ut ed 第六节曲面及共方程 曲面方程的概念 二旋转曲面 三柱面 四二次曲面
第六节 曲面及其方程 一 曲面方程的概念 二 旋转曲面 三 柱面 四 二次曲面
、曲面方程的概念 曲面的实例:水桶的表面、台灯的罩子面等 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹 曲面方程的定义: 如果曲面S与三元方程F(x,y,z)=0有下述关系 (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程; (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程; 那么,方程F(x,y,z)=0就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程的图形 上一页下一页返回
水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义： 如果曲面S 与三元方程F(x, y,z) = 0有下述关系： （1）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F(x, y,z) = 0就叫做曲面S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的图形． 曲面的实例： 一、曲面方程的概念
以下给出几例常见的曲面 例1建立球心在点M(x,y,z0)、半径为 R的球面方程 解设M(x,y,z)是球面上任一点, 根据题意有MM|=R (x-x)2+(y-y)+(z-zn)=R 所求方程为(x-x0)2+(y-yn)2+(z-n)=R2 特殊地:球心在原点时方程为x2+y2+z2=R2 上一页下一页返回
以下给出几例常见的曲面. 例 1 建立球心在点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 、半径为 R的球面方程. 解 设M(x, y,z)是球面上任一点， 根据题意有 | MM0 |= R (x − x ) + ( y − y ) + (z − z ) = R 2 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 所求方程为 x − x0 + y − y + z − z = R 特殊地：球心在原点时方程为 2 2 2 2 x + y + z = R
例2方程x2+y2+x-2x+4y=0表示怎样的曲 面? 解原方程可化为(x-1)2+(y+2)2+z2=5 所以原方程表示球心为(1,-2,0),半径为5的球面 注:设有三元二次方程x+y+x+2Ax+2B+2Cz+D=0 其特点为缺、yz、项.配方后化为: 2 2 (x+A)+(y+B)+(x+C)=A+B-+C"-D 当4+B-+C-D>0时,表示球心为(-A,-B,-C 半径为A2+B2+C2-D的球面 当4+B-+C“-D=0时,表示点球面 当42+B2+C2-D<0时,表示的轨迹称为虚球面,回
例 2 方 程 2 4 0 2 2 2 x + y + z − x + y = 表示怎样的曲 面 ？ 解 原方程可化为 ( 1) ( 2) 5 2 2 2 x − + y + + z = 所以原方程表示球心为 ( 1 , − 2 , 0), 半径为 5 的球面 . 当 时，表示的轨迹称为虚球面. 当 时 表示点球面. 半径为 的球面 当 时，表示球心为 其特点为缺 项.配方后化为 注：设有三元二次方程 0 2 2 2 0 2 2 2 . 2 2 2 0 ( , , ) 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 0 2 2 2 + + − + + − + + − + + − − − − + + + + + = + + − + + + + + + = A B C D A B C D A B C D A B C D A B C x A y B z C A B C D xy yz zx x y z Ax By Cz D ＝ ， ， 、 、 ：
例3已知A(1,2,3),B(2,-1,4),求线段AB的 垂直平分面的方程 解设M(x,y,z)是所求平面上任一点, 根据题意有|MA4H=MB, (x-1)2+(y-2)2+(z-3)2 +Gy+1)+( 化简得所求方程2x-6y+2z-7=0 上一页下一页返回
例 3 已知A(1,2,3)，B(2,−1,4)，求线段AB的 垂直平分面的方程. 设M(x, y,z)是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA|=| MB |, ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x −1 + y − 2 + z − 3 ( 2) ( 1) ( 4) , 2 2 2 = x − + y + + z − 化简得所求方程 2x − 6y + 2z − 7 = 0. 解
例4方程z=(x-1)2+(y-2)-1的图形是怎样的? 解根据题意有z≥-1 用平面z=c去截图形得圆: (x-1)2+(y-2)=1+c(c≥-1) 当平面z=c上下移动时, 得到一系列圆 圆心在(1,2,c),半径为√1+c 半径随c的增大而增大.图形上不封顶,下封底 上一页下一页返回
z x o y 例4 方程 ( 1) ( 2) 1 的图形是怎样的？ 2 2 z = x − + y − − 根据题意有 z −1 用平面z = c去截图形得圆： ( 1) ( 2) 1 ( 1) 2 2 x − + y − = + c c − 当平面z = c上下移动时， 得到一系列圆 圆心在(1,2,c)，半径为 1+ c 半径随c的增大而增大. 图形上不封顶，下封底． 解 c
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题: (1)已知曲面作为点的轨迹时,求曲面方程. (讨论旋转曲面) (2)已知坐标间的关系式,研究曲面形状 (讨论柱面、二次曲面) 上一页下一页返回
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论旋转曲面） （讨论柱面、二次曲面） （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
、旋转曲面 定义以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面 这条定直线叫旋转 曲面的轴 播放‖ 上一页下一页返回
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面 . 这条定直线叫旋转 曲面的轴． 播放 二、旋转曲面
旋转过程中的特征: 如图设M(x,y,z), d≥M1(0,y,z M f(y,x)=0 (1)z=1 (2)点M到z轴的距离 x+y=lyu 将z=z1,y1=土x2+y2代入 f(y1,z1)=0 上一页下一页现回
x o z y f ( y,z) = 0 (0, , ) 1 1 1 M y z 设 M(x, y,z), M 1 (1) z = z （2）点M到z轴的距离 | | 1 2 2 d = x + y = y 旋转过程中的特征： 如图 将 代入 2 2 1 1 z = z , y = x + y ( , ) 0 f y1 z1 = d
将z=z1,y1=土√x2+y2代入∫(y1,z1)=0 得方程∫(士x2+y2,z)=0 y0z坐标面上的已知曲线∫(y,z)=0绕轴旋转 周的旋转曲面方程 同理:y0z坐标面上的已知曲线f(y,z)=0 绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为 ±√x2+ 上一页下一页返回
将 代入 2 2 1 1 z = z , y = x + y ( , ) 0 f y1 z1 = ( , ) 0, 2 2 f x + y z = yoz坐标面上的已知曲线 f ( y,z) = 0绕 z轴旋转 一周的旋转曲面方程. 得方程 同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y,z) = 0 绕 y轴旋转一周的旋转曲面方程为 ( , ) 0. 2 2 f y x + z =