数学：《群论》第一章 群的基本知识（左维）

群论 参考书: 《群论》,韩其智、孙洪州,北京大学出版社 《物理学中的群论》,马中骐,科学出版社 《典型群及其在物理学中的应用》,怀邦,冯承天 等译,科学出版社

群 论 • 参考书： 《群论》，韩其智、孙洪州，北京大学出版社 《物理学中的群论》，马中骐，科学出版社 《典型群及其在物理学中的应用》，怀邦，冯承天 等译，科学出版社

第一章群的基本知识 群 ◆群的定义:假设G是由一些元素组成的集合,即G={…,g,}.在G中各 元素间定义了一种合成规则(操作,运算,群的乘法).如果G对这种合 成规则满足以下四个条件 a)封闭性.G中任意两个元素的乘积仍然属于G. ,g∈G→=h∈G b)结合律 V,g,h∈G→(g)h=f(gh d单位元素集合G中存在一个单位元素e,对任意元素f∈G,有 d)可逆性对任意元素∫∈G,存在逆元素∫∈G,使 f=∥ 则称集合G为一个群

第一章 群的基本知识 1 群 ◆ 群的定义：假设G是由一些元素组成的集合，即G={…, g, …}. 在G中各 元素间定义了一种合成规则 ( 操作，运算，群的乘法 ). 如果G对这种合 成规则满足以下四个条件： a）封闭性. G中任意两个元素的乘积仍然属于G. b) 结合律. c) 单位元素. 集合G中存在一个单位元素e, 对任意元素 , 有 d) 可逆性. 对任意元素 , 存在逆元素 , 使 则称集合G为一个群. f , g G  fg = hG f f = ff = e −1 −1 f , g,hG  ( f g)h = f (gh) f G f G −1 ef = fe = f f G

●有限群:由有限个元素构成的群群元的个数定义为群的阶 例子: 1)由{-1,0,1}三个数组成的集合,定义数的加法为群的乘法运算, 构成一个三阶有限群,单位元素为0 2)空间反演群:三维实空间中的恒等变换E(EF=r)和反演变换l r=-r).如果定义群的乘法为从左向右依次施行变换,则E和/构 成一个二阶有限群,称为空间反演群. 3)n阶循环群C,.由一个元素a的幂构成的有限群.设a"=e,则 C.=e.a. a 构成一个群,称为n阶循环群空间反演群是一个2阶循环群A 4)平面正三角形对称群D3保持平面正三角形空间 位置不变的所有转动变换 e:不转 d:绕z轴转2π/3 f:绕z轴转4π/3a:绕1轴转兀 b:绕2轴转兀 c:绕3轴转π B 定义群的乘法为从左向右依次施行变换,构成一个群

● 有限群: 由有限个元素构成的群. 群元的个数定义为群的阶. 例子: 1) 由 {－1,0,1} 三个数组成的集合, 定义数的加法为群的乘法运算, 构成一个三阶有限群, 单位元素为0. 2) 空间反演群: 三维实空间中的恒等变换 E ( )和反演变换 I ( ). 如果定义群的乘法为从左向右依次施行变换, 则E 和I 构 成一个二阶有限群, 称为空间反演群. 3) n阶循环群 . 由一个元素 a 的幂构成的有限群. 设 , 则 构成一个群, 称为n阶循环群. 空间反演群是一个2阶循环群. 4) 平面正三角形对称群 . 保持平面正三角形空间 位置不变的所有转动变换 e : 不转 d : 绕 z 轴转2π/3 f : 绕 z 轴转4π/3 a : 绕 1 轴转π b : 绕 2 轴转π c : 绕 3 轴转π 定义群的乘法为从左向右依次施行变换, 构成一个群. Er = r Ir = −r D3 Cn a e n = { , , , , } 2 −1 = n Cn e a a  a 1 3 2 A B C O

●有限群的乘法表:将有限中所有元素的乘积列为一个表称为乘法表 例:1)n阶循环群的乘法表 C e C 9× aala e 2 4 a aaa 6 aa°a d C a ea

