太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）高斯公式、通量与散度

ut ed 第六节高斯公式、通量与散度 高斯公式 二、简单的应用 、物理意义通量与散度

第六节 高斯公式、通量与散度 一、高 斯 公 式 二、简单的应用 三、物理意义----通量与散度

高斯公式 设空间闭区域Q由分片光滑的闭曲面Σ围成, 函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上具有 阶连续偏导数,则有公式 ∫j( aPa0.OR、 +a+o)dv=i pdyda+@dzdx+rdxdy ax a z 或 ap a0 OR 83 ax ay az. (P cos a+ocos B+ rcos y)ds 上一页下一页返回

设空间闭区域由分片光滑的闭曲面Σ围成, 函数P( x, y,z)、Q( x, y,z)、R( x, y,z)在 上具有 一阶连续偏导数, 则有公式     = + +   +   +   dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) 一、高 斯 公 式 P Q R dS dv z R y Q x P ( cos cos cos ) ( )     =  +  +    +   +   或

这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧, c0sa,cosB,cosy是Σ上点(x,y,z)处的法向 量的方向余弦 证明设闭区域Ω在面xO 上的投影区域为D, Q Σ由∑,∑,和∑三部分组成, Σ1:x=31(x,y) 2(x,y) 上一页下一页返回

这里是的整个边界曲面的外侧， cos,cos  ,cos 是上点(x, y,z)处的法向 量的方向余弦. 证明 设闭区域在 面xoy 上的投影区域为Dxy . x y z o 由1 ,2和3三部分组成, ( , ) 1 : 1  z = z x y ( , ) 2 : 2  z = z x y 3  1 2 3 Dxy

根据三重积分的计算法 OR 2(x,)aR 小y dz addy az Dmi(x, y )a (R,y,2(x, y)I-RE,y,,(x, y)I)dxdy 根据曲面积分的计算法 (Σ取下侧,Σ2取上侧,Σ3取外侧) R(x, y, z)dxdy RG, y, 1 (x, y)lardy 上一页下一页返回

根据三重积分的计算法 dz dxdy z R dy z R Dxy z x y   z x y    =   { } ( , ) ( , ) 2 1 { [ , , ( , )] [ , , ( , )]} . =  2 − 1 Dxy R x y z x y R x y z x y dxdy 根据曲面积分的计算法 ( , , ) [ , , ( , )] , 1 1   = −  Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy (1取下侧, 2取上侧, 3 取外侧)

R(x,y, z)dxdy=RIx,y,2(x, y)]dxdys ∫(x,y)dd=0 于是「R(x,y,z)y =』 (Rx, y, 22(x, y)I-R,y, (x, y)13dxdy OR R(, y z)dxd小y. 上一页下一页返回

( , , ) [ , , ( , )] , 2 2   =  Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy { [ , , ( , )] [ , , ( , )]} , =  2 − 1 Dxy R x y z x y R x y z x y dxdy   于是 R(x, y,z)dxdy ( , , ) 0. 3 =   R x y z dxdy ( , , ) .     =    dv R x y z dxdy z R

aP 同理 dv=H P(x, y, z)dydz, Qor ∑ 00 dv=h o(x,y, z dzdx, 和并以上三式得: op 0 OR ++o)dv=i prydz+odzdx+ rdxdy Q ax ay az ∑ -高斯公式 上一页下一页返回

( , , ) ,     =   dv P x y z dydz x P 同理 ( , , ) ,     =   dv Q x y z dzdx y Q     = + +   +   +   dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) ------------------高斯公式 和并以上三式得：

由两类曲面积分之间的关系知 OP 00 OR a ay a (Pcos a+ocos B+Rcos r)ds. Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系 上一页下一页返回

Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系. ( cos cos cos ) . ( )     = + +   +   +   P Q R dS dv z R y Q x P    由两类曲面积分之间的关系知

、简单的应用 例1计算曲面积分 (x-y)dxdy+(y-z)xdydz 其中∑为柱面x2+y2=1及平 面x=0,=3所围成的空间闭 区域Ω的整个边界曲面的外侧 解P=(y-z)x,Q=0,x R=x-y, 上一页下一页返回

例1 计算曲面积分 (x − y)dxdy + ( y − z)xdydz   其中Σ为柱面 1 2 2 x + y = 及平 面z = 0,z = 3所围成的空间闭 区域的整个边界曲面的外侧. x o z y 1 1 3 解 , ( ) , 0, R x y P y z x Q = − = − = 二、简单的应用

aP dQ OR J-3 =0, ax ay az 原式=∫(-a)dk (利用柱面坐标得) ∫ S(rsin-a) rdrdedz 9丌 上一页下一页返回

, 0, = 0,   =   = −   z R y Q y z x P   原式 = ( y − z)dxdydz   = (rsin − z)rdrddz . 2 9 = − (利用柱面坐标得) x o z y 1 1 3

使用Guas公式时应注意 1.P,Q,R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件; 3.∑是取闭曲面的外侧 上一页下一页返回

使用Guass公式时应注意: 1.P,Q,R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件; 3.Σ是取闭曲面的外侧