 ( 1) n n n 4、设 xy x y z − + = 1 arctan ，求 x y z y z x z        2 2 2 2 2 , , 5、计算 2 2 2 0 0 lim x y x y y x + → → 三、讨论与验证题：（每小题 10 分，共 20 分）

1、讨论∫(xy)={x2+y (x,y)≠(00)在(00)点的可导性、连续性和可微 (x,y)=(0,0) 2、讨论∑(-1) 的敛散性 四、证明题:(每小题10分,共30分) 1、设SA④)1+n3,证明{S(x)在(-+)上一致收敛 2、设=e},证明它满足方程x+y=0 3、设f(x)在[Q连续,证明∫mnx)=万∫/(smx),并求 T xsin x dx 参考答案 5、C6、D7、D8、C9、B10、C 「。x/(2x2+1)dx=j(2x2+1)1(2x2+1)(3分)令t=2x2+1, xf(2x +l)dx f(u)dh=2(3分) ad(+x)=lm arctan(1 1+(1+x) 3、解:令(x)∑x,由于级数的收敛域[1)(2分,f(x)=∑x=,1 f()=x、M=1-x)(2分),令x=-1,得∑ 1) =In 2 解:两边对x求导 0(3分 5、解:0斗 x2+y2x(5分)mnx2y 0(1分) 由于x-2,x2时,级数均不收敛,所以收敛域为(-2,2)(3分)

3 1、 讨论      =  = + 0 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) 2 2 x y x y x y x y f x y 在 (0,0) 点的可导性、连续性和可微 性 2、 讨论   = + − 2 2 1 2 sin ( 1) n n n n n x 的敛散性 四、证明题：（每小题 10 分，共 30 分） 1、设 2 2 1 ( ) n x x S x n + = ，证明 {S (x)} n 在 (−,+) 上一致收敛 2、设 y x z = e ，证明它满足方程 = 0   +   y z y x z x 3、 设 f (x) 在 [0,1] 连 续 ， 证 明   =    0 0 (sin ) 2 xf (sin x)dx f x dx ，并求  +  0 2 1 cos sin dx x x x 参考答案 一、1、B 2、B 3、A 4、B 5、C 6、D 7、D 8、C 9、B 10、C 二 、 1 、   + = + + 2 0 2 2 2 0 2 (2 1) (2 1) 2 1 x f (2x 1)dx f x d x （ 3 分）令 2 1 2 u = x + ，   + = = 9 1 2 0 2 ( ) 2 2 1 xf (2x 1)dx f u du （3 分） 2、 + 0 + + 2 2 2 1 dx x x = 4 (1 ) lim arctan(1 ) 1 (1 ) 1 lim 0 0 2  + = + = →+ + + →  A A A A d x x x （6 分） 3、解：令 f (x) =  =1 1 n n x n ，由于级数的收敛域 [−1,1) （2 分）， ( ) ' f x = x x n n −  =  = − 1 1 1 1 ， f (x) = ln(1 ) 1 1 0 dt x t x = − −  （2 分），令 x = −1 ，得 ln 2 ( 1) 1 = −   n= n n 4、解：两边对 x 求导 2 1 1 x z x + = , 2 1 1 y z y + = （3 分） , 0 (1 ) 2 , (1 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =    + − =   + − =   x y z y y y z x x x z （3 分） 5、解： x x y x y  + 0 | | 2 2 2 （5 分） lim 0 2 2 2 0 0 = + → → x y x y y x （1 分） 由于 x=-2，x=2 时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3 分）

1、解、J20)=m f0+Ax)-f(0)2m0 0,同理f1(00)=0(4分), Ax 又但沿直线y=mx趋于(0,0),如f(x、的1+2所以0x2+y 不存在 也即函数在(0,0)点不连续,(4分),因而函数在(0,0)点也不可微(2分) 2、解:由于m01(-12"sm2x =2sn2x(3分),即2sn2x1级数发散(7分) 所以原级数发散(2分) 四、证明题(每小题10分,共20分) 1、证明:因为S(x)→S(x)=0(2分),因为(x)-S(=,1 (4 +n2x22 分),VE>0,取N 当n>N时,S(x)-S(x)≤0,3>0和δ)0使得对任一分法△,当λ(△)0,o>0,δ>0使得对某一分法A,当λ(△)0,彐8>0使得对任一分法Δ,凯(Δ)<8时,对应于o≥E的那些区间△长度之和 ∑Δ石<E