● 有限群的乘法表: 将有限中所有元素的乘积列为一个表, 称为乘法表. 例: 1) n阶循环群的乘法表 e a 2 a 3 a n−1  a e a 2 a 3 a  n−1 a e e e 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a a a a a 3 a 3 a 3 a 3 a n−1 a n−1 a 4 a 4 a 4 a 5 a 5 a 6 a n−2 a

例:2)平面正三角形对称群的乘法表 {e,a,f}构成三阶循环群 {e,a},{e,b}和{e,c}均构成二阶循环群 818282e e C eC baC b f f d 6 b b 6c c bd def d C e

例: 2) 平面正三角形对称群的乘法表 { e, d, f } 构成三阶循环群 { e, a }, { e, b }和{ e, c }均构成二阶循环群. e d f a b c e e d f a b c d d f e c a b f f e d b c a a a b c e d f b b c a f e d c c a b d f e 2 g g1 g1 g2

●无限群:由无限个元素构成的群. 例子 1)由所有整数组成的集合,定义数的加法为群的乘法运算,构成一个分立无 限群,单位元素为0.分立无限群:群元无限可数 2)空间平移群:三维实空间中的所有平移变换7(a)r=r+a对于变换乘 法构成一个连续无限群. 变换乘法:从左向右依次施行变换.连续无限群:群元无限不可数,可用 组连续变化的参数来描述 3三维转动群SO(3).三维空间保持原点不变的所有转动变换构成一个连续 无限群SO3)群元可用绕通过原点的任何一个转动轴k转u的转动C(y) 小 ,由三个连续变化的有界参数(O,q,ψ)标记 ●满秩(正则,非奇异矩阵构成的群:以矩阵的乘法作为群的乘法 1)一般复线性群GL(n,O):所有n阶正则复矩阵构成一个2n维连续群,群元 可用2r实参数标记 般实线性群GLn,:所有n阶正则实矩阵构成一个n2维连续群,群元 可用n个实参数标记

● 无限群: 由无限个元素构成的群. 例子: 1) 由所有整数组成的集合, 定义数的加法为群的乘法运算, 构成一个分立无 限群, 单位元素为0. 分立无限群: 群元无限可数. 2) 空间平移群: 三维实空间中的所有平移变换 对于变换乘 法构成一个连续无限群. 变换乘法: 从左向右依次施行变换. 连续无限群: 群元无限不可数, 可用一 组连续变化的参数来描述. 3) 三维转动群SO(3). 三维空间保持原点不变的所有转动变换构成一个连续 无限群. SO(3)群元可用绕通过原点的任何一个转动轴 k 转ψ 的转动 示 ，由三个连续变化的有界参数 （θ，φ，ψ）标记. ● 满秩(正则,非奇异)矩阵构成的群: 以矩阵的乘法作为群的乘法 1) 一般复线性群GL(n,C): 所有n阶正则复矩阵构成一个2 维连续群, 群元 可用2 个实参数标记. 一般实线性群GL(n,R): 所有n阶正则实矩阵构成一个 维连续群, 群元 可用 个实参数标记. T(a)r = r + a () Ck 2 n 2 n 2 n 2 n

2)特殊复线性群SL(n,O:所有行列式为+1的n阶正则复矩阵构成的 2(n2-1)维连续群,群元由2(n2-1)个实参数标记 特殊实线性群SL(n,R:所有行列式为+1的n阶正则实矩阵构成的 (n2-1)维连续群,群元由(n2-1)个实参数标记 3)酉群U):所有n阶酉矩陲(uru=u'=E)构成的n2维连续群, 群元由n2个实参数标记 特殊酉群SU(以):所有行列式为+1的n阶酉矩阵构成的(n2-1)维 连续群,群元由(n-1)个实参数标记 4)正交群On,O:所有n阶复正交矩阵o(oo=00=E)构成的(n-n) 维连续群,群元由(n2-1)个实参数标记 实特殊正交群SO(n,:所有行列式为+1的n阶实正交矩阵构成的 (n2-n)/2维连续群,群元由(n2-n)/2个实参数标记

