ut ed 第二节洛必达法则 洛必达法则 二其他未定式 0.∞,0-∞0Y,02
0 0 0, −,0 ,1 , 第二节 洛必达法则 一 洛必达法则 二 其他未定式
型及—型未定式解法:洛必达法则 0 定义如果当x→a(或x→∞),两个函数f(x) 与F(x)都趋于零或都趋于无穷大,那末极限 lim flx 称为或型未定式 (x→>0 tanx 0 Insin ax 例如 x→>0x ) im >0 In sin bx 上一页下一页返回
一、 型及 型未定式解法 : 洛必达法则 0 0 . F( x ) f ( x ) lim F( x ) , x a( x ) , f ( x ) ( x ) x a 称为 或 型未定式 与 都趋于零或都趋于无穷大 那末极限 如果当 或 时 两个函数 → → → → 0 0 例如, , tan lim 0 x x x→ ) 0 0 ( , lnsin lnsin lim 0 bx ax x→ ( ) 定义
定理设(1当x→l时函数∫(x)及F(x)都趋于零; (2)在a点的某领域内点a本身可以除外)f(x) 及F(x)都存在且F(x)≠0 (3)mf(x) 存在(或为无穷大) x-yaF(x) 那末 im f(x) f'(x) xF(x)x→F"(x) 定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 当x→>时,该法则仍然成立 上一页下一页现回
定理 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 当x → 时,该法则仍然成立. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . F ( x ) f ( x ) lim F( x ) f ( x ) lim ( ); F ( x ) f ( x ) lim F x F x ; a ( a ), f ( x ) x a , f x F x ; x a x a x a = → → → → 那末 存在 或为无穷大 及 都存在且 在 点的某领域内 点 本身可以除外 设 当 时 函数 及 都趋于零 3 0 2 1
证∵(≌(2“的极限与f()及g(a无关,所以定义 g(r) f∫(x),x≠a F(x),x≠ 辅助函数f(x)= F1(x) x三 在U"(a,8)内任取一点x,在以a与x为端点的区间上, f1(x),F1(x)满足柯西中值定理的条件,则有 f(x)f(x)-∫(a)f() F(x)f(x)-F(a)F'(2) (在x与a之间) 当x→l时,→a,'(x)=A,imn ∫'(4) F'(x) 5→aF(2 1m F(x)=m F(e) 上一页下一页返回
证 , 0, ( ), ( ) 1 = = x a f x x a f x , 0, ( ), ( ) 1 = = x a F x x a F x 在U ( a, )内任取一点 x, 0 在以 a 与 x 为端点的区间上, ( ), ( ) , f 1 x F1 x 满足柯西中值定理的条件 则有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F a f x f a F x f x − − = ( ) ( ) F f = (在x与a之间) 当x → a时, → a, , ( ) ( ) lim A F x f x x a = → , ( ) ( ) lim A F f a = → . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim A F f F x f x x a a = = → → ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) x a 的极限与 f a 及g a 无 关 g x f x → 辅助函数 所以定义
例1求im3 x3-3x+ 2 x+1 解原式=lim 3x2=3 x→13x2-2x-1 6x3 =lim x→16x-22 tan 2x 例2求lm x→>0y 0 解原式=him(an2x 2sec 2x lim x→>0 上一页下一页现回
例 1 解 . 1 3 2 lim 3 2 3 1 − − + − + → x x x x x x 求 3 2 1 3 3 lim 2 2 1 − − − = → x x x x 原式 6 2 6 lim1 − = → x x x . 23 = ) 00 ( 例 2 . tan 2 lim0 x x x → 求 ) 00 ( ( ) (tan 2 ) lim0 = → x x x 原 式 1 2sec 2 lim 2 0 x x → 解 = = 2
arctan x 例3求lm 2 x→+ 解原式=Iim1+x2=im, x→+0 x→)+∞1+x 例4求lm-sinx x→>0 解原式=im3x20 1-cOSx 0 sInx (=m 6x 6 上一页下一页返回
例3 解 . 1 arctan 2 lim x x x − →+ 求 2 2 1 1 1 lim x x x − + − = →+ 原式 2 2 1 lim x x x + = →+ = 1. 例4 . sin lim 3 0 x x x x − → 求 解 2 0 3 1 cos lim x x x − = → 原式 x x x 6 sin lim →0 = 6 1 = ) 0 0 ( ) 0 0 ( ) 0 0 (
注意:1)使用罗必塔法则必须验证条件,不 是未定式不能用罗必塔法则 2)罗必塔法则可以连续应用,必须步步化 简(尽可能地化简)、步步验证求未定式 的极限 例5im tanx-sinx x→>0 2 r sin 原式=lim tanx- sinx secx=1 3x 2 · lim(tan x)2 2 =im x→>03x 2 x→03x23 上一页下一页返回
注意： 1) 使用罗必塔法则必须验证条件，不 是 未 定式不能用罗必塔法则； 2)罗必塔法则可以连续应用，必须步步化 简（尽可能地化简）、步步验证求未定式 的极限. 例5 x x x x x sin tan sin lim 2 0 − → x x x x x − = → 2 0 tan sin 原式 lim 2 2 0 3 sec 1 lim x x x − = → 2 2 0 3 (tan ) lim x x x→ = 3 1 3 lim 2 2 0 = = → x x x
定理2(-) 设)当x→时,函数∫(x)及F(x)都趋于无穷; (2)在a点的某领域内(点a本身可以除外,∫(x) 及F(x)都存在且F(x)≠0 (3)lim f'(x) 存在(或为无穷大 x→aF(x) 那末limf(x) lin/(x) (x) xaF(x) 当x→o时,该法则仍然成立 上一页下一页返回
定理2 ( ) 当x → 时,该法则仍然成立. ( ) ( ) ( ) . F ( x ) f ( x ) lim F( x ) f ( x ) lim ( ); F ( x ) f ( x ) lim F ( x ) F ( x ) ; a ( a ), f ( x ) x a , f ( x ) F( x ) ; x a x a x a = → → → → 那末 存在 或为无穷大 及 都存在且 在 点的某领域内 点 本身可以除外 设 当 时 函数 及 都趋于无穷 3 0 2 1
例6求im tanx n tan 3x ●。 2 解原式=lim32 sec =lim cos'3x 3. 3、πcos2x 6cos 3xsin 3x sin 6x m 3,π-2 cousin x x→πSin2x 2 m 6c0S6x=3 T 2cos 2x 上一页下一页返回
例 6 解 . tan 3 tan lim2 xx x → 求 x x x 3sec 3 sec lim 22 2 → 原式 = xx x 22 2 cos cos 3 lim 31 → = x x x x x 2cos sin 6cos 3 sin 3 lim 31 2 −− = → xx x sin 2 sin 6 lim2 → = xx x 2cos 2 6cos 6 lim2 → = = 3 . ( )
注意3:若导数比的极限不存在,不能判断 原函数极限不存在。 X一SInX 例如,lim I- cos x x→>y+ sn x>∞1+cOsx sIna 事实上lim x→)+oo Sndc 1+ lim e +e-x x e =lim e ( 2x (1+ (1+e) 上一页下一页返回
注意3：若导数比的极限不存在，不能判断 原函数极限不存在。 例如， x x x x x sin sin lim + − → x x x 1 cos 1 cos lim + − = → 1 sin 1 sin 1 lim = + − →+ x x x x x x x x x x e e e e − − → − + lim (1 ) (1 ) lim 2 2 e e e e x x x x x − − → + − = 1 (1 ) (1 ) lim 2 2 = + − = − − → e e x x x 事实上
