ut ed 第四节平面及其方程 、图形与方程 平面的点法式方程 三、平面的一般方程 四、两平面的夹角
第四节 平面及其方程 一、图形与方程 二、平面的点法式方程 三、平面的一般方程 四、两平面的夹角
、图形与方程 在空间直角坐标系中,设曲面S(或曲线L)与 三元方程(或方程组)F(xy,=)=0或∫F(x,y,=)=0 F2(x,y,z)=0 有下述关系: (1)曲面S(或曲线L)上任意一点的坐标都满足 上述方程(或方程组) (2)满足上述方程(或方程组)的(x,y,z)都是 曲面S(或曲线L)上的坐标 那么,上述方程(或方程组)叫曲面S(或曲线的方程 ,而曲面S(或曲线L)叫做上述方程(或方程组)的图形 上一页下一页回
在空间直角坐标系中，设曲面S（或曲线L)与 三元方程（或方程组） F(x, y,z) = 0 或 = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 2 1 F x y z F x y z (x, y,z) 都是 有下述关系： （1）曲面S（或曲线L)上任意一点的坐标都满足 上述方程（或方程组）. （2）满足上述方程（或方程组）的 曲面S（或曲线L)上的坐标. 那么，上述方程（或方程组）叫曲面S（或曲线L)的方程 ，而曲面S（或曲线L)叫做上述方程（或方程组）的图形. 一、图形与方程
平面的点法式方程 n 如果一非零向量垂直 于一平面,这向量就叫做 该平面的法线向量 法线向量的特征:垂直于平面内的任一向量 已知n={A,B,C},M0(x,y,z), 设平面上的任一点为M(x,y,z) 必有MM⊥→MM.n=0 上一页下一页返回
x y z o M0 M 如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量． 法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知 n = {A, B, C}, ( , , ), 0 0 0 0 M x y z 设平面上的任一点为 M(x, y, z) M M n 必有 0 ⊥ M0M n = 0 n 二、平面的点法式方程
MoM=x-xo, y-yo, 4-zo3 ∴A(x-x0)+B(y-y)+C(z-x0)=0 平面的点法式方程 其中法向量n={A,B,C},已知点(x,y,z) 平面上的点都满足上方程,不在平面上的 点都不满足上方程,上方程称为平面的方程, 平面称为方程的图形 上一页下一页返回
{ , , } 0 0 0 0 M M = x − x y − y z − z A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的 点都不满足上方程，上方程称为平面的方程， 平面称为方程的图形． 其中法向量 n = {A,B,C}, 已知点 ( , , ). 0 0 0 x y z
例1已知点M1(2,-1,4)和M2(6,2,7),求过点M1 且与M1M,垂直的平面方程 解所求平面的一个法向量为 五1=M1M2={3,4,6}, 由点法式方程,得 3(X-3)+4(y+2)+6(z-1)=0, 即3x+4y+6z-7=0 上一页下一页返回
例 1 已知点 (2, 1,4) M1 − 和 (6,2,7) M2 ，求过点M1 且 与 → M1M2 垂直的平面方程. {3,4,6}, 1 = 1 2 = → n M M 所求平面的一个法向量为 3(x − 3) + 4( y + 2) + 6(z − 1) = 0, 即 3x + 4 y + 6z − 7 = 0. 由点法式方程，得 解
例2求过三点4(2,-1,4)、B(-1,3,-2)和 C(0,2,3)的平面方程 解AB={-3,4,-6} AC={2,3,-1} 取n=AB×AC={14,9,-1}, 所求平面方程为14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0, 化简得14x+9y-z-15=0 上一页下一页返回
例 2 求过三点A(2,−1,4)、B(−1,3,−2)和 C(0,2,3)的平面方程. 解 AB = {−3, 4,−6} AC = {−2, 3,−1} 取 n = AB AC = {14, 9,−1}, 所求平面方程为 14(x − 2) + 9( y + 1) − (z − 4) = 0, 化简得 14x + 9y − z − 15 = 0
、平面的一般方程 由平面的点法式方程 A(x-x0)+B(y-y)+C(z-x)=0 Ax+By+Cd-(Axo+ Byo+Czo)0 D Ax+By+Cz+D=0平面的一般方程 法向量n={4,B,C} 上一页下一页返回
由平面的点法式方程 A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 Ax + By + Cz − (Ax0 + By0 + Cz0 ) = 0 = D Ax + By + Cz + D = 0 平面的一般方程 法向量 n = {A,B,C}. 三、平面的一般方程
平面一般方程的几种特殊情况: (1)D=0,平面通过坐标原点; D=0,平面通过x轴 (2)A=0, D≠0,平面平行于x轴; 类似地可讨论B=0,C=0情形 (3)A=B=0,平面平行于xoy坐标面; 类似地可讨论A=C=0,B=C=0情形 上一页下一页返回
平面一般方程的几种特殊情况： (1) D = 0, 平面通过坐标原点； (2) A = 0, = 0, 0, D D 平面通过 x 轴； 平面平行于 x 轴； (3) A = B = 0, 平面平行于 xoy 坐标面； 类似地可讨论 A = C = 0, B = C = 0 情形. 类似地可讨论 B = 0, C = 0 情形
例3一平面过点(4,-3,-2)和(4,-1)且平行 于x轴,求其方程. 解所求平面平行于x轴,可知n⊥i,设n=(A,B,C) 则A=0,所以设平面方程为: By+Cz+D=0 3B-2C+D=0 将已知两点代入得 B+c+D=0 解得B=3D,C=-4D,从而所求平面为: 3Dy-4Dz+D=0,即3y-4z+1=0 上一页下一页返回
例 3 一平面过点(4,−3,−2)和(4,1,−1)且平行 于x轴，求其方程. By + Cz + D = 0, 解得B = 3D,C = −4D,从而所求平面为： 解 所以设平面方程为： 所求平面平行于 x 轴，可知 , → → n ⊥ i n = (A,B,C) → 设 则A = 0， 将已知两点代入得 + + = − − + = 0 3 2 0 B C D B C D 3Dy − 4Dz + D = 0，即3 y − 4z + 1 = 0
例4设平面与x,y,z三轴分别交于P(a,0,0)、 Q(0,b,0)、R(0,0,c)(其中a≠0,b≠0,C≠0), 求此平面方程 解设平面为Ax+B+Cz+D=0 「a4+D=0, 将三点坐标代入得bB+D=0, cC+D=0 D D →A= B=-,C=-- 上一页下一页返回
例 4 设平面与x, y,z三轴分别交于P(a,0,0)、 Q(0,b,0)、R(0,0,c)（其中a 0，b 0，c 0）， 求此平面方程. 设平面为 Ax + By + Cz + D = 0, 将三点坐标代入得 + = + = + = 0, 0, 0, cC D bB D aA D , a D A = − , b D B = − . c D C = − 解