4 三、1、解、 0 0 lim (0 ) (0,0) (0,0) lim 0 0 =  =  +  − =  → x  → x f x f f x x x ，同理 f y (0,0) = 0 （4 分）， 又但沿直线 y = mx 趋于（0，0）， 2 0 1 lim ( , ) m m f x y y mx x + = = → ，所以 2 2 ( , ) (0,0) lim x y xy x y → + 不存在， 也即函数在（0，0）点不连续，（4 分），因而函数在（0，0）点也不可微（2 分） 2、解：由于 x n x n n n n n 2 2 1 | 2sin 2 sin lim | (−1) = + → （3 分），即 2sin 1 2 x  级数绝对收敛 2sin 1 2 x = 条件收敛， 2sin 1 2 x  级数发散（7 分） 所以原级数发散（2 分） 四、证明题（每小题 10 分，共 20 分） 1、证明：因为 Sn (x) → S(x) = 0 （2 分），因为 n x n x S x S x n 2 1 1 ( ) ( ) 2 2  + − = ，（4 分），   0 ，取       = 2 1 N ，当 n  N 时， −    n S x S x n 2 1 ( ) ( ) ，对一切 x (−,+) 成立，所以 {S (x)} n 在 (−,+) 上一致收敛（4 分） 2、 y e x z y x 1 =   ， 2 y x e y z y x = −   ，（7 分）则 0 1 2 = − =   +   y x ye y xe y z y x z x y x y x （3 分） a) 证明：令 x =  − t     = − − − = −        0 0 0 0 x f (sin x)dx ( t) f (sin( t))dt f (sin t)dt t f (sin t)dt 得证（7 分） 1 cos 8 sin 1 cos 2 sin 2 0 2 0 2     = + = +   dx x x dx x x x （3 分） （二十八）一年级《数学分析Ⅱ》期末考试题 一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题 2 分， 共 20 分） 1、 函数 f (x) 在 [a,b] 上可积的充要条件是（ ） A >0, >0 和>0 使得对任一分法，当（）0,>0, >0 使得对某一分法，当（）0,>0 使得对任一分法，当（）<时，对应于i的那些区间xi 长度之和 ∑xi< 

DVE>0,>0,彐δ〉0使得对任一分法A,当λ(Δ)0,使ymn)N有|an(x)+…an(x)0,No,使mnN有{an(x)+…n(x)<E

5 D >0, >0， >0 使得对任一分法，当（）0, N（）>0，使m>n> N 有 +   + ( ) ( ) 1 a x a x n  m B >0, N>0，使m>n> N 有 +   + ( ) ( ) 1 a x a x n  m

C3>0,VN(E)>0,使vmnN有n1(x)+…an(x)0,使mnN有an1(x)+…an(x)<E ∑:(x-1)”的收敛域为() A(-1,1) B(0,2] C[0,2) D[-1,1) 9、重极限存在是累次极限存在的( A充分条件 B必要条件 C充分必要条件 D无关条件 a lim f(xo+Ax, yo +Ay)-f(o, yo) f(xo+Ax, yo)-f(xo,yo) C lim /(xo +Ax, yo+ Ay)-/(+ Ax, yo) D lim xo +Ar,) △x 、计算题:(每小题6分,共30分) sin x cosx+ 2、计算由曲线y=x+1,y=0,xy=2和x=e2围成的面积 3、求e的幂级数展开 4、已知z=f(x+y,xy),f(,v)可微,求 5、求f(x,y) 在(0,0)的累次极限 、判断题(每小题10分,共20分) 1、讨论∑hcos-的敛散性 2、判断 的绝对和条件收敛性 m1+ 四、证明题(每小题10分,共30分) 1、设∫(x)是[a,上的奇函数,证明[f(x)tx=0 2、证明级数y=∑满足方程y“=y

6 C >0,  N（）>0，使m>n> N 有 +   + ( ) ( ) 1 a x a x n  m D >0, N（）>0，使m>n> N 有 +   + ( ) ( ) 1 a x a x n  m 8、   = − 1 ( 1) 1 n n x n 的收敛域为（ ） A (-1，1) B (0，2] C [0，2） D [-1，1） 9、重极限存在是累次极限存在的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 10、 =   ( , ) 0 0 | ( , ) x y x f x y （ ） A x f x x y y f x y x  +  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 B x f x x y f x y x  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 C x f x x y y f x x y x  +  +  − +   → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 D x f x x y x  +   → ( , ) lim 0 0 0 二、计算题：（每小题 6 分，共 30 分） 1、 dx x x x − + 1 + 1 2 1 sin cos 1 2、计算由曲线 y = x +1, y = 0, xy = 2 和 2 x = e 围成的面积 3、求 2 x e − 的幂级数展开 4、 已知 z = f (x + y, xy), f (u,v) 可微，求 x y z    2 5、 求 x y x y f x y + − ( , ) = 在（0，0）的累次极限 三、判断题（每小题 10 分，共 20 分） 1、 讨论   =3 ln cos n n  的敛散性 2、 判断   =1 + 2 n 1 n n x x 的绝对和条件收敛性 四、证明题（每小题 10 分，共 30 分） 1、设 f (x) 是 [−a, a] 上的奇函数，证明 ( ) = 0 − a a f x dx 2、证明级数   = = 0 4 (4 )! n n n x y 满足方程 y = y (4)

