ut ed 第七节/无穷小的较 无穷小的比较 二等价无穷小替换 小结与思考判断题
一 无穷小的比较 第七节 无穷小的比较 三 小结与思考判断题 二 等价无穷小替换
无穷小的比较 例如,当x→>0时,x,x2,sinx,x2sin都是无穷小 lim -=0 x→>03x 0,x比3x要快得多; 观察各极限一 sind m sinx与x大致相同 0 e sin m limin-不存在.不可比 2 x→>0 x→0 极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 上一页下一页返回
一、无穷小的比较 , . 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. x x x 3 lim 2 →0 x x x sin lim →0 2 2 0 1 sin lim x x x x→ 3 ; 2 x 比 x要快得多 sin x与x大致相同; 不可比. = 0, = 1, x x 1 limsin →0 = 不存在. 观 察 各 极 限 例如, 当 x → 0 时 都是无穷小 x x x x x 1 , ,sin , sin 2 2
定义:设a,B是同一过程中的两个形小,且a≠0. (1)如果imP=0,就说β是比a高阶的无穷小, 记作 B=0(0) (2)如果imP=C(C≠0),就说β与a是同阶的无穷小 c 特殊地如果imp=1,则称β与x是等价的无穷小 记作a~B; (3)如果imβ=C(C≠0,k>0),就说是a的阶的 a 无穷小 上一页下一页返回
( ); (1) lim 0, , = = 记作 o 如果 就说 是比 高阶的无穷小 定义: 设,是同一过程中的两个无穷小,且 0. (2) 如果lim = ( 0),就说与是同阶的无穷小; C C ~ ; lim 1, ; = 记作 特殊地 如果 则称 与 是等价的无穷小 . (3) lim ( 0, 0), 无穷小 如果 k C C k 就说是的k阶的 =
例1证明:当x→Q时,x2tan3x为x的五阶无穷小 x tan x tan x 解im5 lim( 0x 故当x→0时,x2an3x为x的5阶无穷小 例2当x→0时,求tanx-sinx关于x的阶数 tanx-sin x tan x 解:lim cos x lim( x→0 →0x 2 2 tanx-sinx为x的三阶无穷小 上一页下一页返回
解例1 : 0 , tan . 证 明 当x → 时 x2 3 x为x的五阶无穷小 5 2 3 0 tan lim x x x x → ) 1 tan lim( 3 0 = = → x x x 0 , tan 5 . 故 当x → 时 x2 3 x为x的 阶无穷小 例 2 当x → 0时,求tan x − sin x关于x的阶数. 解 3 0 tan sin lim xx x x − → ) tan 1 cos lim( 2 0 x x x x x − = → , 21 = tan x − sin x为x的三阶无穷小
常用等价无穷小:当x→0时 sinx x, arcsinx s x, tanx- x, arctan ln(1+x)~x,e-1~x,1-c0sx~x2 2 用等价无穷小可给出函数的近似表达式: im=1,:imB外Aa-B=0(a) c 于是有a=β+0(a) 例如,sinx=x+0(x),cosx=1-x2+0(x2) 2 上一页下一页返回
常用等价无穷小: 当x → 0时, 例如, sin x = x + o(x), 用等价无穷小可给出函数的近似表达式: lim = 1, lim = 0, − 即 − = o(), 于是有 = + o(). ( ). 2 1 cos 1 2 2 x = − x + o x . 2 1 ln(1 ) ~ , 1 ~ , 1 cos ~ tan ~ , arctan ~ , sin ~ , arcsin ~ , 2 x x e x x x x x x x x x x x x + − −
、等价无穷小替换 定理(等价无穷小替换定理) 设a~a,B~B且im存在,则imb=im, 证Iimp=Jm(B.B,a CC βx:β c c c 上一页下一页返回
二、等价无穷小替换 定理(等价无穷小替换定理) ~ , ~ lim , lim lim . = 设 且 存在 则 证 lim lim( ) = = lim lim lim lim . =
tan'2x 例3求lm x01-cosx 解当x→0时,1-cosx~x2,tan2x~2x 2 原式=lim (2x) 8 →>0 注意不能滥用等价无穷小代换 对于代数和中各无穷小不能分别替换 上一页下一页返回
例3 . 1 cos tan 2 lim 2 0 x x x→ − 求 解 , tan2 ~ 2 . 2 1 0 , 1 cos ~ 2 当x → 时 − x x x x 2 2 0 2 1 (2 ) lim x x x→ 原式 = = 8. 不能滥用等价无穷小代换. 对于代数和中各无穷小不能分别替换. 注意
tanx-sinx 例4求lim x-50 sin 2x 错解当x→>0时,tanx~x,sinx~x 原式×lim x-x x→0 (25=0 解当x→Q时,sin2x~2x tanx-sinx= tanx(1-cosx)x', 2 原式=im21 x→0 (2x)316 上一页下一页返回
例4 . sin 2 tan sin lim 3 0 x x x x − → 求 解 当x → 0时, tan x − sin x = tan x(1− cos x) , 2 1 ~ 3 x sin2x ~ 2x, 3 3 0 (2 ) 2 1 lim x x x→ 原式 = . 16 1 = 解 当x → 0时, tan x ~ x, sin x ~ x. 3 0 (2 ) lim x x x x − = 原式 → = 0. 错
例5求lm tan 5x-cosx +1 x→0 sin 3x #4 tanx=5x+o(x), sin 3x=3x+o(x), 1-c0sx=x2+o(x2) 2 5x+0(x)+x2+o(x2) 原式=lim 2 3x+0(x) ox 0(x 5 -x十 x 2 5 im x→>0 0(x 3 3+ 上一页下一页返回
例 5 . sin 3 tan 5 cos 1 lim0 x x x x − + → 求 解 tan x = 5 x + o(x), sin 3x = 3x + o(x), ( ). 21 1 cos 2 2 − x = x + o x3 ( ) ( ) 21 5 ( ) lim 2 2 0 x o x x o x x o x x + + + + = → 原式 x o x x o x x x o x x ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 5 lim 2 0 + + + + = → . 35 =
三小结与思考判断题 小结 1无穷小的比较:无穷小的阶反映了同一过 程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不 是所有的无穷小都可进行比较 2等价无穷小的替换 求极限的又一种方法,注意适用条件 设a~a1,B~用且im存在,则imB=1mnB 上一页下一页回
2 等价无穷小的替换 1 无穷小的比较： 程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不 是所有的无穷小都可进行比较. 无穷小的阶反映了同一过 ~ , ~ lim , lim lim . = 设 且 存在 则 求极限的又一种方法，注意适用条件. 小结 三 小结与思考判断题