2) 特殊复线性群SL(n,C): 所有行列式为 +1 的n阶正则复矩阵构成的 维连续群, 群元由 个实参数标记. 特殊实线性群SL(n,R): 所有行列式为 +1 的n阶正则实矩阵构成的 维连续群, 群元由 个实参数标记. 3) 酉群U(n): 所有n阶酉矩阵 构成的 维连续群, 群元由 个实参数标记. 特殊酉群SU(n): 所有行列式为 +1 的n阶酉矩阵构成的 维 连续群, 群元由 个实参数标记. 4) 正交群O(n,C): 所有n阶复正交矩阵 构成的 维连续群, 群元由 个实参数标记. 实特殊正交群SO(n,R): 所有行列式为 +1 的n阶实正交矩阵构成的 维连续群, 群元由 个实参数标记. 2 n 2( 1) 2 n − 2 n 2( 1) 2 n − ( 1) 2 n − ( 1) 2 n − u (u u = uu = E) + + ( 1) 2 n − ( 1) 2 n − o (o o oo E) T T = = ( ) 2 n − n ( 1) 2 n − ( )/ 2 2 n − n ( )/ 2 2 n − n

2子群和陪集 ◆子群的定义:假设H是群G的一个非空子集,若子集H中的元素按照 群G的乘法构成一个群,则称H为G的子群.记为cG 单位元和群G本身都是群G的子群,称为平庸子群. 如果G1为G的子群,G2为G1的子群,则G2为G的子群 例:1)平面正三角形对称群D.{e,d,f,{ea},{e,b},{e,c}均为D的子群, 2)奇n阶循环群没有非平庸子群. 3)从有限群中的任一元素a出发,都能生成该群的一个循环子群. 4)一般复线性群CL(n,O特殊复线性群SL(n,C→特殊实线性SL(n,R 一般复线性群GL(n,C→酉群U()→特殊酉群SU(n) 般复线性群GL(n,C→复正交群O(n,O→实正交群O(n,冈→特殊实 正交群SO(n,R

2 子群和陪集 ◆ 子群的定义：假设 H 是群 G 的一个非空子集，若 子集 H 中的元素按照 群G 的乘法构成一个群, 则称 H 为 G 的子群. 记为 . 单位元和群 G 本身都是群 G 的子群, 称为平庸子群. 如果G1 为 G 的子群, G2 为 G1 的子群, 则G2 为 G 的子群. 例: 1）平面正三角形对称群D3 . {e,d,f }, {e,a }, {e,b }, {e,c } 均为D3的子群. 2) 奇n阶循环群没有非平庸子群. 3) 从有限群中的任一元素 a 出发, 都能生成该群的一个循环子群. 4) 一般复线性群GL(n,C)特殊复线性群SL(n,C)  特殊实线性SL(n,R) 一般复线性群GL(n,C)酉群U(n) 特殊酉群SU(n) 一般复线性群GL(n,C)复正交群O(n,C) 实正交群O(n,R) 特殊实 正交群SO(n,R) H G

◆陪集的定义:假设H是群G的一个子群,H={b}.对于群G中任意一个不属于子 群H的元素g,可生成子群H的左陪集g和右陪集Hg 8H={ghlh∈H,Hg={ hag h∈H} 根据群的定义,有跏hagH,bggH.陪集元素的个数等与相应子群的阶 陪集定理:设H是群G的一个子群,则H的两个左陪集gH和f要么完全相等,要 么没有任何公共元素 证明:假设gH和mH中有一个公共元素gha=hg,则有f-1g= hB haCh 根据重排定理,有f-1gH=H,即gH= 拉格朗日定理:有限群的阶是其子群的阶的整数倍 证明:设G的一个n阶有限群,H是群G的一个m阶子群.根据拉格朗日 定理,可以构造一个包括H在内的左陪集串,其中每个陪集没有公共 元素且整个陪集串充满群G,即 G=HU8IHU82HU83HU.UgL1H 则有n=Lm 根据拉格朗日定理,可以得到有限群的一种分割方式,即有限群可以分割其子群的陪集串. 推论:阶为素数的群没有非平庸子群. 例:平面正三角形对称群D3可以按子群H={e,a}分为陪集串H1={ea},bH1={b, CH1={c,a}.也可按子群H4={ad分为陪集串H;={e,d},aH4=bH4=cH4={ab,c}

