ut ed 第三节定秋分的换元积分 一、换元积分法 二、常用的定积分公我及应用
一、换元积分法 二、常用的定积分公式及应用 第三节 定积分的换元积分
、换元积分法 1定理设函数f(x)在[a,b上连续;函数 y()在[a,](或[B,a)上有连续导数; 当t在()在[a,](或[,小)上变化时, x在[a,b上变化,且φ(a)=a,p(B)=b 则有 f(kx= flo(oo'(at 上式叫做定积分的换元公式 上一页下一页返回
1.定理 设函数 在 上连续；函数 在 （或 ）上有连续导数； 当 在 在 （或 ）上变化时， 在 上变化，且 ， ， 则有 f (x) a,b (t) , , t (t) , , x a,b () = a ( ) = b f (x)dx f (t) (t)dt b a = 上式叫做定积分的换元公式. 一、换元积分法
证设G(x)=f(x),x=(t) Go(t) dG(x)dx dx di =G(x) o'(t) =f(x)q()=/()小q(t) r()j/(=p =G[(B)-G(a)=G()-G(a) 上一页下一页返回
证 设 G(x) = f (x) ， x =(t) ( ) ( ) dt dx dx dG x G t dt d = = G(x)(t) = f (x)(t) = f (t)(t) ( ) ( ) ( ) f t t dt = G t = G( )−G()= G(b)−G(a)
f(xx=G(x=g(b)-g(a 则/(x)x=Co)p(OM 2.说明 (1)定积分的换元公式中,用x=()把原变 量X换成新变量t时(这如同不定积分第二类 换元),积分限也要换成相应于新变量t的积 分限,但t的对应值可能不唯一,只要任取一 上一页下一页现回
f (x)dx G(x) G(b) G(a) b a b a = = − f (x)dx f (t) (t)dt b a = 则 2.说明 (1)定积分的换元公式中，用 把原变 量 换成新变量 时（这如同不定积分第二类 换元），积分限也要换成相应于新变量 的积 分限，但 的对应值可能不唯一，只要任取一 x =(t) x t t t
值即可 (2)求出换元后的f((t)l()的一个原函数 G[o(以)时,只要将新变量t的积分上下限分 别代入G[()中相减即可,不必象不定积分 那样再把G[()变成原变量x的函数G(x) (3)换元公式也可反过来使用,即 Pslo()](x dx=lr()dt 上一页下一页返回
值即可. ( ) ( ) ( ) = b a f x x dx f t dt (3)换元公式也可反过来使用，即 (2)求出换元后的 的一个原函数 时，只要将新变量 的积分上下限分 别代入 中相减即可，不必象不定积分 那样再把 变成原变量 的函数 . f (t)(t) G(t) t G(t) G(t) x G(x)
换元过程为t=p(x)(这如同不定积分第一类 换元),且9(a)=a,0(B)=b;若此换元 过程是采用的凑微分法,没有写出新变量t, 则不必换元,即 [o((x)x=(x)1(x) 上一页下一页返回
换元过程为 （这如同不定积分第一类 换元），且 , ;若此换元 过程是采用的凑微分法，没有写出新变量 ， 则不必换元，即 t =(x) () = a ( ) = b t ( ) ( ) ( ) ( ) = f x x dx f x d x
3.例题 例1计算[1-x2dx 解换元:x=sint,cx= cos tdt; 换限:x=0,t=0 X=1 f1-x'dx=32N1-sin'tcostdt COS 上一页下一页返回
.解 换元： ， ； 换限： ， ， ， ， x = sin t dx = costdt x = 0 t = 0 x =1 2 t = 1 x dx 1 sin t costdt 20 2 10 2 − = − = 20 2 cos tdt 3.例题 x dx − 10 2 例 1 计算 1
2(1+cos 2t 2 dt+ 2 cos 2t d(2t) t+ 2t 22 注第一步是采用的换元(不定积分第二类换 元法),换元的同时必须换限。在计算2cos2t 时,我们采用了凑微分法,没有写出新变量, 上一页下一页返回
( t)dt = 2 + 0 1 cos 2 2 1 ( ) = + 2 0 2 0 2 2 1 cos 2 2 1 dt t d t 4 sin 2 2 1 2 1 2 0 = = t + t 注 第一步是采用的换元（不定积分第二类换 元法），换元的同时必须换限。在计算 tdt 2 0 cos 2 时，我们采用了凑微分法，没有写出新变量
所以没有换限 补充:由定积分的几何意义知,该积分值等 于由y=√1-x2,直线y=0,x=0x=1所 围图形的面积(见右图) 面积值为圆面积的 4 √1-x2adx 上一页下一页返回
4 1 1 0 2 − = x dx 补充：由定积分的几何意义知，该积分值等 于由 ，直线 所 围图形的面积（见右图）. 2 y = 1− x y = 0, x = 0, x =1 4 1 面积值为圆面积的 . 所以没有换限. 2 y = 1− x -1 1 x y o
例2计算|2sin2xcos4xx 解法1.2sin2xcos4xdx= sinx cos xdx 换元:t=Cosx,dt=- sin xdx 换限:x=0,t=1 t=0 原式=「-2b=-2|5|1 上一页下一页返回
例2 计算 x xdx . 2 0 4 sin 2 cos 解法1. x xdx 2 0 4 sin 2 cos x xdx = 2 0 5 2sin cos 换限： x = 0 ， t =1 2 x = ， t = 0 换元： t = cos x ， dt = −sin xdx 原式＝ t dt . − 0 1 5 2 3 1 6 1 2 0 1 6 = = − t