3、证明S为闭集的充分必要条件是S“是开集 参考答案 I sin x cosx+ Isin x co dx+ dx(2分)由于 sin x cos x 为 11+x 奇函数 IsIn x cos x 1+x2dx=0(2分) t= arctan x2=z(2分)所以积分值为(1 11+x 分) 2、解:两曲线的交点为(1,2)(2分) 所求的面积为:1/222!9ax=6(4分) 3、解:由于e2=1+x++…+…(3分),e=1-x2+-+ (3分) ax2斤+D千+x(3分)ay=后++(x+y)+对x2(3 分) x-y=m、y__1.(3分)lmy=lm-=1(3分) 1、解:由于hc0sx-x2(6分,又∑收敛(2分) n=I n 所以原级数收敛(2分) 2、解:当|xk1时,有 x,所以级数绝对收敛(4分), 当|x}=1时, 原级数发散(2分) 当x卜1时,有 ,由上讨论知级数绝对收敛(4分) 四、证明题(每小题10分,共30分) 1、证明:(x)=。(x)x+/(xh(1)(4分) ∫of(x)bx=-f(-(-1)=-(t(2)(4分) 将式(2)代入(1)得证(2分) 、证明:所给级数的收敛域为(-∞+∞),在收敛域内逐项微分之,得

7 3、 证明 S 为闭集的充分必要条件是 c S 是开集。 参考答案 一、1、D 2、B 3、D 4、B 5、C 6、D 7、A 8、C 9、D 10、B 二、1、解： dx x x x − + 1 + 1 2 1 sin cos 1 = + + − dx x 1 x x 1 2 1 sin cos dx x − + 1 1 2 1 1 （2 分）由于 2 1 sin cos x x x + 为 奇函数 dx x x x − + 1 1 2 1 sin cos =0（2 分） dx x − + 1 1 2 1 1 = 2 arctan | 1 1  x − = （2 分）所以积分值为 2  （1 分） 2、解：两曲线的交点为（1，2）（2 分） 所求的面积为：1/222+ 6 2 2 1 =  e dx x （4 分） 3、解：由于 = + + + + 2! ! 1 2 n x x e x n x （3 分），  + − = − + + − ! ( 1) 2! 1 4 2 2 2 n x x e x n n x （3 分） 4、解： x z   = f f y 1 + 2 y z   = f f x 1 + 2 （3 分） 11 2 12 22 2 f f (x y) f xyf x y z = + + + +    （3 分） 5、解： lim lim 1 0 0 0 = − − = + − → → → y y x y x y x y y ，（3 分） lim lim 1 0 0 0 = = + − → → → x x x y x y y x y （3 分） 三、1、解：由于 2 2 2 ln cos ~ n n   （6 分），又   =1 2 1 n n 收敛（2 分） 所以原级数收敛（2 分） 2、解：当 | x | 1 时，有 n x n x x x | | 1 2  + ，所以级数绝对收敛（4 分）， 当 | x |= 1 时， 2 1 1 2 = + x n x x ，原级数发散（2 分） 当 | x | 1 时，有    =  = + = 1 + 1 2 2 ) 1 1 ( ) 1 ( n 1 n n n n n x x x x ，由上讨论知级数绝对收敛（4 分） 四、证明题（每小题 10 分，共 30 分） 1、证明：    = + − − a a a a f x dx f x dx f x dx 0 0 ( ) ( ) ( ) （1）（4 分）    = − − − = − − a a a f x dxx t f t d t f t dt 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) （2）（4 分） 将式（2）代入（1）得证（2 分） 2 、 证 明 ： 所 给 级 数 的 收 敛 域 为 (−,+) ， 在 收 敛 域 内 逐 项 微 分 之 ， 得

4n=2 4n=3 4n-4 (8分)代入得 (4n-3) 证(2分) 3、证明:必要性若S为闭集,由于S的一切聚点都属于S,因为,对于任意的x∈S。 x不是S的聚点,也就是说,存在x的邻域O(x,6)使得O(x,)∩S≠中,即O(x,d)cS°, 因此S是开集。 充分性对任意的x∈S°,由于S是开集,因此存在x的邻域O(x,δ)使得O(x,o)cS 即x不是S的聚点。所以如果S有聚点,它就一定属于S

8   = − − = 1 4 1 ' (4 1)! n n n x y   = − − = 1 4 2 '' (4 2)! n n n x y   = − − = 1 4 3 ''' (4 3)! n n n x y   = − − = 1 4 4 (4) (4 4)! n n n x y （8 分）代入得 证（2 分） 3、证明：必要性 若 S 为闭集，由于 S 的一切聚点都属于 S，因为，对于任意的 c x  S 。 x 不是 S 的聚点，也就是说，存在 x 的邻域 O(x, ) 使得 O(x, )  S   ，即 c O(x, )  S ， 因此 S c 是开集。 充分性 对任意的 c x  S ，由于 S c 是开集，因此存在 x 的邻域 O(x, ) 使得 c O(x, )  S ， 即 x 不是 S 的聚点。所以如果 S 有聚点，它就一定属于 S