ut ed 第四章不定积分 第一节不定积分的概念与性质 第二节不定积分的计算 第三节几类特殊函数的积分
第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 第二节 不定积分的计算 第三节 几类特殊函数的积分
ut ed 第一节不定积分的概念与性质 原函数与不定私分的概念 不定积分的性质 基本积分表 四小结
第一节 不定积分的概念与性质 一 原函数与不定积分的概念 二 不定积分的性质 三 基本积分表 四 小结
、原函数与不定积分的概念 定义1如果在区间厂内,可导函数F(x)的 导函数为f(x即对vx∈I都有F(x)=∫(x) 或dF(x)=∫(x)x,那么函数F(x)就称为f(x) 或∫(x)在区间Ⅰ内的一个原函数 上一页下一页返回
一、原函数与不定积分的概念 ， ， ， F(x) 即对 那么函数 就称为 定义1 如果在区间 内，可导函数 的 都有 或 导函数为 或 在区间 内的一个原函数 F(x) f (x) x I ( ) ( ) ' F x = f x dF(x) = f (x)dx f (x) f (x)dx I I
原函数存在定理: 如果函数f(x)在区间I内连续,那么在区间Ⅰ 内存在可导函数F(x), 对vx∈都有F(x)=∫(x) 简言之:连续函数一定有原函数 问题:(1)原函数是否唯一? (2)若不唯一它们之间有什么关系? 例(sinx)=cosx(inx+C) (C为任意常数) 上一页下一页返回
问题：(1)原函数是否唯一？ (2)若不唯一它们之间有什么关系? . ， (sin x C) = cos x + （ C 为任意常数） 例 (sin x) cos x ' = 原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. 如果函数 在区间 内连续，那么在区间 对 ，都有 内存在可导函数 f (x) I I F(x) x I ( ) ( ) ' F x = f x
关于原函数的说明 (1)若F(x)=f(x),则对于任意常数C, F(x)+C都是f(x)的原函数 (2)若F(x)和G(x)都是∫(x)的原函数, 则F(x)-G(x)=CC为任意常数) iE F(x)-G(x)=F(x)-G'(x) =f(x)-∫(x)=0 :F(x)-G(x)=C(C为任意常数) 上一页下一页返回
关于原函数的说明 C . 证 F(x) G(x) = F(x) −G(x) − = f (x) − f (x) = 0 F(x) −G(x) = C （ C 为任意常数） 则 （2）若 F(x) 和 G(x) 都是 f (x) 的原函数， F(x) −G(x) = C （ 为任意常数） （1）若 F(x) = f (x) ，则对于任意常数 ， F(x) +C 都是 f (x) 的原函数 C
这样,当C为任意常数时,形如F(x)+C 的函数族,包括了f(x)全体原函数 定义2在区间内,函数f(x)的带有任意常数项 的原函数,称为f(x)或f(x)在区间Ⅰ内的 不定积分,记为f(x)dxc ∫f(x)k=F(x)+C 积 积 分 被积表 分 号表变 任意常数 式 上一页下一页返回
积 分 变 量 的函数族，包括了 C F(x) +C f (x) 这样，当 为任意常数时，形如 的全体原函数. 在区间 内， 的原函数 , 称为 或 在区间 内的 不定积分，记为 f (x)dx 定义2 I 函数 f (x) 的带有任意常数项 f (x) f (x)dx I 任 意 常 数 被 积 表 达 式 积 分 号 积 分 变 量 f (x)dx = F(x) + C
例1求「3x2 解:(x)=3x2∴∫3xx=x2+C 例2求 cos xd 解 ∵(SInx)=coSx cos xdx= sinx+c 例3求」c 解 nx x=lnx+C 上一页下一页返回
例1 求 解 例2 求 解 例3 求 解 x dx 2 3 3 ' 2 (x ) = 3x x dx = x + C 3 2 3 cos xdx (sin x) cos x ' = cos xdx = sin x + C dx x 1 ( ) x x 1 ln = dx x C x = + ln 1
例4设曲线通过点(2,5),且其上任一点处的 切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线方程 解设曲线方程为y=f(x), 根据题意知=2x, 即∫(x)是2x的一个原函数 ∫2xdx=x2+C, ∴必彐某个常数C使 f(x)=x2+C, 上一页下一页返回
例4 设曲线通过点（2，5），且其上任一点处的 切线斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线方程. . 2 , 2 xdx = x + C 解 设曲线方程为 y = f (x), 根据题意知 2x, dx dy = 即 f (x)是 的一个原函数 ( ) , 2 f x = x +C 必 某个常数 C 使 2x
由曲线通过点(2,5)代入上式,得C=1, 所求曲线方程为y=x2+1 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线 显然,求不定积分得到一积分曲线族 上一页下一页返回
. 由曲线通过点（2，5） c = 1, 所求曲线方程为 1. 2 y = x + 代入上式，得 函数 的原函数的图形称为 的积分曲线 显然，求不定积分得到一积分曲线族. f (x) f (x)
不定积分的性质 由不定积分的定义,可知 4nx41x,(=), 「F(x)lt=F(x)+C,∫lF(x)=F(x)+C 结论:微分运算与求不定积分的运算是互逆的 上一页下一页返回
由不定积分的定义，可知 f (x)dx f (x), dx d = d[ f (x)dx] = f (x)dx, ( ) ( ) , F x dx = F x + C ( ) ( ) . dF x = F x + C 结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 二、不定积分的性质