太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）斯托克斯（stokes）公式环流量与旋度

ut ed 第七节斯托克斯(stce公式 环流量与旋度 、斯托克斯公式 二、简单的应用 、物理意义-环流量与旋度 四、小结

第七节 斯托克斯(stokes)公式 环流量与旋度 一、斯托克斯公式 二、简单的应用 三、物理意义---环流量与旋度 四、小结

斯托克斯( stokes)公式 定理议为分段光滑的空间有向闭曲线是以 r为边界的分片光滑的有向曲面r的正向与 的侧符合右手规则,函数P(x,y,z),Q(x,y,z) R(x,y,z)在包含曲醇在内的一个空间区域内具 有一阶连续偏导数,则有公式 OR 00 az o ao ap aP aR ay az )dydz )dxdy ax a Pdx +@dy+ rdz 斯托克斯公式 上一页下一页现回

定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数P( x, y,z),Q( x, y,z), R( x, y,z)在包含曲面 在内的一个空间区域内具 有一阶连续偏导数, 则有公式 一、斯托克斯(stokes)公式 dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ( ) ( ) ( )   −   +   −   +   −       = Pdx + Qdy + Rdz 斯托克斯公式

右手法则 r是有向曲面∑的 正向边界曲线 证明如图 设∑与平行于z轴的直线 ∑x=f(x,y 相交不多于一点,并∑取 上侧,有向曲线C为∑的正 向边界曲线在XOy的投 影且所围区域Dx 上一页下一页返回

n    是有向曲面 的 正向边界曲线   右手法则 x y z o ( , ) :  z = f x y Dxy  C n 证明  设Σ与平行于z 轴的直线 相交不多于一点, 并Σ取 上侧,有向曲线 C 为Σ的正 向边界曲线 在 xoy 的 投 影.且所围区域Dxy . 如图

思路 曲面积分三重积分曲线积分 aP aP P P dzdx dxdy= cos B z @y osr)ds 又:cosβ=-f,c0s",代入上式得 6P,,P apaP cos yas z 上一页下一页返回

思路 曲面积分 1 二重积分 2 曲线积分 ds y P z P dxdy y P dzdx z P ( cos  cos )   −   =   −        又 cos = − f y cos , 代入上式得f ds z P y P dxdy y P dzdx z P y ( )cos   +   = −   −      

即 aP aP aPaP +fUddy ay az apaP Pl,v,f(x,y)l z coP P dzdx dxdy ∫Px,y,∫(x,y)dd, 上一页下一页返回

f dxdy z P y P dxdy y P dzdx z P y ( )   +   = −   −       即 P[x, y, f (x, y)]dxdy , y dxdy y P dzdx z P Dxy     = −   −    y f z P y P P x y f x y y    +   =   [ , , ( , )] 1

根椐格林公式 P[x,y,∫(x,y)d=P[x,y,∫(x,y)dtc 即∫hh-,d小=JPx,,f(x,y) 平面有向曲线 aP aP dzdx az 中=fP(x,y;2, 空间有向曲线 上一页下一页现回

  =   − c D P x y f x y dxdy P x y f x y dx y x y [ , , ( , )] [ , , ( , )] dxdy P x y f x y dx y P dzdx z P  c =   −    即 [ , , ( , )] 根椐格林公式 平面有向曲线 2 dxdy P(x, y,z)dx, y P dzdx z P    =   −   空间有向曲线

同理可证 00 d-d=Q(x,y,z地 ∫,的h一=上R(x,y,, OP OR do aP )dzdx + )dxdy s ay az x o1 ax ax a Ptx+Q+Rz.故有结论成立 上一页下一页返回

dydz Q(x, y,z)dy, z Q dxdy x Q    =   −   同理可证 dzdx R(x, y,z)dz, x R dydz y R    =   −   dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ( ) ( ) ( )   −   +   −   +   −       = Pdx + Qdy + Rdz.. 故有结论成立

便于记忆形式 dydz dzdx dxdy 0a 0GR = Pdx+ody+ rdz ∑ 另一种形式 0 cos a cos cos d=Px+Q小y+Rz 2 ax Po R 其中n={cosa,cosB,0sy} 上一页下一页返回

   = + +       Pdx Qdy Rdz P Q R x y z dydz dzdx dxdy    = + +       ds Pdx Qdy Rdz P Q R x y z cos cos  cos 另一种形式 n = {cos,cos  ,cos }  其中 便于记忆形式

Stokes公式的实质 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系 (当Σ是xoy面的平面闭区域时) 斯托克斯公式 特殊情形 格林公式 上一页下一页返回

Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系. 斯托克斯公式 特殊情形 格林公式 (当Σ是xoy面的平面闭区域时)

二、简单的应用 例1计算曲线积分zdc+xd+y, 其中是平面x+y+z=1被三坐标面所截成的 角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则 解按斯托克斯公式,有 zdx+ xdy +ydz ∫d+tdx+d 上一页下一页返回

例 1 计算曲线积分 zdx + xdy + ydz  , 其 中 是平面x + y + z = 1被三坐标面所截成的 三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则. 二、简单的应用 0 Dxy x y z n 1 1 1 解 按斯托克斯公式, 有 zdx xdy ydz  + +   = dydz + dzdx + dxdy