太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）函数的微分

第二节函数的做分 问题的提出 微分的定义 可微与可导关系 四微分的几何意义 五微分在近似计算中的应用 六小结

第二节 函数的微分 一 问题的提出 二 微分的定义 三 可微与可导关系 四 微分的几何意义 五 微分在近似计算中的应用 六 小结

问题的提出 例1.正方形金属薄片受热后面积的改变量 设边长由x变到xn+Ax, 因为正方形的面积 △r 所以△4=(xn+△Ax)2-x2 2x0·△x+(△x) (1):△x的线性函数,为△A的主要部分 (:△x的高阶无穷小,当△x很小时可忽略 上一页下一页返回

2 A  x0 x0 x0 (): x的线性函数, 为A的主要部分; (): x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略. x x 2 (x) x x 0 x0x 例1.正方形金属薄片受热后面积的改变量. () () 设边长由 变到 因为正方形的面积 所以 2 ( ) . 2  x0 x  x 2 0 2 0 A  (x  x)  x , x0 x0  x 一 、问题的提出

二微分的定义 1定义1设函数y=f(x)在某个区间内有定义, x及x0+△x在这区间内,如果 4y=f(x0+△)-f(x)=A△x+0(△x) 成立(其中A是与△关的常数),则称函数 y=∫(x)在点x可微,并且称A·△x为函数 y=∫(x)在点x相应于自变量增量Ax的微分 记作或f(x0),即小==A△x 上一页下一贡返回

是与 1.定义1.设函数 y  f (x)在某个区间内有定义， 0 x x  x 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 y  f x  x  f x  Ax  o x A 及 在这区间内，如果 成立(其中 x无关的常数),则称函数 为函数 x0 的微分 y  f (x) 0 |x x dy  ( ), 0 df x dy A x x x   0 | 在点 0 x 可微,并且称Ax y  f (x)在点 相应于自变量增量 x 记作 或 即 二 微分的定义

微分dy叫做函数增量△y的线性主部 2.说明: (1)是自变量的改变量Ax的线性函数; (2)4y-小=0(△x)是比△x的高阶无穷小; (3)lim Δy- △y→0 4-是比今y的高阶无穷小 (4)当|△x很小时,≈小(线性主部) 上一页下一贡返回

2.说明： 的高阶无穷小； dy x y  dy  o(x)是比x (1) 是自变量的改变量 的线性函数； (2) lim 0, 0       y y dy y y  dy y (3) 是比 的高阶无穷小； (4) 当 | x |很小时，y  dy（线性主部). 微分dy叫做函数增量Δy的线性主部

三、可微与可导关系 1定理函数∫(x)在点x可微的充要条件是函 数f(x)在点x处可导,且A=f(x) 证(1)必要性∵∫(x)在点x可微 △y=A△x+0(Ax,∴=A40(△x) △ △v △y △ 则lim=A+lim 0(△x) Ax→+0△v Ax→>0△x 即函数f(x)在点x可导,且A=f(x 上一页下一页返回

( ) ( ). ( ) 0 0 0 f x x A f x f x x 数 在点 处可导, 且   1 定理函数 在点 可微的充要条件是函  A. 证 (1) 必要性 在点 可微, 0  f (x) x y  Ax  o(x), , ( ) x o x A x y        x o x A x y x x           ( ) lim lim 0 0 则 ( ) ( ). 0 x0 即函数 f x 在点 x 可导, 且A  f  三、可微与可导关系

(2)充分性∵函数f(x)在点x可导, ∫(x),即分=f(xn)+a, 0△ △v 从而△y=f(x0)△x+a·(△x),:a→0△x→0), ∫(x0)·Δx+o(△x), 函数∫(x)在点x可微,且∫(x0)=A 可导分可微.A=f(x0) 函数y=∫(x)在任意点x的微分,称为函数的 微分,记作小或df(x),即如=f(x)ax 上一页下一页返回

(2) 充分性 ( ) ( ), 从而 y  f  x0  x   x ( ) ,   0    f x x y 即 函数 在点 可导, 0  f (x) x lim ( ), 0 0 f x x y x          0(x  0), ( ) ( ), 0  f  x x  o x ( ) ( ) . 函数 f x 在点 x0可微, 且 f  x0  A ( ). x0  可导  可微. A  f  , ( ), ( ) . ( ) , dy df x dy f x dx y f x x    微分 记作 或 即 函数 在任意点 的微分 称为函数的

2.补充定义 定义2自变量的微分定义为自变量的增量,即, dx=△v 由此将微分记为:dy=∫(x)dx 而f(x)=, dx 函数的导数也称为“微商” 上一页下一页返回

2.补充定义 定义2 自变量的微分定义为自变量的增量，即， dx  x. 由此将微分记为：dy  f (x)dx. ( ) , dx dy 而 f  x  函数的导数也称为“微商

四、微分的几何意义 几何意义:(如图)y 当Ay是曲线的纵 0(△x) 坐标增量时,小 y=f(r) 就是切线纵坐标 对应的增量 xa+△x 当Ax很小时,在点M的附近, 切线段MP可近似代替曲线段MN 上一页下一页返回

y  f ( x) 0x M N T dy y o(x) ） x y o  x 几何意义：(如图) 对应的增量. 就是切线纵坐标 坐标增量时, 当 是曲线的纵 dy y x  x 0 P MP MN . x M 切线段 可近似代替曲线段 当Δ 很小时, 在点 的附近, 四、微分的几何意义

五、微分在近似计算中的应用 1.增量的近似计算 △y≈=∫(x)△x当|△x|很小时, 2函数的近似计算 f(xo+Ax)≈f(x0)+f(x0)△x,当|△x很小时 或f(x)≈∫(xn)+∫(xn)(x-x,当x-xo|很小时 特别地f(0)≈f(0)+f(0)x,当△x很小时 上一页下一页返回

1.增量的近似计算 y  dy  f ( x)x 当| x | 很小时. 2.函数的近似计算 五、微分在近似计算中的应用 ( ) ( ) ( ) , 0 0 0 f x  x  f x  f  x x 当| x | 很小时. 特别地 f (0)  f (0)  f (0)x, 当| x | 很小时. ( ) ( ) ( )( ), 0 0 0 或f x  f x  f  x x  x 当 很小时. 0 | x  x |

例2求、√0.97的近似值 解设∫(x)=√x,∫(x)= 2√x 取x0=1,△x=-0.03, f(x+△x)≈∫(x)+f(x0)△x 0 0 097≈1+×(-0.03)=0985 2 上一页下一贡返回

例2.求 0.97 的近似值. 解 设 x f x x f x 2 1 ( )  , ( )  取 1, 0.03, x0  x   f (x  x)  f (x )  f (x )x  0 0 0 x x  x   0 0 2 1 ( 0.03) 0.985. 2 1  0.97  1   