ut ed 第九节正弦级数和余弦级数 奇函数和偶函数的傅立叶级数 二函数展开成正弦级数和余弦级数
第九节 正弦级数和余弦级数 一 奇函数和偶函数的傅立叶级数 二 函数展开成正弦级数和余弦级数
奇函数和偶函数的傅立叶级数 般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项, 又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只 含有正弦项或者只含有常数项和余弦项 定理设∫(x)是周期为2丌的函数,且可积,则 (1)当f(x)为奇函数时,它的傅里叶系数为 (n=0,1,2,…) Tf(x)sin nxx ( 丌0 上一页下一页返回
(1) 当 f ( x)为奇函数时，它的傅里叶系数为 ( )sin ( 1,2, ) 2 0 ( 0,1,2, ) 0 = = = = b f x nxdx n a n n n 一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项, 又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只 含有正弦项或者只含有常数项和余弦项. 定理 设 f ( x) 是周期为 2 的函数,且可积,则 一 奇函数和偶函数的傅立叶级数
(2)当f(x)为偶函数时,它的傅里叶系数为 ∫(x) cos ndx(n=0,1,2,…) b.=0 证明(1)设∫(x)是奇函数 x)cos near 元 0 (n=0,1,2,3,…) 上一页下一页返回
(2)当 f ( x)为偶函数时,它的傅里叶系数为 0 ( 1,2, ) ( ) cos ( 0,1,2, ) 2 0 = = = = b n a f x nxdx n n n − = an f (x)cosnxdx 1 = 0 (n = 0,1,2,3, ) 证明 (1) 设 f (x) 是奇函数
b=rf(x)sin ndx=-5of(x)sin ndr T T 偶函数 (n=1,2,3,…) 同理可证(2) 定理证毕 2定义(1)如果∫(x)为奇函数,其傅立叶级数 ∑ b sin nx称为正弦级数 (2)如果∫(x)为偶函数,其傅立叶级数 0+∑ a cos nx称为余弦级数 2 n-=1 上一页下一页返回
2. 定义 (1)如 果 f ( x) 为奇函数,其傅立叶级数 b nx n n sin 1 = 称为正弦级数 (2) 如 果 f ( x) 为偶函数 , 其 傅 立 叶 级 数 a n x a n n cos 2 1 0 + = 称为余弦级数. 同理可证(2) 定理证毕. = 0 ( )sin 2 f x nxdx (n = 1,2,3, ) = − bn f (x)sinnxdx 1 偶函数
例1设∫(x)是周期为丌的周期函数,它在_丌,兀) 上的表达式为f(x)=x,将f(x)展开成傅立叶级 数 解所给函数满足狄利克雷充分条件 在点x=(2k+1)兀(k=0,±1,±2,…)处不连续 收敛于f(z=0)+f(z+0=7+(-z)=0 2 在连续点x(x≠(2k+1)丌)处收敛于(x), 上一页下一页返回
解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 在点 x = (2k + 1) (k = 0,1,2, ) 处不连续 2 f ( − 0) + f (− + 0) 2 + (− ) 收敛于 = = 0, 在连续点 x(x (2k + 1) ) 处收敛于 f (x), 例1 设 是周期为 的周期函数,它在 上的表达式为 ,将 展开成傅立叶级 数. f (x) f (x) = x 2 [− , ) f (x)
∵x≠(2k+1)兀时(x)是以2丌为周期的奇函数 和函数图象 3π-m TC: 2π3π 0,(n=0,1,2,…) 上一页下一页返回
− − 3 − 2 − 2 3 x y0 x (2k + 1) 时 f (x) 是以2 为周期的奇函数 和函数图象 a = 0, (n = 0,1,2,) n
2 2 ∫nf(x) sin node2 x sin ndx 元 2. xcosnx sinn 2 n n+1 (n=1,2,) f(x=2(sinx -sin 2x +-sin3x-.) 2 3 n+1 slny。 H-=1 (-00<x<+0;x≠土兀,士3兀 上一页下一页现回
= 0 ( )sin 2 bn f x nxdx= 0 sin 2 x nxdx 2 0 ] cos sin [ 2 n nx n x nx = − + n n cos 2 = − ( 1) , 2 +1 = − n n (n = 1,2, ) sin3 ) 3 1 sin2 2 1 f (x) = 2(sin x − x + x − sin . ( 1) 2 1 1 = + − = n n nx n (− x + ; x ,3 , )
例2设∫(x)是以27为周期的函数,它在-丌,丌 上的表达式为 f(x)=x2(-丌≤x<丌) 将∫(x展开成傅立叶级数 解所给函数是满足收敛定理条件的偶函数,且处 处连续所以f(x)的傅立叶级数点点收敛于f(x) u()为偶函数, b=0,(n=12,…)N2/ 兀 T 丌2元 4兀 上一页下一页回
u(t)为偶函数, = 0, bn (n = 1,2, ) 例2 设 是以 为周期的函数,它在 上的表达式为 f (x) 2 [− , ] ( ) ( ) 2 f x = x − x 将 f (x) 展开成傅立叶级数. 处连续.所以 的傅立叶级数点点收敛于 解 所给函数是满足收敛定理条件的偶函数,且处 f (x) f (x). x y − 0 2 − 2 − 3 3 4 − 4
=z2(x=2 2 xX=-丌 0 3 no f(x)cos node=jk r cos nr 元 元 0 (-1)”-2(m=1,2,) f(x)的傅立叶展开式为 f(x)=+4(-1)2 2 2 cost(-∞<x<+) n=I n 上一页下一页返回
= 0 ( )cos 2 an f x nxdx= 0 2 cos 2 x nxdx = 0 0 ( ) 2 a f x dx 2 0 2 3 2 2 = x dx = ( 1,2, ) 4 ( 1) = − 2 n = n n f (x) 的傅立叶展开式为 = − + − = + 1 2 2 cos ( ) ( 1) 4 3 ( ) n n nx x n f x
二、函数展开成正弦级数或余弦级数 非周期函数的周期性开拓 设∫(x)定义在0,上,延拓成以2兀为周期 的函数F(x) 「f(x)0≤x≤ 令F(x)= g(x)丌<x<0 且F(x+2n)=F(x), 则有如下两种情况奇延拓 偶延拓 上一页下一页返回
二、函数展开成正弦级数或余弦级数 非周期函数的周期性开拓 设 定义在 上,延拓成以 为周期 的函数 f (x) [0, ] 2 F(x). , ( ) 0 ( )0 ( ) − = g x x f x x F x 令 且 F(x + 2 ) = F(x), 则有如下两种情况 奇延拓 偶延拓