◆ 陪集的定义：假设 H 是群 G 的一个子群， H = { hα }. 对于群 G 中任意一个不属于子 群 H 的元素 g , 可生成子群 H 的左陪集 gH和右陪集 Hg gH = { ghα | hα ∈ H } , Hg = {hα g| hα ∈ H } 根据群的定义, 有 ghα  H , hα g  H . 陪集元素的个数等与相应子群的阶. 陪集定理: 设H 是群 G 的一个子群， 则H 的两个左陪集 gH 和 fH 要么完全相等, 要 么没有任何公共元素. 证明: 假设gH 和 fH 中有一个公共元素ghα = fhβ , 则有 f –1g =hβ hα -1 H. 根据重排定理, 有f –1g H = H , 即g H = fH 拉格朗日定理: 有限群的阶是其子群的阶的整数倍. 证明: 设G 的一个 n 阶有限群, H 是群 G 的一个m 阶子群. 根据拉格朗日 定理, 可以构造一个包括H 在内的左陪集串, 其中每个陪集没有公共 元素且整个陪集串充满群G ,即 G=Hg1Hg2Hg3H…gL-1H 则有 n = Lm. 根据拉格朗日定理, 可以得到有限群的一种分割方式, 即有限群可以分割其子群的陪集串. 推论: 阶为素数的群没有非平庸子群. 例:平面正三角形对称群D3 可以按子群H1={e,a}分为陪集串H1={e,a}, bH1={b,f}, cH1={c,d}. 也可按子群H4={e,d,f}分为陪集串H4={e,d,f}, aH4=bH4=cH4={a,b,c}

3类和不变子群 ◆共轭元素的定义:对于群O中的任意元素S,元素g和f=Sg1定义为互共轭元素.记 为g~f 自轭性:任何元素与其本身共轭,即g~g 对称性:若g~f,则f~g 传递性:若g~f1,g~与,则f1~互 ◆类的定义:群G中所有相互共轭的元素构成的集合称为群O的一个类. 根据共轭关系的性质,群O的一个类中的元素可由该类中任一元素生成,即 f类={f|f=ss1,s∈G,s取遍群G所有元素,重复元素s♂s1只取一次. 根据共轭的传递性可证:两个不同的类没有公共元素 定理:有限群的阶是每一个类的元素个数的整数倍 证明:设G是n阶有限群,对O中的任一元素,作子 H={h∈G|hghr1l=g} 根据陪集定理,可将群G分割成的陪集串.考察陪集串中任一陪集8压2 有g1h8(1H)1=81HgH-11-1=8g81-1. 对于任何g1=881,都有B18(B8)-1=g,即11∈H2 从而∈H。 综上,H的陪集串中每一个陪集对应于类的一个元素,即g类中的元素的个数 等于H的陪集串中陪集的个数

3 类和不变子群 ◆ 共轭元素的定义：对于群G中的任意元素s, 元素g 和 f =sgs -1定义为互共轭元素. 记 为 g~f . 自轭性: 任何元素与其本身共轭, 即g~g 对称性: 若g~f , 则f ~ g. 传递性: 若g~f1, g~f2 , 则f1~f2 ◆ 类的定义：群G中所有相互共轭的元素构成的集合称为群G的一个类. 根据共轭关系的性质, 群G的一个类中的元素可由该类中任一元素生成, 即 f类={ f’|f’ = sfs -1 , s G}, s取遍群G所有元素, 重复元素sfs -1只取一次. 根据共轭的传递性可证: 两个不同的类没有公共元素. 定理: 有限群的阶是每一个类的元素个数的整数倍. 证明: 设G是n阶有限群, 对 G中的任一元素g, 作子 Hg= { hG|hgh−1=g } 根据陪集定理, 可将群G分割成Hg的陪集串. 考察陪集串中任一陪集g1Hg . 有 g1Hg g (g1Hg ) −1= g1Hg g Hg −1 g1 −1= g1g g1 −1. 对于任何g2g g2 −1=g1g g1 −1 ，都有g2 −1g1g（ g2 −1 g1）−1 =g，即g2 −1g1Hg ， 从而g2g1Hg 。 综上， Hg的陪集串中每一个陪集对应于g类的一个元素，即g类中的元素的个数 等于Hg的陪集串中陪集的个数