ut ed 第二节可分离变量的徽分方程 、可分离变量的微分方程 典型例题 小结
第二节 可分离变量的微分方程 一、可分离变量的微分方程 二、典型例题 三、小结
可分离变量的微分方程 g(y)=∫(x)小可分离变量的微分方程 例如=2x2y→!y=2x2dx, 解法设函数g(y)和∫(x)是连续的 ∫g()=∫f(x)k=分离变量法 设函数G(y)和F(x)是依次为g(y)和∫(x)的原 函数,G(y)=F(x)+C 为微分方程的通解方程特征 上一页下一页返回
x y dx dy 2 例如 = 2 2 , 1 2 dy x dx y = 解法 设函数g( y)和 f (x)是连续的, 设函数G( y)和F(x)是依次为 g( y)和 f (x)的 原 函 数, G( y) = F( x) + C 为微分方程的通解方程特征. 分离变量法 g( y) = f (x)dy 可分离变量的微分方程. = g( y)dy f (x)dx 一、可分离变量的微分方程
二、典型例题 例1求解微分方程,=3x2y的通解 解分离变量如=3x2h, J 两端积分 3xdx Iny=x +C y=ce为所求通解 上一页下一页返回
例1 求解微分方程 . 2 3x y 的通解 dx dy = 解 分离变量 3 , 2 x dx y dy = 两端积分 3 , 2 = x dx y dy 1 3 ln y = x + C 为所求通解. 3 x y = ce 二、典型例题
例2求方程(+e)y'=e满足初始条 件y∽n=0的特解 解分离变量yy=,xdr 1+e 两端积分 y=In(1+e 2)+C 2 将yx=20=0代入上式得C=-m2 1+e y=2In 为所求的特解. 上一页下一页返回
解 件 的特解. 求方程 满足初始条 0 1 0 = + = x= x x y 例2 （ e ）yy e dx x e x e ydy + = 1 分离变量 两端积分 C x y = ln(1 + e ) + 2 2 1 0 ln 2 0 = = − = C x 将y 代入上式得 为所求的特解. 2 1 2ln 2 x e y + =
例3衰变问题放射性元素铀的衰变速度与未衰变原 子含量M成正比,已知M=0=M0,求衰变过程中铀 含量M(t)随时间t变化的规律 解衰变速度,由题设条件 dM dt dM aM(4>0衰变系数) ndt dM ∫-Ad,mM=-at+mnc,即M=ce a t M 代入M10=M得M 0 = ce MEM at 0 衰变规律 上一页下一页现回
例 3 衰变问题:放射性元素铀的衰变速度与未衰变原 子含量M 成正比,已 知 0 0 M t M = = ,求衰变过程中铀 含 量M(t)随时间t变化的规律. 解 , dt dM 衰变速度 由题设条件 = −M( 0衰变系数) dt dM dt M dM = − = − dt, M dM ln M = −t + lnc, , t M ce − 即 = , 0 0 M t M = 代入 = 0 0 得 M = ce = C, t M M e − = 0 衰变规律
例5某车间体积为12000立方米,开始时空气中 含有01%的CO2,为了降低车间内空气中CO2 的含量,用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机 通入含0.03%的CO,的新鲜空气,同时以同样的 风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分 钟后,车间内CO2的百分比降低到多少? 解设鼓风机开动后时刻CO2的含量为x() 在[t,t+dh内, CO,的通入量=2000at.0.03, CO,的排出量=2000.d.x(t)2 上一页下一页返回
解 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中 含有 的 , 为了降低车间内空气中 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机 通入含 的 的新鲜空气, 同时以同样的 风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分 钟后, 车间内 的百分比降低到多少? 例5 1% CO2 0. CO2 CO2 CO2 0.03% 设鼓风机开动后 t 时刻 CO2 的含量为 x(t)% 在 [t, t + dt] 内, CO2 的通入量 CO2 的排出量 = 2000dt 0.03, = 2000 dt x(t)
CO2的含量=CO2的通入量一CO,的排出量 12000dx=2000·dt.0.03-2000.dt·x(t) (x-0.03),→x=0.03+Ce x|0=0.1,C=0.07,→x=0.03+0.07e6, X= 0.03+0.07e≈0.056 6分钟后,车间内CO的百分比降低到0.056%. 上一页下一页返回
12000dx = 2000 dt 0.03 − 2000 dt x(t), ( 0.03), 6 1 = − x − dt dx , 6 1 0.03 t x Ce − = + | 0.1, x t=0 = C = 0.07, 0.03 0.07 , 6 1 t x e − = + | 0.03 0.07 0.056, 1 6 = + − = x e t 6分钟后, 车间内 的百分比降低到 0.056%. CO2 CO2的含量＝CO2的通入量－CO2的排出量
三、小结 分离变量法步骤 1分离变量; 2两端积分--隐式通解 上一页下一页返回
分离变量法步骤: 1.分离变量; 2.两端积分-------隐式通解. 三、小结
思考题 求解微分方穆d+s+-y=c0s2 rt y dx 上一页下一页返回
思考题 求解微分方程 . 2 cos 2 cos x y x y dx dy + = − +
思考题解答 中ad cOS - cOs x+y=0 2 2 +2sin-sin=o SInar 2sin Inlcscv-coty=2c0s+C,为所求解 2 2 上一页下一页返回
思考题解答 0, 2 cos 2 cos = + − − + x y x y dx dy 0, 2 sin 2 + 2sin = x y dx dy , 2 sin 2 2sin = − dx x y dy 2 cot 2 lncsc y y − , 2 2cos C x = + 为所求解