ut ed 第一节微分中值定理 一、罗尔(Role)定理 拉格朗ggy中值定理 、柯西( cauchy)中值定理 四、泰勒( Taylor)中值定理
一、罗尔(Rolle)定理 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 第一节 微分中值定理 四、泰勒(Taylor)中值定理
罗尔(RoIe)定理 1费马( Fermat)引理 若函数f(x)在(a,b)内一点x取得最值, 且f(x)在点x可微,则f(x0)=0 几何解释: 曲线在最高点和最低点 y=∫(x) 然有水平切线,其斜 率为0 52 b x 上一页下一页返回
1 费马（Fermat)引理 一、罗尔(Rolle)定理 几何解释: 率为0. 显然有水平切线，其斜 曲线在最高点和最低点 x y o y = f (x) 1 2 a b 0 0 0 0 f ( x ) x f ( x ) = f ( x ) ( a,b ) x 且 在点 可微，则 若函数 在 内一点 取得最值
证明:只就f(x)在x达到最大值证明 由于f(x)在x达到最大值,所以只要。+Ax在(a,b)内 就有f(x+△x)≤∫(x0,即f(x+△x)-f(x0)≤0, 从而f(x+Ax)-f(x≤0,当Ax>Q时 ∫(xn+△x)-f(x)≥0,当A0 f(o-0=lim f(x0+Ax)-∫(x0) 0 X→0 △ 所以f(x)=0 上一页下一页现回
证明: 只就f (x)在x0 达到最大值证明。 ( ) ( ), ( ) ( , ) , 0 0 0 0 f x x f x f x x x x a b + + 就 有 由 于 在 达到最大值，所以只要 在 内 ( ) ( ) 0, 即 f x0 + x − f x0 0, 0 ; ( ) ( ) 从 而 0 0 当 时 + − x x f x x f x 0, 0 ; ( ) ( ) 0 0 当 时 + − x x f x x f x 0 ( ) ( ) ( 0) lim 0 0 x 0 0 + − + = → + x f x x f x f x 这 样 0. ( ) ( ) ( 0) lim 0 0 x 0 0 + − − = → − x f x x f x f x 所以f (x0 ) = 0
2罗尔(Role)定理 罗尔( Rolle)定理如果函数f(x)在闭区间|a,b 上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数 值相等,即f(a)=f(b),那末在(a,b)内至少有一点 ξ(a<ξ<b),使得函数f(x)在该点的导数等于零, 即∫(2)=0 C y=∫(x) 几何解释: 在曲线弧AB上至少有一点,在该点处的切线是水 上一页下一页返回
几何解释: 在曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的切线是水平的. 2 罗尔(Rolle)定理 罗尔（Rolle）定理 如果函数 f (x)在闭区间 [a,b] 上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数 值相等，即 f (a) = f (b),那末在(a,b) 内至少有一点 (a b),使得函数 f (x)在该点的导数等于零， 即 ( ) 0 ' f = C a 1 2 b x y o y = f (x)
证∵f(x)在[a,b]连续,必有最大值M和最小值m (1)若M=m.则∫(x)=M 由此得∫'(x)=0.V号∈(a,b),都有∫'(2)=0 (2)若M≠m.∵∫(a)=∫(b), 最值不可能同时在端点取得 设M≠f(a 则在(a,b)内至少存在一点ξ使∫(4)=M 由费马引理可知,f()=0. 上一页下一页返回
证 f (x) 在[a,b]连续, 必有最大值 M 和最小值 m. (1) 若 M = m. 则 f (x) = M. 由此得 f (x) = 0. (a,b), 都有 f () = 0. (2) 若 M m. f (a) = f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a), 则在 (a,b)内至少存在一点 使 f ( ) = M. 由费马引理可知， f ( ) = 0
注1:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立 例如,y=x,x∈[-1l 注2:若罗尔定理的条件仅 0 是充分条件,不是必要的 例如, f-x2-1≤x<1 y=1 f"(0)=0 上一页下一页返回
注1:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立. 例如, y = x , x [−1,1]; 注2:若罗尔定理的条件仅 是充分条件，不是必要的. 例如, = = 0 1 -1 1 ( ) 2 x x x f x f (0) = 0 X Y -1 1 0
例1证明方程x5+x-1=0有且仅有一个正实根 证:1)存在性 设f(x)=x3+x-1,则f(x)在0,1连续, 且∫(0)=-1,f(1)=1.由零点定理 彐xo∈(0,1),使f(x0)=0.即为方程的正实根 2)唯一性 设另有x∈(0,4)2x1≠x0,使f(x1)=0. f(x)在x0,x1之间满足罗尔定理的条件, 至少存在一个(在x,x1之间),使得f(5)=0 但∫(x)=5x+1>0(x∈(0,1)矛盾,为唯一实根 上一页下一页返回
例1 1 0 . 证明方程x 5 + x − = 有且仅有一个正实根 2）唯一性 (0,1), , 设另有 x1 x1 x0 ( ) 0. 使 f x1 = ( ) , , f x 在 x0 x1 之间满足罗尔定理的条 件 至少存在一个 (在 x0 , x1 之间),使得 f () = 0. ( ) 5 1 0 4 但 f x = x + (x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根. ( ) 1, 5 设 f x = x + x − 则 f (x)在[0,1]连续, 且 f (0) = −1, f (1) = 1. 由零点定理 (0,1), ( ) 0. x0 使 f x0 = 即为方程的正实根. 证：1）存在性
、拉格朗日( Lagrange)中值定理 将罗尔定理条件中去掉f(a)=f(b,得到 拉格朗日( Lagrange)中值定理如果函数八x)在 闭区间[a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,那末在 (a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使等式 ∫(b)-∫(a)=f'(2)(b-a)成立 结论亦可写成(O)-f(=r(E b-a 上一页下一页返回
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x)在 闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那末在 (a,b)内至少有一点(a b)，使等式 ( ) ( ) ( )( ) ' f b − f a = f b − a 成 立. ( ). ( ) ( ) = − − f b a f b f a 结论亦可写成 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 将罗尔定理条件中去掉f ( a ) = f ( b ),得到
几何解释: B 在曲线弧AB上至少有 点C,在该点处的切 D 线平行于弦AB. 0a51x 化归证明法 证分析:条件中与罗尔定理相差f(a)=∫(b) 弦AB方程为y=∫(a)+ ∫(b)-∫(a b 曲线f(x)减去弦AB, 所得曲线n,b两端点的函数值相等 上一页下一页现回
几何解释 : AB. C, AB 线平行于弦 一点 在该点处的切 在曲线弧 上至少有 o a 1 x 2 b x y y = f (x) A B C N D M 证 分析 : 条件中与罗尔定理相差f (a) = f (b). 弦AB方程为 ( ). ( ) ( ) ( ) x a b a f b f a y f a − −− = + 曲线 f (x) 减去弦 AB, 所得曲线a,b两端点的函数值相等. 化归证明法
作辅助函数 F(x)=∫(x)-[f(a)+ f∫(b)-∫(an (x-a) b-a F(x)满足罗尔定理的条件 则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得F(2)=0 f"(ξ) f(b)-∫(a) =0 或∫()-f(a)=∫"()(b-a)拉格朗日中值公式 注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系 上一页下一页回
作辅助函数 ( )]. ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) x a b a f b f a F x f x f a − − − = − + F(x)满足罗尔定理的条件, 则在(a,b)内至少存在一点,使得 F() = 0. 0 ( ) ( ) ( ) = − − − b a f b f a 即 f 或 f (b) − f (a) = f ()(b − a). 拉格朗日中值公式 注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系