ut ed 第八节多孤函极与最值 多元函数的极值 二、条件极值、拉格朗日乘数法
一、多元函数的极值 二、条件极值、拉格朗日乘数法 第八节 多元函数的极值与最值
、多元函数的极值 二元函数极值的定义 设函数z=f(x,y)点(x2,y)的某邻域内 有定义,对于该邻城内异于(x02y0)的点(x,y) 若满足不等式∫(x,y)f(x0,y),则称函数在(x2y)有极 小值 极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 上一页下一页返回
一、多元函数的极值 极大值、极小值统称为极值 . 使函数取得极值的点称为极值点 . 1 二元函数极值的定义 设函数 在点 的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于 的点 若满足不等式 ，则称函数 在 有极大值；若满足不等式 ，则称函数在 有极 小值； z = f (x, y) ( , ) 0 0 x y ( , ) 0 0 x y (x, y) ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y ( , ) 0 0 x y ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y ( , ) 0 0 x y
例1函数z=3x2+4y2 (1) 在(00)处有极小值 例2函数z=-√x2+y (2) 在(0,0)处有极大值 例3函数=x (3) 在(0,0)处无极值 上一页下一页返回
(1) (2) (3) 例 1 函数 2 2 z = 3 x + 4 y 在 ( 0 , 0 ) 处有极小值． 例２函数 在 ( 0 , 0 ) 处有极大值． 2 2 z = − x + y ( 0 , 0 ) 例３在 处无极值． 函数 ( 0 , 0 ) z = xy
2多元函数取得极值的条件 定理1(必要条件) 设函数z=f(x,y)在点xy)具有偏导数,且 在点(xy)处有极值,则它在该点的偏导数必 然为零:f(x0y)=0,f(x,y)=0 证不妨设z=∫(x,y在点(x,y)处有极大值 则对于(x0,y)的某邻域内任意 (xy)≠(x,y)都有f(x,y)<f(x02y) 上一页下一页返回
2 多元函数取得极值的条件 定理 1（必要条件） 设函数 在点 具有偏导数，且 在点 处有极值，则它在该点的偏导数必 然为零： ， . z = f (x, y) ( , ) 0 0 x y ( , ) 0 0 x y f x (x0 , y0 ) = 0 f y (x0 , y0 ) = 0 证 ( , ) 0 0 不妨设 在点 x y 处有极大值, 则对于 的某邻域内任意 都有 , z = f (x, y) ( , ) 0 0 x y ( , ) ( , ) 0 0 x y x y ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y
故当y=y,x≠x时,有∫(x,y)<f(x,y) 说明一元函数f(x,y)在x=x0处有极大值, 必有∫(x02y)=0; 类似地可证∫,(x0,y)=0 推广如果三元函数=f(x,y,孔)在点P(x2yn,z) 具有偏导数,则它在P(x0y,)有极值的必要条 件为 ∫(x2y2z)=0;J(x,y,z)=0 ∫2(x0,y,可)=0 上一页下一页返回
故当 y = y0 , x x0 时，有 ( , ) ( , ) 0 0 0 f x y f x y 说明一元函数 f (x, y0 ) 在 x = x0 处有极大值， 必有 0 ; ( , ) f x x0 y0 = 类似地可证 ) 0 . ( , f y x0 y0 = 推广 如果三元函数 在点 具有偏导数，则它在 有极值的必要条 件为 u = f (x, y,z) ( , , ) 0 0 0 P x y z ( , , ) 0 0 0 P x y z ， . ( , , ) 0 ; f x x0 y0 z0 = f y (x0 , y0 ,z0 ) = 0 f z (x0 , y0 ,z0 ) = 0
仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零 的点,均称为函数的驻点 注意:驻点 极值点 例如点(0,0)是函数z=x的驻点,但不是极值点 问题:如何判定一个驻点是否为极值点? 定理2(充分条件) 设函数=∫(x,y)在点x,y)的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数, 上一页下一页返回
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点. 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 注意：驻点 极值点 定理 2（充分条件） 设函数 在点 的某邻域内连续， 有一阶及二阶连续偏导数， z = f (x, y) ( , ) 0 0 x y 例如 点 (0 , 0) 是函数 z = xy 的驻点，但不是极值点
又∫(x23y)=0,f(x0,y)=0 Af(xo, yo)=A f,(xo, yo)=b fM(xo, yo)=C 则f(xy)在点(x0,yk是否取得极值的条件如下: (1)AC-B2>0时具有极值, 当40时有极小值; (2)AC-B2<0时没有极值; (3)AC-B2=0时可能有极值也可能没有极值, 还需另作讨论 上一页下一页返回
又 f x (x0 , y0 ) = 0 ， f y (x0 , y0 ) = 0 令 f xx (x0 , y0 ) = A ， f xy (x0 , y0 ) = B ， f yy (x0 , y0 ) = C ， 则 f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下： （1） 0 时具有极值， 2 AC − B 当 A 0 时有极大值，当 A 0 时有极小值； （3） 时可能有极值,也可能没有极值， 还需另作讨论． 0 2 AC − B = （2） 0 时没有极值； 2 AC − B
求函数z=∫(x,y)极值的一般步骤: 第一步解方程组fx(x,y)=0,f,(x,y)=0 求出实数解,得驻点 第二步对于每一个驻点x,y0), 求出二阶偏导数的值A、B、C 第三步定出AC-B的符号,再判定是否是极值 上一页下一页返回
求函数z = f (x, y)极值的一般步骤： 第一步 解方程组 f (x, y) = 0, x f y (x, y) = 0 求出实数解，得驻点. 第二步 对于每一个驻点( , ) 0 0 x y ， 求出二阶偏导数的值A、B、C. 第三步 定出 2 AC − B 的符号，再判定是否是极值
例4求函数z=3xy-x3-y3的极值 解∫(x,y)=3y-=3x2=0 ∫(x,y)=3y-3y=0 求得驻点(0,0),(11) 在(0,0)点处 A=fm(0,0)=-6x000 B=J(00) f(00)-6yo0=0 上一页下一页返回
例4 求函数 的极值． 3 3 z = 3xy − x − y 解 = − = = − = ( , ) 3 3 0 ( , ) 3 3 0 2 2 f x y y y f x y y x y x 求得驻点 (0,0) ， (1,1) 在 (0,0) 点处 A = f x x (0,0) = −6x (0,0) = 0 B = f xy (0,0) = 3 A = f yy (0,0) = −6 y (0,0) = 0
△=B2-AC=9>0 所以,在(0.0)处函数没有极值 在(11)点处 A=f(1)=-6xa=-6 B=Jx(1,1)=3 A=fn(1)=-6ya1=-6 △=B2-AC=-27<0又A=-6<0 所以,在(11)处函数有极大值.且f(1,1)=1 上一页下一页返回
9 0 2 = B − AC = 所以，在 (0,0) 处函数没有极值． 在 (1,1) 点处 A = f x x (1,1) = −6x (1,1) = −6 B = f xy (1,1) = 3 A = f yy (1,1) = −6 y (1,1) = −6 27 0 2 = B − AC = − 又 A = −6 0 所以，在(1,1)处函数有极大值．且 f (1,1) =1